1、 - 1 - 2018高考 高 三 数学 12 月月考试题 05 （时间： 120分钟，满分 150分） 一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 . 1 方程组 2132xyxy? ? ?的增广矩阵是 _. 2. 已知幂函数 ()fx的图像过点 18,2?，则此幂函数的解析式是 ()fx? _. 3（理）若 ? 为第四象限角，且 4sin25? ?，则 sin2? _. （文）若 4cos 5? ，则 ?2cos _. 4 若抛物线 2 2 ( 0)y px p?的焦点与双曲线 2216 10xy?
2、的右焦点重合，则实数 p 的值是 . 5 函数 ( ) s i n ( ) ( 0 , 0 , | | )2f x A x A ? ? ? ? ? ? ? ?的 部分 图像 如 右 图所示，则 ()fx? _. 6（理）若 (1, 2)n?是直线 l 的一个法向量，则直线 l 的倾斜角的大小为 _. （文 ） 若 (1,2)n? 是直线 l 的一个方向向量，则直线 l 的倾斜角的大小为 _. (结果用反三角函数值表示 ) 7（理） 不等式2 1 2 00 2 1 03 2 1xx?的解为 . （文） 不等式 21 0xx? 1 2 2的解为 . 8 高三（ 1）班班委会由 4 名男生和 3 名
3、女生组成，现从中任选 3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示 ) 9 如图所示的程序框图，输出 b 的结果是 _. 10（理） 已知等比数列 na 的首项 11?a ，公比为 ( 0)qq? ，前 n 项和为 nS ，若 1lim 1 ? nnn SS ，- 2 - 则公比 q 的取值范围是 . （文）数列 ?na 的通项公式 *1 , 1 ()1, 2( 1 )nna n Nnnn? ?，前 n 项和为 nS ，则limnn S? =_. 11. （ 理 ） 若 平 面 向 量 ia 满足 1 ( 1, 2, 3, 4)iai?且 1 0
4、 ( 1, 2, 3)iia a i? ? ? , 则1 2 3 4a a a a? ? ?可能的值有 _个 . （文） 边长为 1的正方形 ABCD 中， M 为 BC 的中点， E 在线段 AB 上运动，则 ECEM? 的取值范围是 _. 12 （理） 在 ABC? 中， 060A? ， M 是 AB 的中点，若 2, 2 3AB BC?， D 在线段AC 上运动，则 DBDM? 的最小值为 _. （文）函数 ? ?( ) m in 2 , 2f x x x?，其中 ? ? ,m in ,a a bab b a b? ? ?，若动直线 ym? 与函数()y f x? 的图像有三个不同的交点
5、，则实数 m 的取值范围是 _. 13 （理）函数 ? ?( ) m in 2 , 2f x x x?，其中 ? ? ,m in ,a a bab b a b? ? ?，若动直线 ym? 与函数 ()y f x? 的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为 1 2 3,x x x ，则 1 2 3x x x? 是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直 接填写“不存在” _. （文） 若平面向量 ia 满足 1 ( 1, 2, 3, 4)iai?且 1 0 ( 1, 2, 3)iia a i? ? ? ,则1 2 3 4a a a a? ? ?的最大值为 . 14 已知线段 0
6、 10AA 的长度为 10，点 1 2 9, , ,A A A 依次将 线段 0 10AA 十等分 .在 0A 处标 0 ， 往右数 1点标 1，再往右数 2 点标 2 ，再往右数 3 点标 3 ? (如图 )，遇到最右端或最左端返回，按照 0A ? 10A ? 0A ? 10A ? 的方向顺序，不断标下去， （理）那么标到 2010 这个数时，所在点上的最小数为 _. （文）那么标到 10这个数时，所在点上的最小数为 _. - 3 - 二选择题（本大题满分 20分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑 ，选对得 5分，否则一律得零分
7、. 15下列排列数中，等于 *( 5 ) ( 6 ) ( 1 2 ) ( 1 3 , )n n n n n N? ? ? ? ?的是 （ ） (A) 712nP? (B) 75nP? (C) 85nP? (D) 812nP? 16在 ABC? 中，“ c o s s in c o s s inA A B B? ? ?”是“ 090C? ”的 （ ） (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 17若 函数 2 1() axfx x? 在 ? ?0,? 上单调递增，那么实数 a 的取值范围是 (A) 0a? (B) 0a? (C) 0a? (D
8、) 0a? 18 （理） 对于直角坐标平面 xOy 内的点 ( , )Axy (不是原点 ),A 的“对偶点” B 是指：满足1OA OB ? 且在射线 OA 上的那个点 . 若 , , ,PQRS 是在同一直线上的四个不同的点 (都不是原点 ),则它们的“对偶点” , , ,P Q R S (A) 一定共线 (B) 一定共圆 (C) 要么共线，要么共圆 (D) 既不共线，也不共圆 （文） 对于直角坐标平面 xOy 内的点 ( , )Axy （不是原点）， A 的“对偶点” B 是指：满足1OA OB ? 且在射线 OA 上的那个点 . 则圆心在原点的圆的对偶图形 (A) 一定为圆 (B) 一
9、定为椭圆 (C) 可能为圆，也可能为椭圆 (D) 既不是圆，也不是椭圆 三解答题（本大题满分 74分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19 (本题满分 12分 ) 已知 集合 3 | 04xAxx ? ，实数 a 使得集合 ? ?| ( )( 5 ) 0B x x a x? ? ? ?满足 AB? ， 求 a 的取值范围 . 20 (本题满分 14分 ) 本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分 . 已知函数 )(xf =2 1log 1xx?. - 4 - (1)判断函数 )(xf 的奇偶性，并证明； (2)求 )(xf
