1、28.1 锐角三角函数第二十八章 锐角三角函数第1课时 锐角的正弦第一页，编辑于星期一：一点 十七分。复习直角三角形相关知识已知：在RtABC中，C=90，三边关系：a2+b2=c2 两锐角关系：A+B=90 思考：边角之间有什么特殊的关系吗？在直角三角形中，如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。其他的直角三角形是否也存在类似的边角关系呢？复习引入复习引入 提出问题提出问题1第二页，编辑于星期一：一点 十七分。1经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实 2能根据正弦概念正确进行计算第三页，编辑于星期一：一点 十七分。【引入引入】操场里
2、有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米然后他很快就算出旗杆的高度了。你想知道小明怎样算出的吗？今天我们将学习一种新的函数（锐角三角函数）第四页，编辑于星期一：一点 十七分。活动活动1:为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为，
3、为使出水口的高度为35m，那么需要准备多，那么需要准备多长的水管？长的水管？这个问题可以归结为，在这个问题可以归结为，在RtABC中，中，C=90，A30，BC35m，求，求AB根据根据“在直角三角形中，在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半角所对的边等于斜边的一半”，即，即12ABCAB的对边斜边可得可得AB2BC70m，也就是说，需要准备，也就是说，需要准备70m长的水管长的水管ABC 分析分析：第五页，编辑于星期一：一点 十七分。在上面的问题中，如果使出水口的高度为在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中
4、，如果一个锐角等于结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么不管三角形的大，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21ABC50m35m,21ABCBA斜边的对边B C AB2B C 250100(m)第六页，编辑于星期一：一点 十七分。在在RtABC中，中，C90，由于，由于A45，所以，所以RtABC是等腰是等腰直角三角形，由勾股定理得直角三角形，由勾股定理得:22222BCBCACABBCAB222212BCBCABBC因此因此 即在直角三角形中，当一个锐角等于即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，不管这个直角三角时，不
5、管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于22 如图，任意画一个如图，任意画一个RtABC，使，使C90，A45，计算，计算A的对边与斜边的对边与斜边的比的比 ，你能得出什么结论？，你能得出什么结论？ABBCABC第七页，编辑于星期一：一点 十七分。21综上可知，在一个综上可知，在一个RtABC中，中，C90，当，当A30时，时，A的对边与斜边的比都等于的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当是一个固定值；当A45时，时，A的对边与斜边的比都等于的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值，也是一个固定值.22 一般地，当一般地，当A 取其
6、他一定度数的锐角时，它的对边与取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？斜边的比是否也是一个固定值？第八页，编辑于星期一：一点 十七分。在图中，由于在图中，由于CC90，AA，所以，所以RtABCRtABCBAABCBBCBACBABBC 这就是说，在直角三角形中，当锐角这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的的度数一定时，不管三角形的大大小小如何，如何，A的对边与斜边的比也是一个固定值并且的对边与斜边的比也是一个固定值并且直角三角形中一直角三角形中一个锐角的个锐角的度数度数越大，它的越大，它的对边与斜边对边与斜边的比值越大。的比值越大。任意画任意画Rt
7、ABC和和RtABC，使得，使得CC90，AA，那，那么么 与与 有什么关系你能解释一下吗？有什么关系你能解释一下吗？ABBCBACB探究探究ABCABC第九页，编辑于星期一：一点 十七分。如图，在如图，在RtABC中，中，C90，我们把锐角，我们把锐角A的对边与斜边的对边与斜边的比值叫做的比值叫做A的正弦的正弦（sine），记作：），记作：sinA 即即caAA斜边的对边sin例如，当例如，当A30时，我们有时，我们有2130sinsinA当当A45时，我们有时，我们有2245sinsinAABCcab对边对边斜边斜边在图中在图中A的对边记作的对边记作aB的对边记作的对边记作bC的对边记作的
