1、 - 1 - 辽宁省葫芦岛市第六中学 2019 届高三数学上学期开学考试（ 8 月）试题 理 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 12 小题，每 小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
2、 1 复数 22i1i?等于 （ ） A 4i B 4i? C 2i D 2i? 【答案】 C 【解析】? ?2 2 22 i 4 i 4 2i1 i 2 i1i ? ? ? ? ?， 故选 C 2 已知集合 ? ?|3A x y x? ? ?， ? ?0,1,2,3,4B? ，则 AB? （ ） A ? B ? ?0,1,2 C ? ?0,1,2,3 D ? ? ? ?,3 4? 【答案】 C 【解析】 集合 ? ? ? ?| 3 | 3A x y x x x? ? ? ? ?， ? ?0,1,2,3,4B? ， ? ?0,1,2,3AB? ， 故选 C 3 函数 ln co s22y x
3、x? ? ? ? ? ?的图象是 （ ） - 2 - A B C D 【答案】 B 【解析】 由题得 ? ? ? ? ? ?l n c o s l n c o sf x x x f x? ? ? ? ?，所以函数 ?fx是偶函数， 所以图像关于 y 轴对称，所以排除 A， C 由题得 1ln 032f ?，所以 D 错误， 故答案为 B 4 已知两个单位向量 a 和 b 夹角为 60? ，则向量 ?ab在向量 a 方向上的投影为 （ ） A 1? B 1 C 12?D 12【答案】 D 【解析】 1co s6 02? ? ? ?a b a b， 则向量 ?ab在向量 a 方向上的投影为 ： ?
4、 ? 2 1c o s2? ? ? ? ?a a ba b aab aa 故选 D 5 已知双曲线 22 1( 0)6xy mmm? ? ?的虚轴长是实轴长的 2 倍，则双曲线的标准方程为 （ ） A 22124xy?B 22148xy?C 22 18yx ?D 22128xy?【答案】 D 【解析】 双曲线 22 1( 0)6xy mmm? ? ?的虚轴长是实轴长的 2 倍， 可得 2 = 6mm? ，解得 2m? ，则双曲线的标准方程是 22128xy? 故选 D - 3 - 6 在 ABC 中， 1a? ， 3b? ，6A?，则角 B 等于 （ ） A3?或 23?B 23?C3?D4?
5、【答案】 A 【解析】 1a? ， 3b? ，6A?， 由正弦定理得：sin sinabAB? 则 13s in 32s in 12bAB a ? ? ?， 又 0 B? ? ， ba? ， 3B?或 23? 故选 A 7 学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远执行如图所示的 程序框图，若输入 64x? ，则输出的结果为 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】 C 【解析】 输入 64x? ， 1i? ， 64 0x?，21 log 64 32x?， 1 1 2i? ? ? ； 30x? ， 21log 32x? ， 2 1 3i? ? ? ；
6、 21 log 3 02x?，221 log (log 3)2x ?， 3 1 4i? ? ? ； 221 lo g (lo g 3 ) 02x ?，结束运算，输出 4i? ， 故选 C 8 从装有 3 个白球， 4 个红球的箱子中，随机取出了 3 个球，恰好是 2 个白球， 1 个红球的概率是 （ ） A 435B 635C 1235D 36343- 4 - 【答案】 C 【解析】 由题得恰好是 2 个白球 1 个红球的概率为 213437CC 1235C ?故答案为 C 9 在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 1AB BC?， 1AC 与 1BB 所成的角为 30?
7、， 则 1AA? （ ） A 3 B 3 C 5 D 6 【答案】 D 【解析】 如图所示，连接 11AC ， 11BB AA ， 11AAC? 是异面直线 1AC 与 1BB 所成的角，即 1130AAC? ? ? ， 在 1 1 1Rt ABC 中， 221 1 1 1 1 1 1 1 2A C A B B C? ? ? ? ?， 在 11Rt AAC 中，有 111 tan30ACAA ? ? ， 即111 2 6ta n 3 0 33ACAA ? ? ?故选 D 10 将函数 ? ? ? ?c o s 2 s i n 2 3 c o s 3 02 2 2x x xfx ? ? ? ?
