1、 2021 年高考全国名校 9 月数学(理)模拟好题集锦:不等式 一、单选题 1(2020 上海高三专题练习) 已知a、b、 c满足c ba且0ac , 则下列选项中不一定能成立的是 ( ) Aabac B0c ba C 22 cbca D0ac ac (理) )若, a bR,0ab ,21ab,则14abab的最大值为( ) A 1 4 B15 16 C1 D17 16 3 (2020 江西东湖南昌十中高三其他(理) )不等式 2 210axx 的解集非空的一个必要而不充分条件 是( ) A1a B1a C01a D0a 4 (2020 黑龙江道里哈尔滨三中高三其他(理) )若实数, a
2、b满足 12 2lglglgab ab ,则ab的最小 值为( ) A 2 B2 2 C3lg2 Dlg2 5 (2020 全国高三其他(理) )已知a,b均为正实数,且 22 4aba b ,则 11 ab 的最小值为( ) A3 B2 3 C9 D12 6 (2020 全国高三课时练习(理) )关于 x 的不等式 22 280(0)xaxaa的解集为 12 ( ,)x x,且: 21 15xx,则 a=( ) A 5 2 B 7 2 C15 4 D15 2 7 (2020 贵州六盘水高三其他(理) )已知0 x ,0y ,且4x yxy,则xy的最小值为 A8 B9 C12 D16 8 (
3、2020 全国高三其他(理) )已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F,过点F的直线与抛物线C相交于A, B两点,则AFBF的最小值为( ) A10 B6 C2 2 D3 9 (2020 吉林高三其他(理) )若 24 loglog1xy,则 2 xy的最小值为( ) A2 B2 3 C4 D2 2 10 (2020 六盘山高级中学高三期末(理) )若 42 log (34 )logabab,则ab的最小值是( ) A62 3 B7 2 3 C6 4 3 D7 4 3 11 (2020 河南高三期末(理) )设, ,a b c为任意正数则 111 ,abc bca 这三个数( ) A都大于 2
4、 B都小于 2 C至少有一个不小于 2 D至少有一个不大于 2 12 (2020 湖南雨花雅礼中学高三其他(理) )已知四边形ABCD是边长为 1的正方形,P 为对角线AC上 一点,则PAPBPD的最小值是( ) A0 B 1 4 C 1 2 D2 13 (2020 安徽高三三模(理) )已知ABC三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a+b2ccosB, 则 2 bc ab 的最小值为( ) A2 2 B3 C2 3 D4 14 (2020 广州大学附属中学高三月考 (理) ) 已知实数0 x ,0y , 则“2 24 xy ”是“1xy ”的 ( ) A充要条件 B必要不充分
5、条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 15 (2020 四川资阳高三其他(理) )a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边.已知 sin9sin12sinaABA, 1 sin 3 C ,则ABC的面积的最大值为( ) A1 B 1 2 C 4 3 D 2 3 16 (2020 上海高三专题练习) 若1ab,lglgPab, 1 (lglg ) 2 Qab,lg() 2 ab R , 则 ( ) AR PQ BPQR CQPR DPRQ 17 (2020 黑龙江工农鹤岗一中高三期末(理) )在ABC中,E为AC上一点, 3ACAE ,P为BE上 任一点,若(0,0)APmABnAC
6、 mn,则 31 mn 的最小值是 A9 B10 C11 D12 18(2020 西夏宁夏大学附属中学高三其他 (理) ) 已知实数a,b ,c满足 lg2 2a , 2 logba,sincb, 则a,b,c的大小关系是( ) Aab c Bbca Cacb Dbac 19 (2020 重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考(理) )已知向量(3,1)OA ,( 1,3)OB , (0,0)OCmOAnOB mn,若 ,21mn ,则OC的取值范围是( ) A 5,2 5 B 5,2 10) C( 5, 10) D 5,2 10 20 (2020 河北高三期末(理) )已知函数 ( )f x的
7、定义域为R,( )fx 为 ( )f x的导函数,且 ( )( )2 x fxf xxe,若 (0)1f,则函数 ( ) ( ) fx f x 的取值范围为( ) A 1,0 B 2,0 C0,1 D0,2 二、填空题 21(2020 浙江海曙效实中学高三其他) 已知 , x yR,,1,a b, 若 2 xy ab , 4ab , 则 21 xy 的最大值为_. 22 (2020 江苏常熟高三三模)已知正实数a,b满足 1 1a b ,且 2 1 27btt a 恒成立,则实数t的取 值范围为_. 23 (2020 雅安市教育科学研究所高三一模(理) )某企业在“精准扶贫”行动中,决定帮助一