8、对边记作c 正正 弦弦 函函 数数第十页，编辑于星期一：一点 十七分。ACBCCDAC运用知识，解决问题：运用知识，解决问题：如图，已知CD是RtABC斜边上的高，则sinA=sinB=,sinDCB=-,sinACD=-.DBAC第十一页，编辑于星期一：一点 十七分。例例1：如图，在如图，在RtABC中，中，C90，求，求sinA和和sinB的值的值解：解：（1）在）在RtABC中，中，5342222BCACAB因此因此53sinABBCA54sinABACB（2）在）在RtABC中，中，135sinABBCA125132222BCABAC因此因此1312sinABACBABC34 求求si
9、nA就就是要确定是要确定A的的对边与斜边对边与斜边的比的比；求；求sinB就是要确定就是要确定B的的对边与对边与斜边的比斜边的比ABC135第十二页，编辑于星期一：一点 十七分。思考思考:计算一个锐角的正弦值要注意哪些问题？【反思小结反思小结】计算一个锐角的正弦值要注意两个方面的问题：一是确定这个锐角所在的直角三角形；二是要注意正弦等于这个锐角的对边与斜边的比 第十三页，编辑于星期一：一点 十七分。313254DBAC例2、已知ABC中C90，SinA=，求、的长。变式：1.在ABC中C90，SinA=，则SinB=_2.在RtABC中ACB90,CDAB,垂足为点D,AD=4,sinACD=
10、,求CD,BC的长。第十四页，编辑于星期一：一点 十七分。例3.如图，在等腰ABC中ABAC10，BC12，求SinB的值。A B CBAC变式:在ABC中C120，AC=3,BC=2,求AB和sinA的值。第十五页，编辑于星期一：一点 十七分。1.判断对错判断对错:A10m6mBC1)如图如图 (1)sinA=（）(2)sinB=（）(3)sinA=0.6m （）(4)SinB=0.8 （）ABBCBCABsinAsinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图，如图，sinA=（）BCAB巩固练习第十六页，编辑于星期一：一点 十七分。2 2.在在Rt
11、RtABCABC中，锐角中，锐角A A的对边和斜边同时扩大的对边和斜边同时扩大 100 100倍，倍，sinAsinA的值（的值（）A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定C11003.如图如图ACB37300则则 sinA=_ .12第十七页，编辑于星期一：一点 十七分。师生小结师生小结 总结提高总结提高 在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是定值2.在RtABC中，C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA 3.sinA是A的函数.第十八页，编辑于星期一：一点 十七分。反
12、馈反馈 提炼提炼 C B A 1如图，在直角ABC中，C90o，若AB5，AC4，则sinA（）A3/5 B 4/5 C 3/4 D4/32 在ABC中，C=90，BC=2，sinA=，则边AC的长是()3如图，已知点P的坐标是（a，b），则sin等于（）A.C.B.第十九页，编辑于星期一：一点 十七分。53232 55524如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D。已知AC=，BC=2，那么sinACD（）5C.B.D.A.ABDC5.如图，已知AB是O的直径，点C、D在O上，且AB=5，AC=3，弧AD=弧DB，求sinBAC、sinDAB的值.第二十页，编辑于星期一：一点 十七分
13、。九年级数学九年级数学下下 新课标新课标人人第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数28.2锐角三角函数（第锐角三角函数（第2课时）课时）第二十一页，编辑于星期一：一点 十七分。学学 习习 新新 知知问题思考问题思考观察两个大小不同的三角板，当角是30，45，60时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.第二十二页，编辑于星期一：一点 十七分。【思考】在不同的直角三角形中，当锐角A的度数相同时，它们的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是同一个固定值吗?已知:如图所示，在RtABC和RtABC中，C=C=90，A=A=.ACA CBCB CABA BACA C 求证：，证明
