1、 1 湖北省荆州市 2018届高三数学上学期第一次双周考试题 理 2017.9.14 一、选择题 （本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设集合 ? ? 22 , | 14 1 6xyA x y? ? ?， ( , ) | 3 xB x y y?，则 AB? 的 子集 的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 2 设 11zii? ，则 z? （ ） A. 12 B. 22 C. 32 D. 2 3下列选项中，说法正确的是 A.若 0ab?，则1122log logab?B. 向量 (1, ), ( , 2 1)a m b m m?
2、 ? ? ()mR? 共线的充要条件是 0m? C. 命题 “ *1, 3 ( 2 ) 2nnn N n ? ? ? ? ?” 的否定是 “ *1, 3 ( 2 ) 2nnn N n ? ? ? ? ?” D. 已知函数 ()fx在区间 , ab 上的图象是连续不断的，则命题 “ 若 ( ) ( ) 0f a f b?，则()fx在区间 (, )ab 内至少有一个零点 ” 的逆命题为假命题 4. 已知实数 ,xy满足 ? ?01xya a a? ? ?，则下列关系式恒成立的是（ ） A. 2211xy?B. ? ? ? ?22ln 1 ln 1xy? ? ? C. sin sinxy? D.
3、33xy? 5 底面边长为 1，侧棱长为 362 的 正 三 棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ) A. 323 B. 4 C. 2 D. 43 6.函数 33 4() 1xfx x? ? 的图象大致是（ ）2 A B C. D 7. 在 ABC 中， 4?B ， BC 边上的高 为 13BC ，则 cos =A （ ） A. 10103 B. 1010 C. 1010? D. 10103? 8. 我国古代名著九章算术用 “ 更相减损术 ” 求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举 .这个伟大创举与我国古老的算法 “ 辗转相除法 ” 实质一样 .如图的程序框图即源于 “ 辗转相除法
4、 ” ，当输入 6102, 2016ab?时，输出的 a? （ ） A 54 B 9 C 12 D 18 9. 函数 ? ? ? ?s in 0 ,2f x x ? ? ? ? ? ? ?的最小正周期是 ? ，若其图象向右平移 6? 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 ?fx的图象（ ） A 关于点 ,012?对称 B 关于直线 12x ? 对称 C 关于点 ,06?对称 D 关于直线 6x ? 对称 10定义在 R上的奇函数 ()fx满足 )()( xfxf ? ， )()2( xfxf ? ， 1,0?x 时)1(lo g)( 243 ? xxxf ， 则函数 |log)( 3 xxfy
5、? 的零点个数是 （ ） A 2 B 4 C 6 D 8 11以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A ， B 两点，交 C 的准线于 D ,E 两点 .已知| | 4 2AB? , 25DE? ， 则 C 的焦点到准线的距离为（ ） . A. 2 B.4 C.6 D.8 12. 已知 1( ) s i n c o s ( , )4f x x x x R? ? ? ? ? ?，若 ()fx的任何一条对称轴与 x 轴交点3 的横坐标都不属于区间 (2 ,3 )?，则 ? 的取值范围是 （ ） A. 3 11 11 19 , , 8 12 8 12 B. 1 5 5 3( , , 4 12 8
6、 4 C. 3 7 7 11 , , 8 12 8 12 D. 1 3 9 17( , , 4 4 8 12 二、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 ) 13如图，一矩形靶 OABC由抛物线 2 2y x x? ? 分成 区、 区、 区三个区域，现 随机向该靶射击一次（假定每次射击不会脱靶），则击中 区的概率为 14 设平面点集 0)1)(|),( ? xyxyyxA ，4|),( 22 ? yxyxB ，则 BA? 所表示的平面图形的面积为 . 15. 已知椭圆 C： )0(12222 ? babyax 的右焦点为 (,0)Fc ，圆 2 2 2: ( )M x a y
7、c? ? ?，双 曲线以椭圆 C的焦点为顶点 ， 顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆 M 相切，则椭圆 C的离心率为 . 16.已知函数? 0,1230,1)( xxxexfx ，若 nm? ，且)()( nfmf ? ，则 mn? 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（本题满分 12分） 设 ABC 的内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且 ( )( )a b c a b c ac? ? ? ? ? （） 求 B ； （） 若 31si n si n 4AC ? ，求 C A O 1 y x 2 1 C B
8、第 13 题图 4 18.（本题满分 12分） 如图，三棱柱 1 1 1-ABC ABC 中， 11 60C A C B A B A A B A A? ? ? ?， ，. （） 证明： 1AB AC? ； （） 平面 ABC ? 平面 11AABB ， AB CB? ，求直线 1AC与平面 11BBCC 所成角的正弦值 . 19.（本题满分 12分） 在淘宝网上， 某 店铺 专卖当地某种特产由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量 y（单位：千克）与销售价格 x（单位：元 /千克， 15x?）：当 13x?时满足关系式 2( 3 ) 1by a x x? ? ?， （ ,ab 为
9、常 数 ）； 当 35x? 时 满 足 关 系 式70 490yx? ? 已知当销售价格为 2元 /千克时，每日可售出该特产 700千克；当销售价格为 3元 /千克时，每日可售出该特产 150千克 （）求 ,ab的值，并确定 y关于 x的函数解析式； （） 若该特产的 成本为 1 元 /千克，试确定销售价格 x 的值，使 店铺 每日销售该特产所获利润 ()fx最大（ x精确到 0.01元 /千克） 20. (本题满分 12分 ) 点 ),( yxM 与定点 )0,1(F 的距离和它到直线 4: ?xl 的距离的比是常数 21 （）记点 M 的轨迹为曲线 C ，求 C 的方程（ 写出详细的过程
10、） ； （） 过点 ? ?0,1P 的动直线与 C交于 A， B两点，设 O为坐标原点，是否存在常数 ? ，使得7O A O B PA PB? ? ? ? ?？ 请 说明理由 C 1CBB 1A 1A5 21 (本题满分 12分 ) 已知函数 ? ? 2e1xf x ax bx? ? ? ?，其中 ,ab?R ， e 2.71828? ?为自然对数的底数 . （ ） 设 ?gx是函数 ?fx的导函数，讨论 )(xg 在 1,0 上的单调性 ； （ ）设 12ln23)( ? exxxxh ，证明：当 221 ex? 时， 0)( ?xh ； （） 若 ?10f ? ，函数 ?fx在区间 ? ?