8、贫困山区将 水果运出销售.现有 8 辆甲型车和 4 辆乙型车,甲型车每次最多能运 6 吨且每天能运 4 次,乙型车每次最多 能运 10 吨且每天能运 3 次,甲型车每天费用 320 元,乙型车每天费用 504 元.若需要一天内把 180 吨水果 运输到火车站,则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为_元. 24 (2020 江苏高三其他)已知0 x ,0y ,则 16y x xxy 的最小值为_. 25 (2020 江苏苏州高三二模)设周期函数 f x是定义在R上的奇函数,若 f x的最小正周期为 3,且 满足 12f , 3 2fm m ,则m的取值范围是_. 26 (2020 天津河西高
9、三二模)已知x,y为正实数,且 2441xyxy,则xy的最小值为 _. 27 (2020 安徽界首高三期末(理) )已知正数a、b满足 11 1 ab ,则 4 11 ab ab 的最小值为_. 28 (2020 河南高三月考(理) )在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AB的中 点, 若1CD , 且 1 s i ns i ns i n 2 abAc bCB , 则当ab取最大值时ABC的周长为_ 29 (2020 江西高三月考(理) )已知正数a、b满足 2 22ababe , ln1 2 b ta ,则t的最大 值为_. 30 (2020 大连第一中学分校高三月考(理
10、) )设a、b,c为锐角ABC内角 , ,A B C的对边,且满足 coscos2 3sin 3 ABC aba ,若4b 时,则ABC面积的最大值为_. 2021 年高考全国名校 9 月数学(理)模拟好题集锦:不等式 一、单选题 1(2020 上海高三专题练习) 已知a、b、 c满足c ba且0ac , 则下列选项中不一定能成立的是 ( ) Aabac B0c ba C 22 cbca D0ac ac 【答案】C 【解析】cbaQ且0ac ,0a,0c 且b的符号不确定. 对于 A选项,bc,0a ,由不等式的基本性质可得abac,A 选项中的不等式一定能成立; 对于 B选项,ab,则0ba
11、,又0c ,0c ba,B 选项中的不等式一定能成立; 对于 C 选项,取0b ,则 22 ba,0c , 22 cbca;取3c ,1b ,2a ,则 22 cbca, C选项中的不等式不一定成立; 对于 D选项,0a ,0c ,则0ac ,0ac,0ac ac,D 选项中的不等式一定能成立. 故选:C 2 (2020 全国高三其他(理) )若, a bR,0ab ,21ab,则14abab的最大值为( ) A 1 4 B 15 16 C1 D17 16 【答案】D 【解析】解:0ab ,21ab, 0a ,0b , 14abab 1 41 41 4 abab 2 1117 1 4216 ,
12、 当且仅当 21 1 64 ab ab 时,取“=”, 故选:D 3 (2020 江西东湖南昌十中高三其他(理) )不等式 2 210axx 的解集非空的一个必要而不充分条件 是( ) A1a B1a C01a D0a 【答案】B 【解析】 因为 2 210axx 的解集非空,显然0a 成立,由 0 ,01 440 a a a ,综上, 2 210axx 的 解集非空的充要条件为1a . |1 |1a aa a ,所以选 B 4 (2020 黑龙江道里哈尔滨三中高三其他(理) )若实数, a b满足 12 2lglglgab ab ,则ab的最小 值为( ) A 2 B2 2 C3lg2 Dl
13、g2 【答案】B 【解析】由题意可知0,0ab, 因为 12 2lglglgab ab ,所以 12 ab ab 所以 121 2 2ab aba b ,所以2 2ab ,当且仅当 12 12 ab ab ab ,即 5 4 22ba 时,取等号. 故选:B. 5 (2020 全国高三其他(理) )已知a,b均为正实数,且 22 4aba b ,则 11 ab 的最小值为( ) A3 B2 3 C9 D12 【答案】B 【解析】法一 22 4aba b 22222 1111444 ()()()16 ab a b abababababab , 令xab,设 2 4 16f xx x ,则 3 2
14、2 4324 320 x fxxx xx , 令 0fx ,解得 1 2 x ;令 0fx ,解得 1 0 2 x 所以当 1 2 x 时, f x取得最小值, 为 12, 即当 31 2 a , 31 2 b 时,1 1 ab 取最小值, 为2 3, 法二 22 4aba b 222 111144 ()()() ab ababababab 22 4 16a b ab 2222 3 2222 16+3 16=12a ba b abababab 当且仅当 22 22 2 16= 4 a b ab aba b 即当 31 2 a , 31 2 b 时, 11 ab 取最小值,为2 3, 故选:B
