1、 1 湖南省长沙市 2018 届高三数学上学期第二次月考试题 理 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 8 页。时量 120 分钟。满分150 分。 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.下列集合中，是集合 ? ?xxxA 5| 2 ? 的真子集的是（ ） A ?5,2 B ? ?，6 C ? ?5,0 D ? ?5,1 2.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如
2、图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为 2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 6? ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率 是 （ ） A 231? B 23 C 434? D 43 3.已知复数 i1z ? ，则下列命题中正确的个数为 （ ） 2?z iz ?1 z 的虚部为 i z 在复平面上对应点在第一象限 A 1 B 2 C 3 D 4 4. 在等比数列 ?na 中，若 4a ， 8a 是方程 0232 ? xx 的两根，则 6a 的值是 （ ） A 2? B 2? C. 2 D 2? 5.如图，小明从街道的 E 处
3、出发，先到 F 处 与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （ ） A 24 B 18 C.12 D 9 2 6.函数 ?xf 是定义在 R 上的奇函数，对任意两个正数 )(, 2131 xxxx ? 都有? ? ? ?2112 xfxxfx ? ，记 ),3(31),1(),2(21 ? fcfbfa 则 cba, 之间的大小关系为（ ） A cba ? B cab ? C. abc ? D bca ? 7. 5)21)(2( xx ? 展开式中， 2x 项的系数为（ ） A 30 B 70 C.90 D -150 8. 某流程图如
4、图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ） A ? ? 2xxf ? B ? ? xxxf ? C. ? ?xxxx ee eexf? D ? ? xxf ? 9.将函数 ? ? ? ? 64sin3 xxf图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 6? 个单位长度，得到函数 ? ?xgy? 的图象，则 ? ?xgy? 图象的一条对称轴是（ ） A 12?x B 6?x C. 3?x D 32?x 10.以下判断正确的个数是（ ） 相关系数 rr, 值越小，变量之间的相关性越强； 命题“存在 01, 2 ? xxRx ”的否定是“不存在 01, 2 ? xxRx ”； “
5、 qp? ”为真是“ ? p ”为 假的必要不充分条件； 若回归直线的斜率估计值是 1.23，样本点的中心为（ 4,5），则回归直线方程是08.023.1? ? xy . A 4 B 2 C.3 D 1 3 11.已知函数 ? ? axxf ? 13 （ eexe ,1 ? 是自然对数的底数）与 ? ? xxg ln3? 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是 （ ） A ? ?4,0 3?e B ? ?21,0 3eC. ? ? 4,21 33 eeD ? ? ,43e 12.函数 ?xf 是定义在 R 上的奇函数，且 ? ?1?xf 为偶函数，当 ? ?1,0?x 时，
6、 ? ? ?xxf ，若函数 ? ? ? ? bxxfxg ? 恰有一个零点，则实数 b 的取值集合是（ ） A Zkkk ? ? ,412,412B Zkkk ? ? ,252,212C. Zkkk ? ? ,414,414D Zkkk ? ? ,4154,414第 卷（共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-23题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知 21,ee 是互相垂直的单位向量，若 213 ee? 与 21 ee ? 的夹角为 ?60 ，则实数 ?
7、 的值是 14.已知 20 ?x ，且10242sin ? ?x，则 ? xx cossin 15.已知数列 ?na 的通项为?5,41ln5,15nnannna n ，若 ?na 的最小值为 431 ，则实数 a 的取值范围是 16.已知球的直径 BASC ,52 ，? 是该球球面上的两点，若?452 ? B S CA S CAB ， ,则棱锥 ABCS? 的表面积为 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 已知函数 ? ? ? ?,2s in62c o s32s in Rmxmxxxf ? ? ? 212 ?f. （ 1）求 m 的值； 4 （ 2）在 ABC?