8、? ? ?的图象向左平移3?个单位，得到函数 ? ?y g x? 的图像，若 ? ?y g x? 在 0,4?上为增函数，则 ? 的最大值为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【答案】 B 【解析】 函数 ? ? ? ?c o s 2 s i n 2 3 c o s 3 02 2 2x x xfx ? ? ? ? ? ? ?1 c o ss i n 2 3 3 s i n 3 c o s 2 s i n23xx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ?fx的图象向左平移 3? 个单位，得 2 s in 33yx? ? ? ?的图象 ， 函数 ? ? 2siny g x
9、x? ； - 5 - 又 ? ?y g x? 在 0,4?上为增函数， 44T ?，即 244? ?，解得 2? ， 所以 ? 的最大值为 2 故选 B 11 函数 ?fx对任意的实数 x 都有 ? ? ? ? ? ?2 2 1f x f x f? ? ?，若 ? ?1y f x?的图像关于 1x? 对称，且 ? ?02f ? ，则 ? ? ? ?2017 2018ff?（ ） A 0 B 2 C 3 D 4 【答案】 B 【解析】 因为 ? ?1y f x?的图像关于 1x? 对称， 所以 ? ?y f x? 的图像关于 0x? 对称，即 ?fx为偶函数， 因为 ? ? ? ? ? ?2 2
10、 1f x f x f? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1f f f? ? ? ? ?， 所以 ?10f ? ， ? ? ? ?2f x f x? ， 因此 ? ? ? ?2017 1 0ff?， ? ? ? ?2018 0 2ff?， ? ? ? ?2 0 1 7 2 0 1 8 2ff?， 故 选 B 12 设 F ， B 分别为椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的右焦点和上顶点， O 为坐标原点， C 是直线byxa? 与椭圆在第一象限内的交点，若 ? ?FO FC BO BC? ? ?，则椭圆的离心率是 （ ） A 2 2 17?B 2 2 17
11、?C 2 2 13?D 21? 【答案】 A 【解析】 根据 ? ?FO FC BO BC? ? ?，由平面向量加法法则， 则有 BF 为平行四边形 FOBC 的对角线，故 BFO BFCSS? ， 联立椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?、直线 byxa?方程， 可得 ,22abC?， BFO BFCSS? ，则 2BOFC BOFS S bc? ， - 6 - 112222B O F C B O C O F C abS S S b c b c? ? ? ? ? ? ? ， 可得 ? ?2 2 1ac?， 1 2 2 172 2 1ce a ? ? ， 故选 A 二、填空题：本
12、大题共 4 小题，每小题 5 分 13 曲线 5e2xy ?在点 ? ?0,3 处的切线方程为 _ 【答案】 5 3 0xy? ? ? 【解析】 5e2xy? 的导数 55e xy? ， 则在 0x? 处的切线斜率为 05e 5? ? ，切点为 ? ?0,3 ， 则在 0x? 处的切线方程为 53yx? ? ，即为 5 3 0xy? ? ? 故答案为 5 3 0xy? ? ? 14 若变量 x ， y 满足约束条件 2534xyxy?，则 z x y? 的取值范围是 _ 【答案】 ? ?1,7 【解析】 作出不等式组 2534xyxy?对应的平面区域如图所示阴影部分 ABC ； 由 z x y
13、? 得 y x z? ? ，即直线的截距最大， z 也最大； 平移直线 y x z? ? ， 可得直线 y x z? ? 经过点 ? ?3,4C 时，截距最大，此时 z 最大， - 7 - 即 3 4 7z? ? ? ；经过点 A 时，截距最小，由 =4 2 =5yxy? ?，得 3 =4xy ? ?， 即 ? ?3,4A? ，此时 z 最小，为 3 4 1z? ? ? ； 即 z 的取值范围是 ? ?1,7 ， 故答案为 ? ?1,7 15 已知 ? ?0,?， tan 2? ，则 cos2 cos?_ 【答案】 535?【解析】 ? ?0,?， tan 2? ， 0,2? ?， 则 22s
14、 in 1 c o s44c o s c o s? ? ?，解得 5cos5? 2 1 5 5 3c o s 2 c o s 2 c o s 1 c o s 2 15 5 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故答案为 535? 16 四棱锥 S ABCD? 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 SAD 是以 SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥 S ABCD? 的体积取值范围为 4 3 8,33?，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 _ 【答案】 28 ,203?【解析】 四棱锥 S ABCD? 中， 可得： AD SA? ； AD AB AD? ? ?平面 S
15、AB? 平面 SAB? 平面 ABCD ， 过 S 作 SO AB? 于 O ，则 SO? 平面 ABCD ， 设 SAB ?，故 18 s i n33S A B C D A B C DV S S O ? ? ? ?， 所以 3sin 12? ?,， 2 1 1c o s3 3 2 2? ? ? ? ? ?,， 在 SAB 中， 2SA AB?，则有， 2 2 1 cosSB ?， 所以 SAB 的外接圆半径 2 1 c o s2 s in s inSBr ?， 将该四棱锥补成一个以 SAB 为一个底面的直三棱柱， 得外接球的半径 2 1Rr?， 2 24 4 11 c o sSR ? ? ?
16、 ? ? ?， - 8 - 所以 28 203S ?, 故答案为 28 ,203? 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （ 12 分） 设 nS 为数列 ?na 的前 n 项和，已知 3 7a? ， ? ?122 2 2nna a a n? ? ? ? （ 1）证明： ? ?1na? 为等比数列； （ 2）求 ?na 的通项公式，并判断 n ， na ， nS 是否成等差数列？ 【答案】 （ 1）见解析；（ 2）见解析 【解析】 （ 1）证明： 3 7a? ， 3222aa?， 2 3a? ， 121nnaa?， 1 1a? ， ? ?1
17、111 2 2 2211nnaa n? ? ?， ? ?1na? 是首项为 2， 公比为 2 的等比数列 （ 2）由（ 1）知， 12nna ? ， 21nna ?， 1 122 2212n nnS n n? ? ? ? ? ?， ? ?12 2 2 2 2 1 0nnnnn S a n n? ? ? ? ? ? ? ? ? 2n S a? ， 即 n ， na ， nS 成等差数列 18 （ 12 分） 某体育公司对最近 6 个月内的市场占有率进行了统计，结果如表： （ 1）可用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系吗？如果能，请求出 y 关于 x 的线性回归方程，如果不能，请说明理由； （ 2）公司决定再采购 A ， B 两款车扩大市场， A ， B 两款车各 100 辆的资料如表： - 9 - 平均每辆车每年可为公司带来收入 500 元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？ 参考数据： ? ?6 21 17.5ii xx? ?， ? ? ?61 35iii x x y y? ? ? ?， ? ?6 21 76ii yy? ?， 1330 36.5? 参考公式：相关系数? ? ? ? ? ?12211niiinniiiix x y yrx x y y?；
