1、 - 1 - 2018高考 高 三 数学 12 月月考试题 06 （满分 150分，完卷时间 120分钟） 一、填空题 (本大题满分 56分 )本大题共有 14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分 1 22 3lim 2n nnnn? ? ? 2 已知集合 ? ?0,Aa? , ? ?21,Ba? ，若 ? ?0,1,4,16AB? ，则 a? 3 若行列式 ,021 421 ?x 则 ?x 4 若函数 ( ) 2 3xfx?的图像与 ()gx的图像关于直线 yx? 对称，则 (5)g 5 某林场有树苗 30000 棵，其中松树苗 4000 棵
2、为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽 取一个容量为 150的样本，则样本中松树苗的数量为 6 己知 (1,2sin )a ? ， cos 1b ?（ ， ） ， 且 ba? ，则 tan? 7 抛物线的焦点为椭圆 145 22 ? yx 的右 焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 8 已知 lg lg 1xy?，则 25xy?的最小值为 9现有 20个数，它们构成一个以 1为首项， -2为公比的 等比数列，若从这 20个数中随机抽取一个数，则它 大 于 8的概率是 10 在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 ,abc，若 2 2 2b c a bc? ? ? ，且 8bc?
3、 ， 则ABC的面积等于 11 若二项式 7()?xa展开式中 5x 项的系数是 7，则 )(lim 242 nn aaa ? ?= 12 给出四个函数： xxxf 1)( ? ， xxxg ? 33)( ， 3)( xxu ? ， xxv sin)( ? ，其中满足条件：对任意实数 x 及任意正数 m ，都有 ( ) ( ) 0f x f x? ? ?及 ( ) ( )f x m f x? 的函数为 （ 写出所有满足条件的函数的序号 ） 13在平面直角坐标系中，定义 1 2 1 2( , )d P Q x x y y? ? ? ?为 11( , )Px y , 22( , )Qx y 两点之
4、间的 “ 折线距离 ” 则 原 点 )0,0(O 与直线 05 ? yx 上一点 ),( yxP 的 “ 折线距离 ” 的最小值是 14.某同学对函数 xxxf sin)( ? 进行研究后，得出以下结论： 函数 )(xfy? 的图像是轴对称图形； 对任意实数 x ， xxf ?)( 均成立； 函数 )(xfy? 的图像与直线 xy? 有无穷多个公 共点，且任意相邻两点的距离相等； - 2 - 当常数 k 满足 1?k 时，函数 ()y f x? 的图像与直线 kxy? 有且仅有一个公共点 . 其中所有正确结论的序号是 二、选择题 (本大题满分 20 分 )本大题共有 4题，每题有且只有一个正确
5、答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方 格 涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 15 过点 (1,0) 且与直线 2 2 0xy? ? ? 平行的直线方程是 A 2 1 0xy? ? ? B 2 1 0xy? ? ? C 2 2 0xy? ? ? D 2 1 0xy? ? ? 16 对于原命题：“已知 a b c R?、 、 ，若 ab? ， 则22ac bc? ”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这 4个命题中，真命题的个数为 A 0个 B 1 个 C 2个 D 4 个 17 右图给出了一个程序框图，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 值若要使输入的 x 值与输出的 y
6、值相等，则 这样的 x 值有 A 1个 B 2 个 C 3个 D 4 个 18 设 ()fx是定义在 R 上的偶函数，对任意 xR? ，都有 ( 2) ( 2),f x f x? ? ?且当 2,0x? 时，1( ) ( ) 12 xfx? 若在区间 (2,6? 内关于 x 的方程( ) lo g ( 2 ) 0 ( 1)af x x a? ? ? ?恰有 3个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 A (1,2) B (2, )? C 3(1, 4) D 3( 4,2) 三解答题 (本大题满分 74分 )本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19 （本
7、题满分 12 分） 已知 (2cos ,1)ax? ， (cos , 3 sin 2 )b x x? ，其中 xR? .设函数 ()f x a b? ，求 ()fx的最小正周期、最大值和最小值 20 （本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 7分，第 2小题满分 7分 已知 zC? ，且满足 2 ( ) 5 2z z z i i? ? ? ? （ 1）求 z ； （ 2）若 mR? ， w zi m?，求证： 1w? - 3 - 21 （本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分 “ 活水围网 ” 养鱼 技术具有 养 殖 密度高、经济效益
8、好 的特点 研究表明： “ 活水围网 ”养鱼 时， 某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v（单位：千克 /年）是 养殖密度 x（ 单位： 尾 /立方米 ）的函数 当 x 不超过 4（尾 /立方米）时， v 的值为 2（ 千克 /年）；当 4 20x?时， v 是 x 的一次函数；当 x 达到 20 （尾 /立方米）时，因缺氧等原因， v 的值为 0 （千克 /年） （ 1）当 0 20x? 时，求函数 ()vx的表达式； （ 2）当 养殖密度 x 为多大时，鱼的年生 长 量（单位：千克 /立方米） ( ) ( )f x x v x? 可以达到最大，并求出最大值 22 （本题满分 16