15、6 (2020 全国高三课时练习(理) )关于 x 的不等式 22 280(0)xaxaa的解集为 12 ( ,)x x,且: 21 15xx,则 a=( ) A 5 2 B 7 2 C15 4 D15 2 【答案】A 【解析】因为关于 x 的不等式 22 280(0)xaxaa的解集为 12 ( ,)x x, 所以 2 1212 2 ,8xxa x xa ,又 21 15xx, 所以 2222 212121 ()()43615xxxxx xa, 解得 5 2 a ,因为0a ,所以 5 2 a . 故选:A. 7 (2020 贵州六盘水高三其他(理) )已知0 x ,0y ,且4x yxy,
16、则xy的最小值为 A8 B9 C12 D16 【答案】B 【解析由题意可得: 41 1 yx ,则: 4144 5529 xyxy xyxy yxyxyx , 当且仅当 3,6xy 时等号成立, 综上可得:则x y 的最小值为 9. 本题选择 B 选项. 8 (2020 全国高三其他(理) )已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F,过点F的直线与抛物线C相交于A, B两点,则AFBF的最小值为( ) A10 B6 C2 2 D3 【答案】C 【解析】点F的坐标为1,0,设点A,B的坐标分别为 11 ,x y, 22 ,xy,直线AB的方程为 1xmymR,联立方程 2 4 , 1, yx xm
17、y 消去x后整理为 2 440ymy,所以 12 4yym, 12 4y y , 2 1212 242xxm yym, 22 12 12 16 1 1616 y y x x , 1 =1AFx , 2 =+1BFx,则 2 =AFBF 2 1212121212 112211222xxxxxxxxxx 由 1212 22xxx x(当且仅当 12 1xx时取等号) ,所以 2 2+2+2 228AFBF,可得 AFBF的最小值为2 2 故选:C 9 (2020 吉林高三其他(理) )若 24 loglog1xy,则 2 xy的最小值为( ) A2 B2 3 C4 D2 2 【答案】C 【解析】因
18、为 22 24444 logloglogloglog1xyxyx y, 所以 2 4(0,0)x yxy, 则 22 24xyx y ,当且仅当 2 2xy时,等号成立, 故 2 xy的最小值为 4. 故选:C 10 (2020 六盘山高级中学高三期末(理) )若 42 log (34 )logabab,则ab的最小值是( ) A62 3 B7 2 3 C6 4 3 D7 4 3 【答案】D 【解析】由题, 42 log34log34abab, 所以 34abab ,即34ab ab, 所以 34 1 ba , 因为340ab,0ab ,所以0a ,0b , 所以 3434 4372 1274
19、 3 ab ab baba , 当且仅当 34ab ba 时等号成立, 所以ab的最小值为74 3. 故选:D 11 (2020 河南高三期末(理) )设, ,a b c为任意正数则 111 ,abc bca 这三个数( ) A都大于 2 B都小于 2 C至少有一个不小于 2 D至少有一个不大于 2 【答案】C 【解析】假设三个数均小于 2,即 111 2,2,2abc bca ,故 111 6abc abc , 而 111111 2226abcabc abcabc , 当1abc时等号成立,这与 111 6abc abc 矛盾, 故假设不成立,故至少有一个不小于 2,C正确; 取2abc,计
20、算排除 BD;取1abc,计算排除 A. 故选:C. 12 (2020 湖南雨花雅礼中学高三其他(理) )已知四边形ABCD是边长为 1的正方形,P 为对角线AC上 一点,则PAPBPD的最小值是( ) A0 B 1 4 C 1 2 D2 【答案】B 【解析】作出图形如下图所示, 2 + 222 2 PAPO PAPBPDPAPOPAPO ,而此时 2 + 2 PAPO ,所以 2 + 1 2 24 PAPO PAPBPD ,当且仅当PAPO时取等号,所以 PAPBPD的最小值是 1 4 , 故选:B. 13 (2020 安徽高三三模(理) )已知ABC三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,
