1、 - 1 - 2017-2018 学年度高三第二次月考理科数学试卷 考试时间： 120分钟 总分： 150分 一、选择题：（每题 5分，共 60分。） 1 已知集合 ,则 等于（ ） . A. 0 B. 3 C. 0或 3 D. 1或 3 2 若复 数 z 满足 ? ?1 2 3i z i? ? ? ，则复数 z 的实部与虚部之和为（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 3 已知函数 ? ? ? ?lnf x x x ax?有两个极值点，则实数 a 的取值范围是（） A. ? ?,0? B. ? ?0,? C. ? ?0,1 D. 10,2?4 函数 ? ?y f x? 满足对任
2、意 xR? 都有 ? ? ? ?2f x f x? ? ?成立， 且函数 ? ?1y f x?的图象关于点 ? ?1,0 对称， ?14f ? ，则 ? ? ? ? ? ?2 0 1 6 2 0 1 7 2 0 1 8f f f? ? ?（ ） A. 12 B. 8 C. 4 D. 0 5 已知 ，不等式 对于一切实数 恒成立，又存在 ，使成立，则 的最小值为 （ ） A. B. C. D. 6 在 ABC? 中，若 2sin sin cos 2ABC? ，则下面等式一定成立的为（ ） A. AB? B. AC? C. BC? D. A B C? 7一个几何体的 三视图如图所示，则该几何体的外
3、接球的表面积为（ ） A ?36 B 8 C ?29D ?8278 在 中，点 O 是 BC 的三等分点（靠近点 B），过点 O 的直线分别交直线 AB ， AC 于- 2 - 不同两点 MN， ，若 ， ， ,mn均为正数，则 11mn? 的最小值为（ ） A. 2 B. 21 3? C. 221 3? D. 231 3? 9 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A. 40322017 B. 20152016 C. 20162017 D. 20151008 10 九章算术 “ 少广 ” 算法中有这样一个数的序列：列出 “ 全步 ” （整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子
4、和 “ 全步 ” ，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用 最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为 整数，例如： 2n? 及 3n? 时，如图： 记 nS 为每个序列中最后一列数之和，则 7S 为（ ） A. 1089 B. 680 C. 840 D. 2520 11 在高校自主招生中，某学校获得 5 个推荐 名额，其中中山大学 2 名 ，暨南大学 2 名，华南师范大学 1 名，并且暨南大学和中山大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男 2女共 5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ） A. 36 B. 24 C. 22 D. 20
5、 12 已知定义在 R 上的可导函数 ?fx的导函数为 ?fx，满足 ? ? ? ?f x f x? ，且 ? ?02f ? ，则不等式 ? ? 20xf x e?的解集为（ ） A. ? ?,0? B. ? ?0,? C. ? ?2,? ? D. ? ?,2? 二、填空题：（每题 5分，共 20分。） 13 命题 p: , , 2 s in 2 06 4 6x x m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，命题 ? ? 2: 0 , , 2 1 0q x x m x? ? ? ? ? ?，若 ()pq? 为真命题，则实数 m的取值范围为 _. - 3 - 14 若偶函数 ?f
6、x在 ? ?,0? 上是增函数，且 ? ? ? ?13f a f a? ? ?，则 a 的取值范围是_ ； 15 学校艺术节对同一类的 , , ,ABCD 四项参赛作品，只评一 项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下 : 甲说： “ A 作品获得一等奖 ” ； 乙说： “ C 作品获得一等奖 ” 丙说： “ ,BD两项作品未获得一等奖 ” 丁说： “ 是 A 或 D 作品获得一等奖 ” 若这四位同学 中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 _ 16 已知二项式 3 1 nxx?的展开式中各项系数和为 256，则展开式中的常数项为 _. （用数字作答） 三、
7、解答题：（要有必要的步骤和文字说明，共 70分。） 17 已知向量 ， cos 2 ,sin3xx?，函数 ， （ 1）求函数 ?fx的解析式及其单调递增区间； （ 2）当 x 0,3?时，求函数 ?fx的值域 18 已知数列 ?na 的前 n 项和 nS ，且 na 是 2与 nS 的等差中项 . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）若 21n nnb a?，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 19如图，四棱锥 A-BCDE中， 是正三角形，四边形 BCDE是矩形，且平面 ABC 平面 BCDE，AB=2， AD=4 （ 1）若点 G是 AE的中点，求证： AC/平面 BDG
8、 （ 2）若 F是线段 AB的中点，求三棱锥 B-EFC的体积 . - 4 - 20 在 2017 年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按 “ 百分制 ” 折算，选出前 n 名学生，并对这 n 名学生按成绩分组，第一组 ? ?75,80 ，第二组 ? ?80,85 ，第三组 ? ?85,90 ，第四组 ? ?90,95 ，第五组 ? ?95,100 ，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数 依次成等差数列，且第四组的人数为 60 （ 1）请在图中补全频率分布直方图； （ 2）若 Q 大学决定在成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6名学生
