1、 - 1 - 大同市 2021 届高三学情调研测试试题(卷) 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 0.5mm 黑色笔迹 签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 5.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题
2、：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A1，2，3，Bx|(x1)(x2)0，xZ，则 AB 等于 A.1 B.1，2 C.0，1，2，3 D.1，0，1，2，3 2.已知 i 为虚数单位，复数 Zi(3ai)，且|z|5，则实数 a A.4 B.4 C.4 D.2 3.已知 sin( 6 ) 1 2 ，且 (0， 2 )，则 cos( 3 ) A.0 B. 1 2 C. 3 2 D.1 4.等比数列an的各项均为正实数，其前 n 项和为 Sn，若 a34，a2a664，则 S5 A.32 B.31 C.64
3、 D.63 5.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加， 当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 A.360 B.520 C.720 D.600 6.中国传统文化是中华民族智慧的结晶，是中华民族的历史遗产在现实生活中的展现。为弘扬 中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一 1000 名学生的课余时间参加传统文化活动的 情况，随机抽取 50 名学生进行调查。将数据分组整理后，列表如下： - 2 - 以下四个结论中正确的是 A.表中 m 的数值为 10 B.估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于 2 场的学生约为
4、 180 人 C.估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于 4 场的学生约为 360 人 D.若采用系统抽样方法进行调查， 从该校高一 1000 名学生中抽取容量为 50 的样本， 则分段间 隔为 25 7.已知双曲线 mx2ny21 与抛物线 x28y 有共同的焦点 F， 且点 F 到双曲线渐近线的距离等 于 1，则双曲线的方程为 A. 2 2 1 3 y x B. 2 2 1 3 x y C. 2 2 1 5 y x D. 2 2 1 5 x y 8.函数f(x)sin(x)(其中| 2 )的图象如图所示， 为了得到yf(x)的图象， 只需把ysinx 的图象上所有点 A.向左平移 6
5、个单位长度 B.向右平移 12 个单位长度 C.向右平移 6 个单位长度 D.向左平移 12 个单位长度 9.已知变量 x，y 满足 x2y40 x20 xy20 ，则 y1 x2 的取值范围是 A. 1 2 ， 3 2 B. 1 4 ， 1 2 C. 1 4 ， 2 3 D. 1 4 ， 3 2 10.函数 f(x)( x x 12 12 )sinx 的图像大致为 - 3 - 11.如图，双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2作线段 F2P 与 C 交于点 Q，且 Q 为 PF2的中点。若等腰PF1F2的底边 PF2的长等于 C 的
6、半焦距，则 C 的 离心率为 A. 22 15 7 B. 4 3 C. 22 15 7 D. 3 2 12.已知函数 f(x)满足 f(x)1 1 (1)f x ，当 x0，1时，f(x)x，若在区间(1，1上方程 f(x)mxm0 有两个不同的实根，则实数 m 的取值范围是 A.(0， 1 2 ) B.(0， 1 2 C.(0， 1 3 D.(0， 1 3 ) 第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知平面向量a(2m1，2)，b(2，3m2)，且ab。则|2a3b| 。 14.在(2x1)7的二项展开式中，第四项的系数为
7、 。 15.已知 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，则 P 到直线 l1：4x3y110 和 l2：x10 的距 离之和的最小值是 。 16.如图，在三棱锥 PABC 的平面展开图中，AC1，ABAD3，ABAC，ABAD， CAE30 ，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 。 - 4 - 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(12 分) 在公差不为 0 的等差数列an中，a1、a4、a8成等比数列。 (1)已知数列an的
8、前 10 项和为 45，求数列an的通项公式； (2)若 bn nn1 1 a a ，且数列bn的前 n 项和为 Tn，若 Tn 11 9n9 ，求数列an的公差。 18.(12 分) 在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，CDABAD90 ， ABAD2DC22，且 E、F 分别为 PD、PB 的中点。 (1)求证：CF/平面 PAD； (2)若直线 PA 与平面 CEF 的交点为 G，且 PG1，求截面 CEF 与底面 ABCD 所成锐二面角的 大小。 19.(12 分) 某省高中男生身高统计调查数据显示： 全省 100000 名男生的身高服从正态分布
9、N(170.5，16)。 现从该省某校高三年级男生随机抽取50名测量身高， 测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和 187.5cm 之间，将测量结果按如下方式分成 6 组：第一组157.5，162.5。第二组162.5， 167.5，第六组182.5，187.5，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。 - 5 - (1)求该学校高三年级男生的平均身高； (2)求这 50 名男生身高在 177.5cm 以上(含 177.5cm)的人数； (3)在这 50 名男生身高在 177.5cm 以上含(177.5cm)的人中任意抽取 2 人， 该 2 人中身高排名(从 高到低)在全省前 130
10、 名的人数记为 ，求 的数学期望。 参考数据： 若 N(，2)。则 P()0.6826，P(33)0.9974。 20.(12 分) 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右顶点分别为 A、B， 已知|AB|4，且点(e， 3 5 4 )在椭圆上，其中 e 是椭圆的离心率。 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 是椭圆 C 上异与 A、B 的点，与 x 轴垂直的直线 l 分别交直线 AP、BP 于点 M、N，求 证：直线 AN 与直线 BM 的斜率之积是定值。 21.(12 分) 设函数 f(x)lnx 1 2 ax2bx。 (1)当
11、 ab 1 2 时，求函数 f(x)的最大值； (2)当 a0，b1，方程 2mf(x)x2有唯一实数解，求正数 m 的值。 - 6 - (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.选修 44：极坐标与参数方程(10 分) 在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 1 xtcos 2 ytsin (t 为参数，0)以坐标原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2cos sin 。 (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，若|AB|8，求 的值。 23.选修 45；不等式选讲(10 分) 巳知函数 f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|。 (1)当 a1，求不等式 f(x)g(x)的解集； (2)若不等式 f(x)g(x)的解集包含1，1，求 a 的取值范围。 - 7 - - 8 - - 9 - - 10 - - 11 -