14、:由于C=C=90，A=A=，所以RtABCRtABC，.ACABACA CA CA BABA B 因此，即.BCACBCB CB CA CACA C 同理可得，即【思考】大家能不能得出锐角B的度数一定时，B的邻边与斜边、B的对边与邻边的比是不是一个固定值呢?第二十三页，编辑于星期一：一点 十七分。1.在直角三角形中，当锐角的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的邻边与斜边的比都是一个固定值.2.在直角三角形中，当锐角的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比都是一个固定值.第二十四页，编辑于星期一：一点 十七分。如图所示，在如图所示，在RtABC中，中，C
15、90，当锐角，当锐角A确定时，确定时，A的对边与斜边的比就随之的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？是否也确定了呢？为什么？ABC邻边邻边b对边对边a斜边斜边c 当锐角当锐角A的大小确定时，的大小确定时，A的邻边与斜边的比、的邻边与斜边的比、A的对边与邻边的比也分的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把别是确定的，我们把A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做A的余弦（的余弦（cosine），记作），记作cosA，即，即cosAbAc的邻边斜边 把锐角把锐角A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A的正切（的正切（tangent），
16、记作），记作tanA，即，即tanAaAAb的对边的邻边 锐角锐角A的正弦、余弦、正切都叫做的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数的锐角三角函数第二十五页，编辑于星期一：一点 十七分。(教材例2)如图所示,在RtABC中,C=90,AB=10,BC=6,求sin A,cos A,tan A的值.【思考】【思考】(1)根据余弦、正切的定义,要求cos A,tan A的值必须求出哪条边的长?(2)怎样求出AC的长?2222631058410563.84106BCsinAABACcosAABBCtanAACACABBC解：由勾股定理得=8，所，以，第二十六页，编辑于星期一：一点 十七分。35(补充
17、拓展)如图所示，在RtABC中，C=90，BC=6，sin A=，求cos A，tan B的值.【解析】(1)已知sin A和BC的值，根据正弦定义，可以求出三角形的哪条边长?(2)你能不能求出三角形的第三条边长?(3)根据余弦、正切定义，你能求出cos A，tan B的值吗?3=.610.5BCBCsinAABABsinA解：44.53ACACcosAtanBABBC，22221068.ACABBC又第二十七页，编辑于星期一：一点 十七分。(4)当用三个字母表示角时，角的符号“”不能省略，如tanABC.知识拓展知识拓展(1)余弦和正切都是一个比值，没有单位.（2)余弦值和正切值只与角的大小
18、有关，而与三角形的大小无关.(3)cos A，tan A都是一个整体符号，不能写成cosA，tanA.590=cos,sintan,cossintan1.BCaRt ABCCAABcACbACbBCaABBABcABcABcBCaACbABACbBCaABABAB（）在中，由于sin，cos，tan 因此，sin，cos，tan 22222690sins()insincos1.cosABCCabcabaAAAccbAAAAA 在Rt中，cos，tan，tan 第二十八页，编辑于星期一：一点 十七分。检测反馈检测反馈1.已知RtABC中，C=90，AB=4，AC=1，则cos A的值是()A.B
19、.C.D.4154141514ACAB解析:根据余弦定义可得cos A=.故选B.B2.在RtABC中，C=90，AB=13，AC=12，则下列选项正确的是()A.sin A=B.cos A=C.tan A=D.以上都不对1251251213解析:由勾股定理可得BC=5，sin A=，cos A=，tan A=.故选B.22ABAC513BCAB213ACAB512BCACB第二十九页，编辑于星期一：一点 十七分。3.如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，网格中，小正方形的边长均为1，若将ACB绕着点A逆时针旋转得到ACB，则tan B的值为.131313解析解析:由旋转可得B=B，
