1、实验表明：不同波源产生的波在同种介质中传实验表明：不同波源产生的波在同种介质中传播时，无论相遇与否将各自独立保持原有特征播时，无论相遇与否将各自独立保持原有特征不变，并按各自原传播方向前进；在相遇区域不变，并按各自原传播方向前进；在相遇区域任一点的振动，为各列波单独存在时在该点引任一点的振动，为各列波单独存在时在该点引起振动位移的矢量和。起振动位移的矢量和。10.6 10.6 波的叠加原理波的叠加原理 波的干涉波的干涉10.6.110.6.1波的叠加原理波的叠加原理1s2sP*1r2r叠加原理：叠加原理：两个以上的波在同一两个以上的波在同一区域传播时，介质中质点的振动区域传播时，介质中质点的振
2、动位移是每一波动单独传播时引起位移是每一波动单独传播时引起波的干涉现象：频率相同、振动方向平行、相位相同波的干涉现象：频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象。的干涉现象。10.6.2 10.6.2 波的干涉波的干涉的振动位移矢量和，这是波的叠加原理所指出的规律；的振动位移矢量和，这是波的叠加原理所指出的规律；1.两波源频率相同；两波源频率相同；2.两波振动方向平行；两波振动方向平行；3.两波源相位差恒定；两波
3、源相位差恒定；波的相干条件：波的相干条件：1.满足满足相干条件的波称为相干波；相干条件的波称为相干波；2.产生相干波的波源称为相干波源；产生相干波的波源称为相干波源；注意：注意：4.两波源振幅相同；两波源振幅相同；水波干涉水波干涉到达点到达点P 的两个分振动：的两个分振动：波的干涉现象：波的干涉现象：满足满足相干条件相干条件的两列波相遇时，使某些地方的两列波相遇时，使某些地方振动振动始终加强始终加强，某些地方振动，某些地方振动始终减弱始终减弱的现象。的现象。波源振动：波源振动：)cos(111tAy)cos(222tAy(1)2cos(1111rtAyp)2cos(2222rtAyp(2)讨论
4、两相干波产生的干涉图样：讨论两相干波产生的干涉图样：1y2yP*1r2r1s2sP*1r2r点点P 的合振动：的合振动：Crr12122)cos(21tAyyyppp(3)2cos()2cos()2sin()2sin(tan122111222111rArArArA(4)cos2212221AAAAA(5)由于是任意选取的空间一点，故讨论结果对空间由于是任意选取的空间一点，故讨论结果对空间任意点均成立，由上述结果可知：任意点均成立，由上述结果可知：。,2,1,02kk21maxAAA振动始终振动始终加强加强a.(6),2,1,0)12(kk21minAAA振动始终振动始终减弱减弱b.(7)212
5、1AAAAA其他其他c.(8)于是有结论：于是有结论：A.(6)式为空间振动式为空间振动始终始终加强的条件；加强的条件；B.(7)式为空间振动式为空间振动始终始终减弱的条件；减弱的条件；注意：注意：(6)、(7)式也式也称为相干波的干涉加强、减称为相干波的干涉加强、减 弱条件。只要相干波满足该条件，则空间就会出弱条件。只要相干波满足该条件，则空间就会出现振动始终加强、减弱的干涉现象；现振动始终加强、减弱的干涉现象；.,2,1,0)12(kkb.(7),2,1,02kk(6)a.特例：两特例：两相干波源的初相相同，则，令相干波源的初相相同，则，令 为相干波源各自到为相干波源各自到 P 点的波程差
6、，点的波程差，则干涉条件可简化为：则干涉条件可简化为：.2112rr 221212rr(8)21minAAA,2,1,0)21(kk(10)21maxAAA,2,1,0kk(9)故有：故有：故干涉条件简化为：故干涉条件简化为：21minAAA振动始终振动始终减弱减弱21maxAAA振动始终振动始终加强加强于是有结论：当两于是有结论：当两相干波在相干波在空间相遇，其干涉结空间相遇，其干涉结果是加强还是果是加强还是减弱，取决于减弱，取决于两两波源波源初相差初相差和和两两波波源至该点的源至该点的波程差波程差；即取决于两个因素：；即取决于两个因素：.,2,1,0)21(kk(10),2,1,0kk(9