9、进行面试 , （ I）若 Q 大学本次面试中有 ,BCD 三位考官，规定获得两位考官的认可即可面试成功，且各考官面试结果相互独立，已知甲同 学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为111,235 ，求甲同学面试成功的概率； （ II）若 Q 大学决定在这 6 名学生中随机抽取 3 名学生接受考官 B 的面试，第 3 组总有 ? 名学生被考官 B 面试，求 ? 的分布列和数学期望 25 已知函数 ? ? 32f x x ax bx c? ? ? ?的图象过原点 ,且在 1x? 处取得极值 ,直线3 3 0xy? ? ? 与曲线 ? ?y f x? 在原点处的切线互相垂直 . （ 1） 求
10、函数 ?fx的解析式； - 5 - （ 2） 若对任意实数的 ? ?, 2,2mn? ,恒有 ? ? ? ?f m f n t?成立 ,求实数 t 的取值范围 . 31 已知函数 ? ? 2e1xf x ax bx? ? ? ?，其中 ,ab R? ， e 2.71828? ?为自然对数的底数 . （ ）设 ?gx是函数 ?fx的导函数，讨论 ?gx在 ? ?0,1 上的单调性； （ ）设 ? ? 3 2 ln 2 1h x x x x e? ? ? ?，证明：当 122ex? 时， ? ? 0hx? ； （ ）若 ?10f ? ，函数 ?fx在区间 ? ?0,1 内有零点，求 a 的取值范围
11、 . 22 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （ 1）当 时，解不等式 ； （ 2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围 . 参考答案 1 C 2 B 【解析】 由题意可得 ： ? ? ? ? ? ? ?2 3 12 3 1 51 1 1 2 2iiizii i i? ? ? ? ? ? ?， 则实部与虚部之和为 15222? ? ? . 本题选择 B选项 . 3 D 【解析】 函数 ? ? ? ?lnf x x x ax?, 则 f( x)=lnx?ax+x(1 )ax? =lnx?2ax+1 令 f( x)=lnx?2ax+1=0得 lnx=2ax?1， 函数 f(x)=x(
12、lnx?ax)有两个极值点 ,等价于 f( x)=lnx?2ax+1有两个零点， - 6 - 等价于函数 y=lnx与 y=2ax?1 的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象 (如图 ) 当 a=12 时，直线 y=2ax?1与 y=lnx的图象相切， 由图可知 ,当 00， 即所求不等式的解集为 (0,+). 本题选择 B选项 . 13 ? ?1,1? 【解析】 ()pq? 为真命题， 命题 p、 q都是真命题， q是假命题， 命题 p: , , 2 s in 2 06 4 6x x m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 6? 2x+ 6? 23? ， 12
13、? sin （ 2x+6? ） 1 sin（ 2x+6? ） =2m ， 12? 2m 1 ， 1 m2 ， q都是真命题， q是假命题， x 2 2mx+10 ， =4m 2 4 0，即 1m1 1m1 ， 即所求 m的取值范围是 ? ?1,1? 故答案为： ? ?1,1? 14 1a? - 9 - 【解析】 偶函数 ?fx的图象关于 y 轴对称，在 ? ?,0? 上是增函数，则在 ? ?0,? 上为减函数，由于 ? ? ? ?13f a f a? ? ?，则 13aa? ? ? ，平方得： 222 1 6 9a a a a? ? ? ? ?， 88a? ， 1a? . 15 C 【解析】
14、若 A 是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若 B 是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若 C 是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若 D 是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是 C 16 28 【解析】 各项系数和为 256，令 1x? 得 n2 256? ,即 8n? 该二次展开式中的第 1r? 项为 1rT? = ? ?838 1 rrrCx x? ?=8438 rrCx? 令 843r? =0，得 2r? ，此时常数项为 3T = 28C =28 故答案为 28. 17 （ 1） ? ? 1sin 262f x x? ? ? ?， ? ? , 63k k k Z? ? ?（ 2）
15、1,02?【解析】 试题分析：（ 1） 先根据向量数量积转化为三角函数关系式，再利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求单调递增区间 （ 2） 先确定对应正弦函数定义区间，再根据正弦函数图像求值域 试题解析： （ 1 ）， 令 ，解得： ，所以函数的单调递增区间为 （ ）。 （ 2）因为 ，所以 ，即 。 则 ，则函数 的值域为 。 18 (1) an 2n;(2) Tn 3 2n 32n?. 【 解析】 试题分析： - 10 - (1)由前 n项和与通项公式的关系可得数列 ?na 的通项公式是 an 2n; (2)错位相减可得数列 ?nb 的前 n 项和
16、 Tn 3 2n 32n?. 试题解析： （ 1） an是 2与 Sn的等差中项， 2 an 2 Sn， 2 an 1 2 Sn 1， (n2) 得， 2an 2an 1 Sn Sn 1 an， 即 2(n2) 在 式中，令 n 1得， a1 2 数列 an是首项为 2，公比为 2的 等比数列， an 2n. （ 2） bn 所以 Tn ? ， 则 Tn ? ， 得， Tn ? 2( ? ) 2 所以 Tn 3 19（ 1） 详见解析 ;（ 2） 1 【解析】试题分析：（ 1）设 相交于点 ，连接 .由中位线可得 根据线面平 行的判定定理即可得证 平面 ；（ 2）由面面垂直的性质定理可得 平面 ,则可将棱锥的顶点转化为以点 .由勾股定理可得 .根据棱锥体积公式即可求其体积 . 试题解析：（ 1）证明：设 ，连接 ，由三角形的中位线定