20、所以tan B =tan B=.故填 .334.如图所示，在ABC中，C=90，cos A=，AB=12，求ABC的面积.解:cos A=，AB=12，AC=4 .由勾股定理可得BC=SABC=ACBC=4 4 =24 .33ACAB3222212(4 3)4 6.ABAC1212362第三十页，编辑于星期一：一点 十七分。小结小结1.余弦的定义：斜边的邻边AAcoscb2.正切的定义：的邻边的对边AAAtanab3.三角函数的定义第三十一页，编辑于星期一：一点 十七分。上交作业：教科书第68页习题28.1第1，2题（只做与余弦、正切函数有关的部分），第4，6题 课后作业：“学生用书”的课后作
21、业部分第三十二页，编辑于星期一：一点 十七分。的值的值求求若若 sincos3sin2cos5,2tan1 、02020015cos15sin263tan27tan2 、扩展扩展第三十三页，编辑于星期一：一点 十七分。九年级数学九年级数学下下 新课标新课标 人人第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数28.1.3 锐角三角函数（第锐角三角函数（第3课时）课时）第三十四页，编辑于星期一：一点 十七分。知识回顾知识回顾如图所示，在RtABC中，C=90，如果角A确定，那么 角A的三角函数 sinA=cosA=tanA=.第三十五页，编辑于星期一：一点 十七分。30 45 60sin cos
22、tan 1232332222132123三角函数值三角函数值锐角锐角利用右图，借助勾股定理求出30、45、60角的三角函数值.填入表中探究新知探究新知第三十六页，编辑于星期一：一点 十七分。探究探究 新新 知知问题思考问题思考 熟记特殊角的锐角三角函数值是进行三角函数计算的关键 注意：注意：(1)要会借助两个基本直角三角形，如图所示，推导30、45、60角的三角函数值.(2)上表的含义是会求30、45、60的正弦值、余弦值及正切值，并用来计算，反过来，已知一个特殊角的正弦值、余弦值及正切值，要会求出相应的锐角.第三十七页，编辑于星期一：一点 十七分。例例1 求下列各式的值：求下列各式的值：（1
23、）cos260sin260（2）45tan45sin45cos解：解：（1）cos260sin260222321145tan45sin45cos（2）122220点拨：点拨：(1)你知道你知道cos260与与sin260表示的意义吗表示的意义吗?cos260表示表示(cos 60)2，sin260表示表示(sin 60)2(2)cos 60，sin 60，cos 45，sin 45，tan 45各等于什么值各等于什么值?第三十八页，编辑于星期一：一点 十七分。例例2（1）如图所示，在）如图所示，在RtABC中，中，C90，求求A的度数的度数63ABBC 解：解：在图中，在图中，,2263sin
24、ABBCA.45 AABC36第三十九页，编辑于星期一：一点 十七分。（2）如图所示，AO是圆锥的高，OB是底面半径，求的度数,33tanOBOBOBAOa.60 a解：解：在图中，在图中，ABO3AOOB【归纳】要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊值，那么我们就可以求出这个角的度数.第四十页，编辑于星期一：一点 十七分。(1)结合图形结合图形(如图所示如图所示)及其中的数据和三角函数定义来计算特及其中的数据和三角函数定义来计算特殊角的三角函数值，从而记住结果殊角的三角函数值，从而记住结果.知识拓展知识拓展(2)对于其他相关角的三角函数值，往
25、往用定义求解，对于其他相关角的三角函数值，往往用定义求解，15，22.5，75角等角等.(3)等边三角形、等腰直角三角形及与等边三角形、等腰直角三角形及与30，45，60角相关联的角相关联的其他三角形问题，常常要用特殊角的三角函数值解答其他三角形问题，常常要用特殊角的三角函数值解答.第四十一页，编辑于星期一：一点 十七分。检测反馈检测反馈1.计算3tan 30的值等于()A.B.3 C.D.333232解析:3tan 30=3 =.故选A.333121222322.在ABC中，A，B都是锐角，若sin A=，且B=90-A，则sin B等于()A.B.C.D.1解析:sin A=，A=30，又
26、B=90-A，B=60，sin B=sin 60=.故选C.3212CA第四十二页，编辑于星期一：一点 十七分。3.在ABC中，A，B都是锐角，sin A=，cos B=，则ABC的形状为三角形.解析:sin A=，cos B=，A=30，B=45，又A+B+C=180，C=105，ABC为钝角三角形.故填钝角.1222224.计算.(1)2sin 30 -cos 45;(2)tan 30-sin 60sin 30;.233133322343.12解：钝角钝角(1)2sin 30-cos 4512221 1 0.22 (2)tan 30-sin 60sin 3012第四十三页，编辑于星期一：一点 十七分。小结小结1、这节课你有那些收获？2、这节课你还有那些困惑？第四十四页，编辑于星期一：一点 十七分。