7、)波程差波程差12rr 若若 则则21221AAA振动始终振动始终减弱减弱21AAA振动始终振动始终加强加强,2,1,0)21(kk2121AAAAA其他其他,2,1,0kkcos2212221AAAAA12122rr 讨讨 论：论：例题例题 10.6.1 10.6.1 如图所示，如图所示，两两相干波源分别在相干波源分别在P,QP,Q两点，两点，它们它们振幅相同皆为振幅相同皆为2cm2cm，频率为频率为100HZ100HZ，两波源初相位，两波源初相位相同，相同，P P、Q Q之间的距离为之间的距离为15cm15cm，设波速为，设波速为 ，-110m s R R为为PQPQ连线上的一点，求：两波
8、在连线上的一点，求：两波在R R处质点振动的合处质点振动的合振幅振幅.解：分析解：分析 P P、Q Q是两相干波源，在是两相干波源，在 R R 处发生相干叠处发生相干叠加，加，R R 处的振幅由干涉加强、干涉减弱关系式可得：处的振幅由干涉加强、干涉减弱关系式可得：2212122cosAAAA A2212122cosAAAA A212QR PR 其中：其中：由题意知：由题意知：2100.15 mQRPR0.1 mu可得：可得：3 所以：所以：120AAA结论：即结论：即R R处质点因干涉而静止！处质点因干涉而静止！一一.驻波的产生驻波的产生驻波：振幅、波速均相同的两相干波，在一直线驻波：振幅、波
9、速均相同的两相干波，在一直线上沿相反方向传播，叠加形成的干涉现象。上沿相反方向传播，叠加形成的干涉现象。日常生活日常生活中的驻波：中的驻波：乐器中的管、弦、膜、板的振动形成驻波；乐器中的管、弦、膜、板的振动形成驻波；驻波理论在声学、光学等学科中都有重要应用；驻波理论在声学、光学等学科中都有重要应用；10.6.3 10.6.3 驻波驻波(Standing Waves)(Standing Waves)1.驻波方程驻波方程思路与方法：利用振动思路与方法：利用振动合成，导出驻波方程，合成，导出驻波方程，设两相干波的波函数为：设两相干波的波函数为：1yxo2y)(2cos1xtAy)(2cos2xtAy
10、(1)21yyy(2)两波相遇处质点的合振动：两波相遇处质点的合振动：然后详细讨论；然后详细讨论；(3)驻波的振幅驻波的振幅与位置有关与位置有关)2)(cos2cos2(txA各质点均作同频率谐振动各质点均作同频率谐振动)(2cos)(2cosxtAxtA21yyytxA2cos)(注意：上式即为注意：上式即为驻波方程驻波方程；1.驻波振幅：驻波振幅：xAxA2cos2)(txAtxAy2cos)(2cos)2cos2(讨论：讨论：(3)若若x 确定则确定则(3)描述：坐标为描述：坐标为x 的质点作振幅的质点作振幅A(x)、频、频率率 的谐振动，此时的谐振动，此时(3)为质点的振动方程；故为质
11、点的振动方程；故(3)描描述的是细弦上所有质点作同频率、相位的振动，但述的是细弦上所有质点作同频率、相位的振动，但质点的振幅因其位置不同而异！质点的振幅因其位置不同而异！驻波的振幅随驻波的振幅随 x 而变但与时间无关；对确定的而变但与时间无关；对确定的 x 振振幅是常量；幅是常量；.c.不满足不满足a、b的点，其振幅介于的点，其振幅介于2A、0 之间；之间；d.波腹、波节的位置不随时间变化，波形不传播，故波腹、波节的位置不随时间变化，波形不传播，故 12cosxb.凡是满足凡是满足 的点，其振幅最大为的点，其振幅最大为2A，这，这些点振动最强，称其为些点振动最强，称其为波腹波腹；02cosxa
12、.凡是满足凡是满足 的点，其振幅为零而不振的点，其振幅为零而不振 动，称其为动，称其为波节波节；此特殊的波称为驻波；此特殊的波称为驻波；又可得相邻两波节的间距为：又可得相邻两波节的间距为：(5)24)12(21)1(21kkxxkk 2.波腹、波节的位置：波腹、波节的位置：a.波节坐标满足的条件：波节坐标满足的条件：02cosx令：令：,2,1,0)21(2kkx(4)0,1,04)12(minAkkxb.波腹坐标满足的条件：波腹坐标满足的条件：,2,1,02kkx令：令：12cosx又可得相邻两波腹的间距为：又可得相邻两波腹的间距为：AAkkx2,1,02max(6)222)1(1kkxxk