11、0,1 内有零点，求 a 的取值范围 . 22.（本题满分 10分） 已知函数 )(11)1(l o g)(242 Rxxmxxxf ?是偶函数 （） 求常数 m 的值，并写出函数 )(xf 的单调 区间（ 不要求证明 ）； （）若实数 a 满足 )2()2( 3lo g ? ff a ，求 a 的取值范围 . 6 高三双周练（ 1）数学（理科）参考答案 一、选择题 （ 本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 ） ABDDD ACDBC BC 二、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分 ） 13 61 14 ?3 15 22 16 3123ln,32( ? 三、解答题 （本大题共 6小
12、题，共 70 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（ 1）因为 ? ? ?a b c a c c ac? ? ? ? ?，所以 2 2 2a c b ac? ? ? ?.由余弦定理得 2 2 2 1c o s 22a c bB ac? ? ?，因此 120B?. ? 6分 （ 2）由（ 1）知 60AC? ? ? ，所以 ? ?c o s c o s c o sA C A C? ? ?sin sinAC? c o s c o s s i n s i n 2 s i n s i nA C A C A C? ? 1 3 1 3c o s 2 s in s in 22 4 2A C
13、 A C ? ? ? ? ? ? ?， 故 30AC? ? ? 或 30AC? ? ? ，因此 15C?或 45C?.? 12 分 18（ 1）证明：如图（ 1）所示，取 AB 的中点 O，连接 OC ， 1OA ， 1AB.因为 =CACB ， 所以 OC AB? .由于 1AB AA? ， 1 60BAA? ? ? ， 故 1AAB 为等边三角形，所以 1OA AB? . 因为 1OC OA O? ，所以 1AB OAC? 平 面 . 又 11AC OAC? 平 面 ，故 1AB AC? .? 5分 （ 2）由（ 1）知 OC AB? ， 1OA AB? ，又 11A B C A A B
14、B?平 面 平 面，交线为 AB ， 所以 11OC AA B B? 平 面 ，故 1,OA OA OC 两两相互垂直 . 以 O为坐标原点， OA的方向为 x 轴的正方向， OA 为单位长，建立如图（ 2）所示的图 （ 2 ）yxzABCA 1C 1B 1O7 空间直角坐标系 Oxyz .由题设知 ? ? ? ? ? ? ? ?11 , 0 , 0 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 3 , 1 , 0 , 0A A C B ?， 则 ? ?= 1,0 3BC ， ， ? ?11 1, 3 , 0BB AA? ? ?， ? ?1 0 3 , 3AC ?，. 设 ? ?,n x y z
15、? 是平面 11BBCC 的法向量， 则10,0,BCBB? ?nn即 3 0,3 0.xzxy? ? ? ?可取 ? ?3,1, 1 ,?n 故11110c o s , 5ACACAC? ? ?nnn. 所以 1AC 与 平 面 11BBCC 所 成 角 的 正 弦 值 为105 .? 12 分 19.（ ） 解：（ I）因为 x=2时， y=700； x=3时， y=150，所以 1502700bab? ? ?解得 400, 300ab? 每日的销售量 2 3004 0 0 ( 3 ) (1 3 )17 0 4 9 0 ( 3 5 )xxy x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； ?
16、4分 （ II）由（ I）知， 当 13x?时： 每日销售利润 2 300( ) 4 0 0 ( 3 ) ( 1 )1f x x xx? ? ? ?24 0 0 ( 3 ) ( 1) 3 0 0xx? ? ? ? 324 0 0 ( 7 1 5 9 ) 3 0 0x x x? ? ? ? ?（ 13x?） ( )fx? 2400(3 14 15)xx? 当 5,3x? 或 3x? 时 ( ) 0fx? 当 5(1, )3x? 时 ( ) 0fx? ， ()fx单增；当 5( ,3)3x? 时 ( ) 0fx? ， ()fx单减 ? 53x? 是函数 ()fx在 (1,3 上的唯一极大值点， 5
17、 3 2( ) 4 0 0 3 0 03 2 7f ? ? ?700? ； ? 9分 8 当 35x?时： 每日 销售利润 ( ) ( 7 0 4 9 0 ) ( 1)f x x x? ? ? ?= 270( 8 7)xx? ? ? ()fx在 4x? 有最大值，且 (4) 630f ? 5()3f? 综上，销售价格 5 1.673x? 元 /千克时，每日利润最大 ? 12分 20.（ 1） 推 导过程略 点 M 的轨迹 方程为 22143xy? ? 5分 （ 2）当过点 P 的直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 1y kx?，设 AB、 两点的坐标分别为 ? ?11,xy ， ? ?22,xy ， 联立 得 221431xyy kx? ?，化简 ? ?223 4 8 8 0k x kx? ? ? ?， 所以? ?12 212 28438430kxxkxxk? ? ? ? ? ? ?恒 成 立，
