1、 高三数学试题入学考试 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知集合2 4Axx， 2 430Bx xx，则AB（ ） A. 14xx B. 24xx C. 34xx D. 23xx 2. 已知 0.2 3a ， 0.3 0.3b ， 0.5 log3c ，则（ ） A. abc B. cab C. bac D. cba 3. 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理 可以得到柱体的体积公式V Sh 柱体 ，其中S是柱体的
2、底面积，h是柱体的高.若某斜三棱柱的底面是边长 为 4 正三角形ABC，侧棱长为 4（单位：cm），侧棱与底面ABC所成的角为 60，则该柱体的体积（单 位： 3 cm）是（ ） A. 24 B. 16 3 C. 8 3 D. 24 3 4. 函数cos lnyxx 的图像可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 2sincos 4 fxxx ，若 2 3 f ，则sin2（ ） A. 5 9 B. 5 9 C. 4 9 D. 4 9 6 如图所示，直线l与双曲线 22 22 :10,0 xy Eab ab 的两条渐近线分别交于A，B两点，若 6OA OB 且AOB的面积为3 3，
3、则E的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 5 7. 如图，在平行四边形ABCD中，满足ABBD， 22 216ABBD ，若将其沿BD折成二面角 ABD C，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 8. 已知偶函数 f x满足44f xfx，且当 0,4x时， 2 x fxxe ，若关于x的不等式 2 0fxaf x在8,8上有且只有 12 个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. 3 2 2 4,3ee B. 13 22 ,3ee C. 3 1 2 3,2ee D. 1 2 2 4,ee 【多选】 9 10 在平面直角坐标系 xO
4、y中，已知 A（1，0），B（1，3） ， 动点 P满足 OPxOA+yOB（加粗代 表向量 ）， 且当|x|y| 1，则下列说法正确的是（） A . P 的轨迹为圆 B. P 到原点最短距离为 1 C 当 x 0, y 0 时，若 P 为线段 AB 中点时，则 6OA OB =OP 2 AP 2 D 若只将题干条件中 A，B 改为动点，其余不变，线段 AB 为固定长度，选项 C 依然成立 11 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，将答案写在答题纸上. 13. 若 6 a x x 展开式的常数项为 160，则a_. 14.为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，
5、某学校积极推进教学改革，开发了 8 门校本 课程，其中艺术类课程 5 门，劳动类课程 3 门.小明从 8 门课程中任选 3 门，其中劳动类课程至少选 1 门，则小明的选课方法共有_. 15在平面直角坐标系 xOy 中，P(2，2)，Q(0，4)为两个定点，动点 M 在直线 x1 上，动点 N 满足 NO2NQ216，则 PN 长的最大值为 ，PMPN的最小值为 16 若 ，满足恒成立，则实数的取值范围为_ 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （本小题 10 分）. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足3 cossin0bCcB. （1）
6、求C； （2）已知2 3c ，求ABC外接圆的面积和三角形面积的最大值. 18. （本小题 12 分） 等比数列 n a满足： 1 0,1 n aa，且 245 ,21 ,aaa成等差数列.设等差数列 n b的前n项和为 n S， 且满足 1 1b ， 5 15S . （1）求 n a、 n b的通项公式. （2）记 4 1 log3 n nn C ab ，求 n C的前n项和为 n T. 19. （本小题满分 12 分） 平行四边形ABCD满足60BAD，2ABAD，E是线段AB的中点，沿DE将三角形ADE折 起至DEF，使得DEF所在平面与底面ABCD互相垂直，如图所示，G线段CF的中点.
7、 （I）求证：/BG平面DEF； （II）求CF与平面ABCD所成角的正切值. 20. （本小题 12 分） 十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某县积极引导农民种植一种优质黄桃作为帮助农 民脱贫致富的主导产业，从而大大提升了该县村民的经济收入，去年黄桃喜获丰收，从中随机抽取 100 个.测量这些黄桃的横径，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求这 1000 个黄桃横径的众数和中位数（结果保留一位小数）； （2）根据频率分布直方图，可以认为全县丰收的黄桃横径值X近似服从正态分布 2 ,N ，其中 近似为样本平均数 72.5x ， 2 近似为样本方差 2 37.5s . （i）若规定
8、横径为66.4,84.7的为一级果，试估计这 1000 个横桃中一级果的个数； （ii）为答谢广大农户的积极参与，某调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下： 在一箱子中放置 5 个除前颜色个完全相同的小球，其中红球 1 个，黑球 4 个，让农户从箱子中随机取 出一个球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中，让他继续取球，直到取到红 球为止（取球次数不超过 3 次）.若农户取到红球，则视为中奖，获得 2000 元的奖励，若一直未取到红 球，则视为不中奖，现农户李四参加了抽奖活动，记他中奖时取球的总次数为随机变量X，求X的分 布列和数学期望. （附355.9，37.
