1、河北省衡水市 2018 届高三数学上学期阶段性联考试题 理 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 2 | 5 4 0M x x x? ? ? ?， | 2 4xNx?，则 ( ) A | 2 4M N x x? ? ? B M N R? C | 2 4M N x x? ? ? D | 2M N x x? 2. 记复数 z 的虚部为 Im()z ，已知复数 5 221izii? （ i 为虚数单位），则 Im()z 为 ( ) A 2 B -3 C 3i? D 3 3. 已知曲线 32()3f x
2、 x? 在点 (1, (1)f 处的切线的倾斜角为 ? ，则222sin co s2 sin co s co s? ? ? ?( ) A 12 B 2 C 35 D 38? 4. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 22mm，面额 100 元 .为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是 ( ) A 27265 mm? B 236310 mm? C. 23635 mm? D 236320 mm?
3、5. 已知双曲线 C ： 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的渐近线经过圆 E ： 22 2 4 0x y x y? ? ? ?的圆心，则双曲线 C 的离心率为 ( ) A 5 B 52 C.2 D 2 6. 已知数列 na 为等比数列，且 22 3 4 7 64a a a a? ? ? ?，则 46tan( )3aa ?( ) A 3? B 3 C. 3? D 33? 7. 执行如图的程序框图，若输出的 S 的值为 -10，则中应填 ( ) A 19?n? B 18?n? C. 19?n? D 20?n? 8.已知函数 ()fx为 R 内的奇函数，且当 0x? 时， 2(
4、 ) 1 cosf x e m x? ? ? ?，记 2 ( 2)af? ? ，( 1)bf? ? ， 3 (3)cf? ，则 a ， b ， c 间的大小关系是 ( ) A bac? B a c b? C.c b a? D c a b? 9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为 ( ) A 23? B 12? C.2 6? D 2 3? 10. 已知函数 ( ) 2 s i n ( ) ( 0 , , )2f x x ? ? ? ? ? ? ? ?的部分图象如图所示，其中 5|2MN? .记命题 p ： 5( ) 2 sin( )36f x x
5、?，命题 q ：将 ()fx的图象向右平移 6? 个单位，得到函数22 sin( )33yx?的图象 .则以下判断正确的是 ( ) A.pq? 为真 B.pq? 为假 C.()pq?为真 D. ()pq? 为真 11.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点 .已知抛物线 2 4yx?的焦点为 F ，一条平行于 x 轴的光线从点 (3,1)M 射出，经过抛物线上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则 ABM? 的周长为 ( ) A 71 2612? B 9 26? C. 9 1
6、0? D 83 2612? 12.已知数列 na 与 nb 的前 n 项和分别为 nS ， nT ，且 0na? ， 2*6 3 ,nnS a a n N? ? ?，12(2 1)(2 1)nnnan aab ? ?，若 *, nn N k T? ? ? 恒成立，则 k 的最小值是 ( ) A 71 B 149 C. 49 D 8441 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 .第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分 . 13.已知在 ABC? 中， | | | |BC AB CB?， (1
7、,2)AB? ，若边 AB 的中点 D 的坐标为 (3,1) ，点C 的坐标为 (,2)t ，则 t? 14. 已知 *1( ) ( )2 nx n Nx?的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为 p ， q ，则64pq? 的最小值为 15. 已知 x ， y 满足3,60,x y txy?其中 2t ? ，若 sin( )xy? 的最大值与最小值分别为 1， 12 ，则实数 t 的取值范围为 16.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（ bie nao） .已知在鳖臑M ABC? 中， MA? 平面 ABC ， 2MA AB BC? ? ?，则该鳖臑的外接球与内切
8、球的表面积之和为 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知函数 2 1( ) c o s 3 s i n ( ) c o s ( ) 2f x x x x? ? ? ? ?， xR? . （）求函数 ()fx的最小正周期及其图象的对称轴方程 ； （）在锐角 ABC? 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 ( ) 1fA? ， 3a? ，sin sinb C a A? ，求 ABC? 的面积 . 18. 如图，在四棱锥 E ABCD? 中，底面 ABCD 为直角梯形，其中 / / ,CD AB BC AB?，侧面 ABE? 平面 A
9、BCD ，且 2 2 2A B A E B E B C C D? ? ? ? ?，动点 F 在棱 AE 上，且EF FA? . （ 1）试探究 ? 的值，使 /CE 平面 BDF ，并给予证明； （ 2）当 1? 时，求直线 CE 与平面 BDF 所成的角的正弦值 . 19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分 .为了解网络外卖在 A 市的普及情况， A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了 200 人进行抽样分析，得到下表：（单位：人） （）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0
10、.15 的前 提下认为 A 市使用网络外卖的情况与性别有关？ （）现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取 5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人赠送外卖优惠卷，求选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率 将频率视为概率，从 A 市所有参与调查的网民中随机抽取 10 人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为 X ，求 X 的数学期望和方差 . 参考公式： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ?，其中 n a b c d? ? ? ? . 参考数据： 2 0()P K k? 0.050 0.010 0.0
11、01 0k 3.841 6.635 10.828 20. 已知椭圆 C ： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的左、右焦点分别为点 1F ， 2F ，其离心率为 12 ，短轴长为 23. （）求椭圆 C 的标准方程； （）过点 1F 的 直线 1l 与椭圆 C 交于 M ， N 两点，过点 2F 的直线 2l 与椭圆 C 交于 P ， Q 两点，且 12/ll，证明：四边形 MNPQ 不可能是菱形 . 21. 已知函数， ( ) (1 ) ( , )xf x e a x b a b R? ? ? ? ?其中 e 为自然对数的底数 . （）讨论函数 ()fx的单调性及极值 ； （）若不
12、等式 ( ) 0fx? 在 xR? 内恒成立，求证： ( 1) 324ba? ? . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 cos ,sinxty ? ?（ 0t? ， ? 为参数） .以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 sin( ) 34?. （）当 1t? 时，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 ； （）若曲线 C 上的所有点都在直线 l 的下方，求实数 t 的取值范围 .
