1、 1 黑龙江省大庆市 2018届高三数学上学期第一次月考试题 文 一 .选择题 (共 12 个小题，每题 5分 ) 1.已知集合 A = ? ?2| ?xx , B = ? ?034| 2 ? xxx ，则 A B等于 ( ) A ? ?12| ? xx B ? ?21| ?xx C ? ?32| ?xx D ? ?32| ? xx 2.已知命题 P ： 0?ba ，命题 Q： )2,0(, ? ba ,那么 命题 P 是 命题 Q成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充 分必 要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若 ab0，则下列不等式不成立的是 ( ) A.1a|b
2、| C a b0 的解集是 _. 15若 2, 2,ab?且 ? ?a b a?，则 a 与 b 的夹角为 _ 16 定义运算bcaddc ba ?,函数321)( ? xxxxf图象的顶点坐标是? ?,mn, 且rnmk ,成等差数列 ,则rk?的值为 _. 三、 解答题 3 17.（ 10 分） 在 ABC 中，角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c. 已知 (b 2a)cos C ccos B 0. (1)求 C； (2)若 c 7， b 3a，求 ABC的面积 18.（本题满分 12 分） 已知数列 ?na 中，当 2?n 时，总有 nnn aa 22 1 ? ? 成立，且
3、41?a () 证明：数列?nna2是等差数列，并求数列 ?na 的通项公式； () 求数列 ?na 的前 n 项和 nS 19 (12分 )已知函数 f(x) 3sinxcosx cos2x a. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)若 f(x)在区间 ? ? 6 ， 3 上的最大值与最小值的和为 32，求 a的值 20 (12分 )已知数列 an的前 n项和为 Sn，且 Sn 2an 2. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn log2a1 log2a2 log2an，求使 (n 8)bn nk 对任意 n N*恒成立的实数 k的取 值范围 21.(12分 )已
4、知函数 f(x) x4 ax ln x 32，其中 a R，且曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂 直于直线 y 12x. (1)求 a的值； (2)求函数 f(x)的单调区间 22 （本题满分 12分） 已知函数 ,)( 3 axxxF ?25ln21)( 2 ? xxxg() 定义在 R 上的函数 321( ) 23f x x ax x? ? ?存在极值 ,求实数a的 取值范围 ; () 若对一切),0( ?有不等式 35)(2)( 2 ? xxxgxxF 恒成立 ,求实数a的取 值范围 ; () 记)(2521)( 2 xgxxG ?,求证 :exexG x 21) ?.
5、4 高三第一次月考文科数学答案 答案： BBCAC DDDBC DA 13.( 6,19) 14.? ?1， 32 (2,3) 15.4? 16.-9 17.解 ： (1)由已知及正弦定理得 ： (sin B 2sin A)cos C sin Ccos B 0， sin Bcos C cos Bsin C 2sin Acos C， sin(B C) 2sin Acos C， sin A 2sin Acos C.又 sin A0 ， 得 cos C 12. 又 C (0， )， C 3. 5分 (2)由余弦定理得 ： c2 a2 b2 2abcos C， ? a2 b2 ab 7，b 3a， 解
6、得 a 1， b 3. 故 ABC的面积 S 12absin C 1213 32 3 34 . 10分 18 解 ： （） ?当 2?n 时 ， nnn aa 22 1 ? ? ， 即 12211 ? ?nnnn aa， 又 221?a .数列?nna2是以 2为首项， 1为公差的等差数列 . 4分 11)1(22 ? nnann，故 nn na 2)1( ? . 6分 （）法一 nn na 2)1( ? ， nnn nnS 2)1(22322 121 ? ?， 132 2)1(223222 ? nnn nnS ， 两式相减得： 111132 22)1(21 )21(442)1()222(4
7、? ? nnnnnn nnnS 12 ? nn nS 12 分 法二 .裂项求和 5 分故分所以分解得分恒成立对于任意的令122102)1(21)1(81-11212)()(2172)(2)1(2)1(1211*1?nnnnnnnnnnaaaSnnannnnNnnnn?19 解： (1)因为 f(x) 32 sin2x 12(1 cos2x) a sin? ?2x 6 12 a， 所以其最小正周期 T ； 3分 由 2k 22 x 62 k 32 (k Z)得 k 6 x k 23 (k Z)， 所以 f(x)的单调递减区间是 ? ?k 6， k 23 (k Z) 6分 (2)因为 6 x 3
8、，所以 62 x 6 56 ， 所以 12sin ? ?2x 6 1. 所以 asin ? ?2x 6 12 a 32 a， 10分 即 f(x)在区间 ? ? 6， 3 上的值域为 ? ?a， a 32 ，又 f(x)在区间 ? ? 6， 3 上的最大值与最小值的和为 32，所以 a a 32 32，则 a 0. 12分 20 解： (1)由 Sn 2an 2可得 a1 2， 2分 Sn 2an 2， 当 n2 时， an Sn Sn 1 2an 2an 1，即 anan 1 2. 4分 数列 an是以 a1 2为首项，公比为 2的等比数列， an 2n(n N*) 6分 (2)bn log
9、2a1 log2a2 log2an 1 2 3 n 2 )1( ?nn . 8分 由 (n 8)bn nk对任意 n N*恒成立，即实数 2 )1)(8( ? nn k对 n N*恒成立； 设 cn 12(n 8)(n 1)， 则当 n 3或 4时，取得最小值为 10， k 10. 12分 21.解： (1)对 f(x)求导得 f( x) 14 ax2 1x， 由 f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于直线 y 12x知 f(1) 34 a 2， 6 解得 a 54. 6分 (2)由 (1)知 f(x) x4 54x ln x 32，则 f( x) x2 4x 54x2 ， 令 f( x
10、) 0，解得 x 1或 x 5， 因 x 1不在 f(x)的定义域 (0， ) 内，故舍去 当 x (0,5)时， f( x)0，故 f(x)在 (5， ) 内为增函数 12分 22.(1) ( , 2 ) ( 2 , )? ? ? -4分 (2) 原 不 等 式 可 化 为 :,35)25ln21(2 223 ? xxxxxaxx化简得 :,3ln2 2 ? xxxax0?x,故上式可化为xxa ? 3ln2恒成立 ,即mi n)3ln2( xxa ?. 记,32)(),0(,3ln)( 22 x xxxtxxxxxt ?令,0)( ?xt0?x1?, 在 (0,1)上 ,0)( ?xt在),1(?上 ,0( ?xt)(在 (0,1)上单调递减 ,在1?上单调递增 . 故当?x时 ,)(xt有最小值为 4,故4,(?a-8分 (3)化简得xxG ln)( ?,原不等式可化为exex 21ln ?,即证eexx x 2ln ?成立 , 记xxF ln) ?,可求其最小值为eeF 1)1( ?, 记eH x 2) ?,可求其最大值为eH ?, 显然),0( ?x )()( xHx ?,故原不等式成立 -12分