10、 的反函数 )(1xf? ，并求使得函数 1 2( ) ( ) lo gg x f x k?有零点的实数 k 的取值范围 . 21 (本题满分 14分 ) 本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分 . （理） 某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为 40R cm? ，同侧前后两轮胎之间的距离 (指轮胎中心之间距离 )为280l cm? (假定四个轮胎中心构成一个矩形 ). 当该型号汽车 开 上 一 段 上 坡 路 ABC （ 如 图 (1) 所 示 ， 其 中ABC ?( 34? ? ?)） ,且前轮 E 已在 BC 段上时，后轮中心在 F 位置；若前轮中心到达 G 处时，后
11、轮中心在 H 处 (假定该汽车能顺利驶上该上坡路 ). 设前轮中心在 E 和 G 处时与地面的接触点分别为 S 和 T ，且 60BS cm? , 100ST cm? . (其它因素忽略不计 ) (1)如图 (2)所示， FH 和 GE 的延长线交于点 O ， 求证： 40 cot 602OE ?(cm)； (2)当 ? =56? 时，后轮中心从 F 处移动到 H 处实际移动了多少厘米 ? (精确到 1cm) （文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为 40R cm? ，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上 . 该车的 涉水安全要求 是：水面不能超过它的底盘高度 . 如图所示：某处有一“坑形”地
12、面，其中坑 ABC 形成顶角为 0120 的等腰三角形，且 60AB BC cm? ，如果地面上有 ()hcm ( 40h? )高的积水 (此时坑内全是水，其它因素忽略不计 ). 31. 当轮胎与 AB 、 BC 同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度 (从轮胎最上部到水面的距离 )为 80 310 3dh? ? ?； (2) 假定该汽 车能顺利通过这个坑 (指汽车在过此坑时，符合 涉水安全要求 )，求 h 的最大值 . (精确到 1cm). - 5 - 22 (本题满分 16 分 ) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分 . 第 3 小题满分 6分 .
13、（理）已知椭圆 22: 1 ( 0 )xyC a bab? ? ? ?的一个焦点为 (1,0)F ，点 2( 1, )2? 在椭圆 C上，点 T 满足 222aOT OFab? （其中 O 为坐标原点），过点 F 作一直线交椭圆于 P 、 Q两点 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)求 PQT? 面积的最大值； (3)设点 P? 为点 P 关于 x 轴的对称点，判断 PQ? 与 QT 的位置关系，并说明理由 . （文）已知椭圆 22: 1 ( 0 )xyC a bab? ? ? ?的一个焦点为 (1,0)F ，点 2( 1, )2? 在椭圆 C上，点 T 满足 222aOT OFab? （其
14、中 O 为坐标原点） , 过点 F 作一斜率为 ( 0)kk? 的直线交椭圆于 P 、 Q 两点 (其中 P 点在 x 轴上方， Q 点在 x 轴下方 ) . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 1k? ，求 PQT? 的面积； (3)设点 P? 为点 P 关于 x 轴的对称点，判断 PQ? 与 QT 的位置关系，并说明理由 . 23 (本题满分 18 分 ) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分 . 第 3 小题满分 8分 . （理） 对于数列 nx ，从中选取若干项，不 改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列 . 某同学在
15、学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整- 6 - 数 a ,公比为正整数 ( 1)qq? 的无穷等比数列 na 的子数列问题 . 为此，他任取了其中三项, , ( )k m na a a k m n?. (1) 若 , , ( )k m na a a k m n?成等比数列 ,求 ,kmn 之间满足的等量关系； (2) 他猜想：“在上述数列 na 中存在一个子数列 nb 是等差数列”，为此，他研究了 knaa?与 2ma 的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确； (3) 他又想：在首项为正整数 a ,公差为正整数 d 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的无穷子数列？请你就
16、此问题写出一个正确命题 ,并加以证明 . （文） 对于数列 nx ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列 . 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为 1a ,公差为 d 的无穷等差数列 na 的子数列问题，为此，他取了其中第一项 1a ，第三项 3a 和第五项5a . (1) 若 1 3 5,a a a 成等比数列 ,求 d 的值； (2) 在 1 1a? , 3d? 的无穷等差数列 na 中，是否存在无穷子数列 nb ，使得数列 nb 为等比数列？若存在，请给出数列 nb 的通项公式并证明；若不存在，说明理由； (3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数 a ，公比为正整数 q ( 1q? )的无穷等比数