8、中，角 CBA , 的对边分别为 cba, ，若 32,2 ? Bfb， ABC? 的面积是 3 ，求 ABC? 的周长 . 18.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料： 日期 1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10 日 6 月 10 日 昼夜温差 ? ?Cx? 10 11 13 12 8 6 就诊人数 y （个） 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的
9、4 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验 . （ 1） 求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率； （ 2） 若选取的是 1 月与 6 月的两组数据，请根据 3 至 5 月份的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 abxy ? ； （ 3） 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（ 2）中所得线性回归方程是否理想？ 参考公式：? ?xbyaxxyyxxxnxyxnyxb niiniiininiii? ,)()(1211221 . 19. 等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，数列 nb 是等比数
10、列，满足 1,3 11 ? ba ，1022 ?Sb ， 323 2 aba ? . （ 1） 求数列 na 和 nb 的通项公式； （ 2） 令?为偶数为奇数nbnScnnn ,2 ，设数列 ?nc 的前 n 项和 nT ，求 nT2 . 20. 已知函数 ? ? 12 ? axxxf ，其中 Ra? ，且 0?a . （ 1） 设 ? ? ? ? ? ?xfxxh 32 ? ，若函数 ?xhy? 图象与 x 轴恰有两个不同的交点，试求 a 的取值集合； 5 （ 2） 求函数 ? ?| xfy? 在 ?1,0 上的最大值 . 21. 已知函数 ? ? )(ln Raxxaxxf ? . （
11、1） 若函数 ?xf 在区间 ? ?,e 上为增函数，求 a 的取值范围； （ 2） 当 1?a 且 Zk? 时，不等式 )()1( xfxk ? 在 ),1( ?x 上恒成立，求 k 的最大值 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，圆 C 的极坐标方程为? ? 4cos24 ? . （ 1） 将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2） 过点 ? ?0,2p 作斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于 BA, 两点，试求| 1| 1 P
12、BPA ?的值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? Raaxxxf ? |,2|2| . （ 1） 当 3?a 时，解不等式 ? ? 0?xf ； （ 2） 当 )2,(?x 时， 0)( ?xf 恒成立，求 a 的取值范围 . 炎德 英才大联考长郡中学 2018 届高三月考试卷（二） 6 数学（理科）参考 答案 一、选择题 1-5:DACCB 6-10:BBCCB 11、 12： AD 二、填空题 13. 33 14. 5102 15. ? ?,6ln816.16 三、解答题 17.【解析】（ 1)函数 ? ? )(2s in62c o s32s in ( Rmxmxxxf
13、 ? ? ）， 2212116s i n66c o s36s i n12 ? ? ? mmf ， 解得 1?m . （ 1） 1?m 时， ? ? xxxxf 2s in62c o s32s in ? ? ? xxxxx 2s in2s in212c o s232c o s232s in21 ? ? ? xx 2sin2cos3 ? ? ? 32sin2 x ABC? 中， 33s in22,2 ? ? BBfb ， 233sin ? ?B， 又 ?B0 ， 3433 ? B ， 323 ?B ， 3?B ； 7 ABC? 的面积是 3433s in21s in21 ? acacBacS ，
14、4?ac ， 4c o s2 22222 ? accaBaccab ， 8422 ? acca ， ? ? 164282 ? ca ， 4?ca ， 642 ? cba ， ABC? 的周长为 6. 18. 【解析】（ 1）设抽到相邻 两个月的数据为事件 A ,因为从 6 组数据中选取 2 组数据共有15 种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月份的数据的情况有 5 种，所以 31155)( ?AP . (2) 由数据求得 24.11 ? yx ，由公式求得 718?b ，再由 730? xbya . 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 730718? ? xy . （ 3） 当
15、 10?x 时， 2227150,7150? ?y；同样，当 6?x 时， 212778,778? ?y， 所以该小组所得线性回归方程是理想的 . 19. 【解析】（ 1）设数列 ?na 的公差为 d ，数列 ?nb 的公式为 q ， 由 3222 2,10 abaSb s ? . 得? ? ? dqd dq 23243 106，解得 ? 22?qd . 12,12)1(23 ? nnn bnna . （ 2） 由 12,31 ? naa n 得 )2( ? nnSn ， 则 n 为奇数，2112 ? nnSc nn， n 为偶数， 12? nnc . 8 )()( 24212312 nnn
16、ccccccT ? ? ? )222(12 112 15131311 123 ? ? ? ? ? nnn ? ).14(3212 241 )41(212 11 ? nn n nn 20. 【解析】（ 1） 若 ? ? 0?xf 恰有一解，且解不为 23 ，即 042 ?a ，解得 2?a ； 若 ? ? 0?xf 有两个不同的解，且其中一个解为 23 ，代入得 012349 ? a ， 解得 613?a ，检验满足 0? ； 综上所述， a 的取值集合为? ? 2,2,613. （ 2） 若 02?a ，即 0?a ，函数 ? ?xfy? 在 ?1,0 上单调递增，故 ? ? afy ? 21max ； 若 120 ? a ，即 02 ? a 时， 此时 042 ? a ，且 ?xf 的图象的对称轴在 ? ?1,0 上，且开口向上； 故 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1,1 1,22,1m a x1,0m a xm a x a aaaffy， 若 12?a ，