13、 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 2 1 | 1 |f x x x? ? ? ?. （）解不等式 ( ) 3fx? ； （）记函数 ( ) ( ) | 1 |g x f x x? ? ?的值域为 M ，若 tM? ，证明： 2 313ttt? ? ? . 衡水金卷 2018 届全国高三大联考 理科参考答案及评分细则 一、选择题 1-5: CBCBA 6-10:ACDAD 11、 12： BB 二、填空题 13. 1 14. 16 15. 57 , 66? 16. 24 8 2? 三、解答题 17. 解：（ 1）原式可化为， 2 1( ) c o s 3 s in c o s
14、2f x x x? ? ?， 1 c o s 2 3 1s in 22 2 2x x? ? ?， s in ( 2 ) s in ( 2 )66xx? ? ? ? ?， 故其最小正周期 22T ? ?， 令 2 ( )62x k k Z? ? ? ? ?， 解得 ()23kx k Z? ? ?， 即函数 ()fx图象的对称轴方程为， ()23kx k Z? ? ?. （ 2）由（ 1），知 ( ) sin(2 )6f x x ? ? ?， 因为 0 2A ? ，所以 526 6 6A? ? ? ? ? ?. 又 ( ) sin (2 ) 16f A A ? ? ? ? ?， 故得 2 62A
15、?，解得 3A ? . 由正弦定理及 sin sinb C a A? ，得 2 9bc a?. 故 1 9 3sin24ABCS bc A? ?. 18.（ 1）当 12? 时， /CE 平面 BDF . 证明如下：连接 AC 交 BD 于点 G ，连接 GF . / / , 2CD AB AB CD?， 12CG CDGA AB?. 12EF FA? ， 12EF CGFA GA?. /GF CE . 又 CE? 平面 BDF ， GF? 平面 BDF ， /CE 平面 BDF . （ 2）取 AB 的中点 O ,连接 EO . 则 EO AB? . 平面 ABE? 平面 ABCD ，平面
16、ABE 平面 ABCD AB? ，且 EO AB? ， EO? 平面 ABCD . /BO CD ，且 1BO CD?， 四边形 BODC 为平行四边形， /BC DO . 又 BC AB? ， /AB DO . 由 ,OAODOE 两两垂直，建立如图所示的空 间直角坐标系 Oxyz . 则 (0,0,0)O ， (0,1,0)A ， (0, 1,0)B ? ， (1,0,0)D ， (1, 1,0)C ? ， (0,0, 3)E . 当 1? 时，有 EF FA? ， 可得 13(0, , )22F . (1,1,0)BD? ， ( 1,1, 3)CE ? ， 33(1, , )22BF ?
17、 . 设平面 BDF 的一个法向量为 ( , , )n x y z? ， 则有 0,0,n BDn BF? ?即 0,330,22xyyz? ?令 3z? ，得 1y? ， 1x? . 即 (1, 1, 3)n? . 设 CE 与平面 BDF 所成的角为 ? ， 则 sin | cos |C E n? ? ? ? ? ?| 1 1 3| 1555? ? ? ?. 当 1? 时，直线 CE 与平面 BDF 所成的角的正弦值为 15 . 19.解：（ 1）由列联表可知 2K 的观测值，2()( )( )( )( )n a d b ck a b c d a c b d? ? ? ? ?22 0 0 ( 5 0 4 0 5 0 6 0 ) 2 .0 2 0 2 .0 7 21 1 0 9 0 1 0 0 1 0 0? ? ? ? ? ? ?. 所以不能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 A 市使用网络外卖情况与性别有关 . （ 2）依题意，可知所抽取的 5 名女网民中，经常使用网络外卖的有 6053100?（人）， 偶尔或不用网络外卖