9、分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6分 对于双曲线 :C 22 1 ( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?，定义 1:C 221xyab?为其伴随曲线，记双曲线 C 的左、右顶点为 A 、 B . （ 1）当 ab? 时，记双曲线 C 的半焦距为 c ，其伴随椭圆 1C 的半焦距为 1c ，若 12cc? ，求双曲线 C 的渐近线方程； （ 2）若双曲线 C 的方程为 221xy?，过点 ( 3,0)M ? 且与 C 的伴随曲线相切的直线 l 交曲线 C 于 1N 、 2N 两点，求 12ONN? 的面积（ O 为坐标原点）
10、 （ 3）若双曲线 C 的方程为 22142xy?，弦 PQ? x 轴，记直线 PA 与直线 QB 的交点为 M ，求动点 M 的轨迹方程 . 23 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 已知 递增的等差 数列 na 的首项 1 1a? ，且 1a 、 2a 、 4a 成等比数列 （ 1） 求数列 ?na 的通项公式 na ； （ 2） 设数列 nc 对任意 *nN? ，都有 12122 2 2n nnccc a ? ? ? ?成立，求 1 2 2012c c c? ? ? 的值 - 4 - （ 3）在数列 n
11、d 中， 1 1d? ，且满足11n nnd ad ? ?*()nN? ， 求下表中前 n 行所有数的和 nS . 112ddd123ddd213ddd? 11nnddd? 211nnddd ? ? 11k n knddd? 11nnddd?- 5 - 参考答案 1 21 2 4 3 2 4 1 5 20 6 21 7 2 4yx? 8 2 9 25 10 23 11 21 12 13 5 14 15 D 16 C 17 C 18 D 19 解： 由题意知 2( ) 2 c o s 3 s in 2f x a b x x? ? ? ? ? 3分 co s 2 12 3 sin 22x x? ?
12、 ? cos 2 3 sin 2 1xx? ? ? 2 sin 2 16x ? ? ? ? ? 6分 最小正周期 22T ? ? ? 8分 当 2262xk? ? ? ? ，即 ? ?,Z6x k k? ? ? ?时 ， max( ) 2 1 3fx ? ? ? ? 10分 当 32262xk? ? ? ? ，即 ? ?2 ,Z3x k k? ? ? ?时 ， ? ?m in 2 1 1fx ? ? ? ? ? 12分 20解：（ 1）设 ( , )z a bi a b R? ? ?，则 2 22z a b?， ( ) 2z z i ai? ? 2分 由 22 2 5 2a b ai i? ?
13、 ? ? 得 22522aba? ? ? 4分 解得 12ab?或 12ab? ? 5分 12zi? 或 12zi? ? 7分 （ 2）当 12zi? 时， 2(1 2 ) 2 ( 2 ) 1w z i m i i m i m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? 10 分 当 12zi? 时， 2(1 2 ) 2 ( 2 ) 1w z i m i i m i m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? 13分 w 1? ? 14 分 21 解： （ 1）由题意：当 04x?时， ? ? 2vx? ； ? 2分 当 4 20x? 时， 设 ? ? baxxv
14、? ，显然 ? ? baxxv ? 在 4,20 是减函数， - 6 - 由已知得 20 042abab? ?，解得1852ab? ? ? 4分 故函数 ?xv = * *2 , 0 4 ,15 , 4 2 0 ,82x x Nx x x N? ? ? ? ? ? ? ? ? 6分 （ 2）依题意并由（ 1）可得 ?xf *2*2 , 0 4 ,15 , 4 2 0 , .82x x x Nx x x x N? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分 当 04x?时， ?xf 为增函数，故 ? ?max (4)f x f?4 2 8?； ? 10 分 当 4 20x? 时， ? ? 22 2 2
15、1 5 1 1 1 0 0( 2 0 ) ( 1 0 )8 2 8 8 8f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?m ax (10) 12.5f x f? ? 12 分 所以，当 0 20x? 时， ?xf 的最大值为 12.5 当 养殖密度为 10 尾 /立方米时，鱼的年生 长 量可以达到最大，最大值约为 12.5 千克 /立方米 ? 14 分 22 解：（ 1） 22c a b?， 221c a b? ? 1分 由 12cc? ，得 2 2 2 22a b a b? ? ?，即 2 2 2 24( )a b a b? ? ? 可得 22 35ba ? 3分
16、 C 的渐近线方程为 155yx? ? 4分 （ 2）双曲线 C 的伴随曲线的方程为 221xy?，设直线 l 的方程为 ( 3)y k x?，由 l 与圆相切知23 11kk ?即 2231kk? 解得 22k? ? 6分 当 22k? 时，设 1N 、 2N 的坐标分别为 1 1 1( , )N x y 、 2 2 2( , )N x y 由222 ( 3)21yxxy? ?得 221 ( 3) 12xx? ? ?，即 2 2 3 5 0xx? ? ?， 2(2 3 ) 4 ( 5 ) 3 2 0? ? ? ? ? ? ?， 2 3 4 22x ? = 3 2 2? 1242xx? 21 2 1 2231 ( ) 4 2 4 32 2N N x x? ? ? ? ? ? 8分 - 7 - 12 121 1 2 32O N NS N N? ? ? ? ? 由对称性知，当 22k? 时，也有12 23ON NS? ? 10 分 （ 3）设 00( , )Px y ， 00( , )Qx y? ，又 ( 2,0)A? 、 (2,0)B ， 直线 PA 的方程为 00 ( 2)2yyxx? ? 直线 QB 的方程为 00