13、k(7)总之：总之：,2,1,02kkx,2,1,0)21(2kkxx2cos10(a)相邻相邻波腹（节）波腹（节）间距间距 24相邻波相邻波腹腹和波和波节节间距间距(c)xAAkk2,1,02max波腹波腹波节波节(b)0,1,02)21(minAkkc.一种测量波长的方法：一种测量波长的方法：相邻波节之间质点振动同相位，任一波节两侧质相邻波节之间质点振动同相位，任一波节两侧质点振动反相位，在波节处产生点振动反相位，在波节处产生 的相位跃变；的相位跃变；。由由(5)、(7)式知：式知：两相邻波节的间距两相邻波腹的间距两相邻波节的间距两相邻波腹的间距2故只要测量任意两相邻波节的间距，就可确定故
14、只要测量任意两相邻波节的间距，就可确定相干波的波长；相干波的波长；。3.驻波中各点的相位：驻波中各点的相位：4.相位跃变相位跃变(a)(a)波从波疏介质垂直入射波密介质，波从波疏介质垂直入射波密介质，被反射到波被反射到波疏介质时形成波节，入射波与反射波在此处的相位疏介质时形成波节，入射波与反射波在此处的相位相反，即反射波在分界处产生相反，即反射波在分界处产生 的相位跃变，相的相位跃变，相 当于出现了半个波长的波程差，称为当于出现了半个波长的波程差，称为半波损失半波损失；5.的能量的能量(b)(b)波从波密介质垂直入射到波疏介质，波从波密介质垂直入射到波疏介质，被反射到被反射到 波密介质时形成波
15、腹。入射波与反射波在此处的相波密介质时形成波腹。入射波与反射波在此处的相位相同，即反射波在分界处不产生相位跃变。位相同，即反射波在分界处不产生相位跃变。注意：驻波能量在相邻波腹、节间往复变化，在相注意：驻波能量在相邻波腹、节间往复变化，在相邻波节间发生动、势能间的转换：动能主要集中在邻波节间发生动、势能间的转换：动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离传播波腹，势能主要集中在波节，但无长距离传播.6.弦线上的驻波弦线上的驻波形成驻波的形成驻波的条件条件：线长等于半波长的整数倍；：线长等于半波长的整数倍；即应满足：即应满足：,2,12nlunn其中：两端其中：两端固定固定的弦线线长；波
16、速：；的弦线线长；波速：；波长；频率；波腹个数：波长；频率；波腹个数：；nlnun2nl n例题例题 10.6.2 平面简谐波波动方程为平面简谐波波动方程为310 cos 100100 xyt入，波在固定端，波在固定端A处发生全反射，处发生全反射，到原点的距离为到原点的距离为A2.25mAx 试求（试求（1）反射波的波动方程；）反射波的波动方程；（2）驻波方程；）驻波方程；（3）原点与）原点与 点间波节、波腹的坐标；点间波节、波腹的坐标；A解：设反射波方程为：解：设反射波方程为：3010cos 100100 xyt反为反射波在原点的初相位为反射波在原点的初相位030A2.2510cos 100
17、100yt反则反射波在则反射波在A处激起的振动方程为：处激起的振动方程为：而入射波在而入射波在A点处激起的振动方程为：点处激起的振动方程为：3A2.2510cos 100-100yt入在固定端发生反射，反射波与入射波在反射处相在固定端发生反射，反射波与入射波在反射处相位相差位相差02.252.25100-100100100tt即有：即有：解得：解得：02310cos 1001002xyt反所以：所以：（2 2）驻波方程为：）驻波方程为：32 10coscos 10044yyyxt入反（3）令：）令：cos04x得波节坐标为：得波节坐标为：14xn 节0.25m,1.25m,2.25mx节根据题意得：根据题意得：(0,1,2)n