9、56.1， 7 0.9750.8380， 8 0.9750.817， 9 0.9750.796， 若 2 ,XN ，则0.68PX220.95PX） 21. （本小题 12 分） 已知椭圆 22 22 1 xy ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，过 1 F作直线L，交椭圆于A、B两点， 2 F AB的周 长为 8，且椭圆经过点 3 3, 2 . （1）求椭圆的方程； （2）过坐标原点O作直线L的垂线，交椭圆于P，Q两点，试判断2 14 AB PQ 是否为定值，若是， 求出这个定值. 22. （本小题共 12 分） 设函数 ln x f xeaxae x，aR （1）若2ae，求曲线 yf
10、 x在点 2,2f处的切线方程； （II）若1a，01x，求证： 0f x 数学试题答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C A C A D 1. 答案：D【解答】解：集合|24Axx， 2 430|13Bx xxxx=， 23ABxx.故选：D. 2. 答案：B【解答】因为 0.2 301aa ， 0.3 0.31bb ， 0.5 log3,0cc 所以本题考查 了对数函数和指数函数的单调性，对数的运算性质，属于基础题. 3. 答案：A【解答】：斜三棱
11、柱的高是2 3 该柱体的体积为 24，选 A. 4. 答案： C 【解答】 ： 由题意知函数 x f xex 在定义域上单调递减.由 12f xf 0可得 12f xf，12x ，解得3x ，故原不等式的解集为3,，故选 C. 5. 答案：A【解答】：由条件得 2 cos 43 ， 2 5 sin2cos22cos1 249 或将条件 2 cos 43 展开平方可得结果 6. C【解答】解：设 0 2 AOX ，由题意可得cos26OA OB ， 1 sin23 3 2 OA OB 所以tan23 ，即2120，可得60，tan3 b a ，所以 2 12 b e a ， 故选：C. 7. 答
12、案：A【解答】解：平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD折成直二面角ABD C 平面ABD平面BDC，三棱锥ABCD的外接球的直径为AC， 2222222 4216RACABBDCDABBD外接球的半径为 2， 故表面积是16.故选： A. 8. 答案： D. 【解答】 ： 偶函数 f x满足44f xfx， f x的周期为 8 且关于直线4x 对 称，当0,4x时， 2 0 x fxxe 知 0f x 恒成立，又由 2 0fxaf x得 0fxfxa ， 即 f xa 在0,8上有 6 个零点， 而 2 0,2 x f xxe 单调递增，2,4单 调递减， 0480fff， 1 2 1fe
13、， 1 22fe， 3 2 33fe ， 2 44fe， 41faf 1 2 2 4eae ，选 D. 【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决 问题的能力 9 。 B C D 10 选 B C D 解：当 x 0, y 0 时，由已知得： x y 1 P 点的轨迹为线段 AB 同理可得：当 x y 1 时，P 点的轨迹为平行四边形 ABCD （如图） P 到原点最短距离：经计算 P 到线段 BC 的距离大于 1，C D 根据向量极化恒等式， 11 BCD 选 A B D 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，将答案写在答题
14、纸上. 13. 答案：2【解答】：解：二项式 6 a x x 的展开式的通项公式为 6 2 16 Cr rr r Tax ，令620r， 可得3r ；2a .【点评】本题主要考查二项式定理等基础知识；考查运算求解能力. 14. 答案：46，解答 3312213 8535353 46,46CCC CC CC .15 PMPN的最小值为3 解析：由 NO2NQ216，得点 N 在圆 22 (2)4xy上，PN 最大为 P 到圆心距离加半径，设 MN 中点为 T(x，y)，M(1，m)，N( 0 x， 0 y) 则 0 0 21 2 xx yym ，代入圆 N 得： 22 12 ()()1 22 m
15、 xy ，即点 T 在以( 1 2 ， 2 2 m )为圆心，1 为半径的圆上 所以 PT 的最小值为 3 2 ，PM PN 的最小值为 3（相关点代入法求轨迹） 16 要么取对数分参+隐零点，要么同构 三、解答题：共 6 个小题，总计 80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.将解题过程及答 案填写在答题纸上. 17. 解：（1）3 cossin0bCcB 由正弦定理可得：3sincossinsin0BCCB sin0B， 3cossinCC ， tan3C ，0,C， 3 C ； （2）2 3c ， 3 C ， 2 3 24 sin3 2 c R c ，2R ABC外接圆的面
16、积为4，三角形面积最值三种方法易求 3 根号 3（边、角、解析法） 18. 【解析】（1）由条件得： 254 41aaa， 43 41qqq ，0q ，4q 而 1 1a ，所以 1 4n n a 又 1 1b ， 5 15S ，所以 n bn （2）由（1）知 4 111 11 log3222 n nn C abn nnn 1111111 213242 n T nn 1111 1 2212 n T nn 所以 1 311 2 212 n T nn 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的求和的应用，主要考查学生的 运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 19.
17、（I）证明：如图，取线段DF的中点H，连接HG， G是线段CF的中点，则/HGCD且 1 2 HGCD. 平行四边形ABCD中，E为线段AB中点，则/BECD且 1 2 BECD. 则/ /HGBE且HGBE，故四边形BEHG为平行四边形， /BGEH. 又BG 平面DEF，EH 平面DEF，/BG平面DEF； （II）解：法一：如图，在等边DEF中取DE边中点O，连接FO，连接CO，则FODE， 平面DEF 平面ABCD，且平面DEF平面ABCDDE， FO平面ABCD，则OCF为CF与平面ABCD所成角 在平行四边形ABCD中，60BAD，E是线段AB的中点， 设2ADa，则有DOa，4C
18、Oa，60ODC在DOC中，可得13COa 又3FOa， 339 tan 1313 FOa OCF COa 法二：设4AB ，2BC ，设CF与平面ABCD所成的角为，如图，以OE为x轴，以过O和CD中 点的直线为y轴，以OF为z轴建立直角坐标系， 则1,2 3,0C，0,0, 3F，1,2 3, 3CF ， 平面ABCD的法向量取为0,0,1m ，则 3 sincos, 4 CF m ， 39 tan 13 20. 【解析】（1）这 1000 个黄桃横径的众数为 72.5， 设中位数为x，则有0.020.090.22700.660.5x，解得72.6x， 所以中位数为 72.6 （2）（i）
19、由题可得黄桃的横径72.5,37.5XN， 0.950.68 20.950.815 2 PX 所以这 1000 个黄桃中一级有1000 0.815815个. （ii）由题可知李四每一次取球中奖的概率为 4 5 ，未中奖的概率为 1 5 .则 1 41 55 n P xn ，且x的分布 列为 x 1 2 3 p 1 5 1 41 55 2 41 55 2 141411 1848 123 555555 52525 EX 所以 113 125 EX 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考査二项分布的 性质等基础知识，是中档题 21. 【解析】（1） 1212
20、 2,2aAFAFaBFBF， 22 48AFBFABa， 又 2 2 22 3 2 3 1 ab ，有3b 所以椭圆的方程为 22 1 43 xy （2）当直线L的斜率不存在时，3AB ，4PQ ，2 14117 3412AB PQ 当直线L的斜率存在时，设直线:1AB yk x，代入椭圆方程得： 2222 3484120kxk xk ， 2 12 2 12 2 8 34 12 34 k xx k x x k ， 2 2 12 2 121 1 34 k ABkxx k ； 又直线 1 :PQ yx k ，代入椭圆方程得： 222 34120kxk 2 12 2 2 14 31 1 43 k
21、PQxx k k 则， 22 2 2 222 4 3471 14437 12121481121 kk k ABkkk PQ 综上所述2 147 12AB PQ 为定值. 22. 【解析】（1） 2 ln x f xeexex， 2 x e fxee x ， 2 2fe 切线方程为： 22 2 1 ln2ye xee 法一：记 lnxxx，则 11 1 x x xx ， x在0,1单调减， min 10 x， 1x，即ln1xx 又由 ln x f xeaxae x， 可记 ln x g axx aeex， 结合 0 x， 得 g a在1a 上单调递增， max 1ln x g agxxeex
22、， 要证： 0f x ，即证 max 1ln0 x g agxxeex 当01x时，ln1111 xxx exexexexeex ， 记 1 x h xeex，则 x h xee在0,1单调递增，又 max 10h xh， 0 x h xee ， 1 x h xeex在0,1单调递减， max 00h xh， 即 ln110 xx exexeexh x ，证毕. 法二： x a fxeae x ，则 10 f ，且 2 x a fxe x ，1a， fx 在0,1上为增函 数. 当0ae 时，即 10fxfea ， fx 在0,1单调递减， 10fxf ，所以 f x在0,1单调递增， 10f
23、 xfae ，故此时不成立. 当1ea 时，0 x时， fx ，且 10fea 故存在 0 0,1x 使 0 0fx，且 0 0 min 0 x a fxfxeae x ，又 0 2 0 0 x a e x ， 0 2 0 x ax e 0 2 00 min 1 x fxexxe 设 2 101 x g xexxex ， 2 2120 xx gxexxexx ， 101gg xge， min0fx 存在 10 0,xx，且当 1 xx时， 1 11 max ln x f xeaxae x，且 1 1 0 x a eae x 111 1111 max 1 ln11 ln xxx a f xeax
24、exexax x 要使原不等式成立，只需 1 11 11 ln0 x exax，1a， 1 01x 所以只需 1 11 11 ln0 x exx 令 ln1 01 xx h xexexx， 1 x h xxe x ，且在0,1内为减函数， 22 33 2322 9 0 3233 4 hee ， 110he ， 故存在 2 2 ,1 3 x ， 使 2 22 2 1 0 x hxx e x ， 所以 h x在 2 3 , 2 x 单调递增，在 2,1 x单调递减， 所以 22 222 max ln1 xx h xh xex ex又 2 22 2 1 0 x hxx e x 即 2 2 2 1 x e x ，且 22 1 ln 2 xx 22 2 22max 222 1119 111210 224 xx h xx xxx 故原不等式成立.