21、b,c,若 a+b2ccosB, 则 2 bc ab 的最小值为( ) A2 2 B3 C2 3 D4 【答案】B 【解析】由余弦定理得 222 2 cos2 2 acb abcBc ac , 2 1 ca bb , 2 1213 babbc bb a abaa ,当且仅当 ba ab 即ab时等号成立, 所以 2 bc ab 的最小值为 3 故选:B 14 (2020 广州大学附属中学高三月考 (理) ) 已知实数0 x ,0y , 则“2 24 xy ”是“1xy ”的 ( ) A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 222 2 xyx
22、 y 且224 xy , 2 24222 x yx y xy , 等号成立的条件是x y , 又2xyxy ,0,0 xy 221xyxy , 等号成立的条件是x y , 2241 xy xy, 反过来,当 1 2, 3 xy时,此时1xy ,但2 24 xy ,不成立, “2 24 xy ”是“1xy ”的充分不必要条件. 故选:C 15 (2020 四川资阳高三其他(理) )a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边.已知 sin9sin12sinaABA, 1 sin 3 C ,则ABC的面积的最大值为( ) A1 B 1 2 C 4 3 D 2 3 【答案】D 【解析】因为(sin9s
23、in)12sinaABA, 所以912a aba,又0a ,所以9122 9abab, 则4ab ,所以ABC的面积的最大值为 112 4 233 . 故选:D 16 (2020 上海高三专题练习) 若1ab,lglgPab, 1 (lglg ) 2 Qab,lg() 2 ab R , 则 ( ) AR PQ BPQR CQPR DPRQ 【答案】B 【解析】由于函数lgyx在(0,)上是增函数 1ab,则lglg0ab 由基本不等式可得 11 lglg(lglg )lg()lglg 222 ab PababababR 因此,PQR 故选:B 17 (2020 黑龙江工农鹤岗一中高三期末(理)
24、 )在ABC中,E为AC上一点, 3ACAE ,P为BE上 任一点,若(0,0)APmABnAC mn,则 31 mn 的最小值是 A9 B10 C11 D12 【答案】D 【解析】由题意可知: 3APmABnACmABnAE , , ,A B E三点共线,则:31mn,据此有: 313199 366212 nmnm mn mnmnmnmn , 当且仅当 11 , 26 mn时等号成立. 综上可得: 31 mn 的最小值是 12. 本题选择 D选项. 18(2020 西夏宁夏大学附属中学高三其他 (理) ) 已知实数a,b ,c满足 lg2 2a , 2 logba,sincb, 则a,b,c
25、的大小关系是( ) Aab c Bbca Cacb Dbac 【答案】A 【解析】1210,0lg21 , 2 22 loglog 220,1 lg balg, 20 221 lg ab , 0,x时,sinxx,sinbb ,即bc, abc, 故选:A. 19 (2020 重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考(理) )已知向量(3,1)OA ,( 1,3)OB , (0,0)OCmOAnOB mn,若 ,21mn,则OC的取值范围是( ) A 5,2 5 B 5,2 10) C( 5, 10) D 5,2 10 【答案】A 【解析】(3,3 )OCmn mn ,所以 2222 |(3)(3
26、 )10()10, ( , )OCmnmnmnOP P m n 为可行域 12 ,0 mn m n 内一点,可 行域为一个梯形ABCD (去掉线段,BC AD)及其内部(1,0),(0,1),(0,2),(2,0)ABCD,所以 2 ,2 2 O AB OPdOPOD ,从而 2 10, 102) 5,2 10). 2 OC 选 B. 20 (2020 河北高三期末(理) )已知函数 ( )f x的定义域为R,( )fx 为 ( )f x的导函数,且 ( )( )2 x fxf xxe,若 (0)1f,则函数 ( ) ( ) fx f x 的取值范围为( ) A 1,0 B 2,0 C0,1
27、D0,2 【答案】B 【解析】:由 2 x fxf xxe, 得 2 xx e fxe f xx, 2 x e f xx , 设 2x e f xxc(c为常数) , 01f, 1c , 2 1 x x f x e , 2 2 2 21 (1) xx xx xexe x fx ee , 2 22 (1)2 1 11 fxxx f xxx , 当 x=0 时, 1 fx f x ; 当0 x 时, 2 1 1 fx f x x x , 故当0 x 时, 1 2x x ,当1x 时等号成立,此时 2 110 1 x x ; 当0 x 时, 1 2x x ,当1x 时等号成立,此时 2 211 1
28、x x 综上可得 2 210 1 x x , 即函数 fx f x 的取值范围为2,0 故选 B 二、填空题 21(2020 浙江海曙效实中学高三其他) 已知 , x yR,,1,a b, 若 2 xy ab , 4ab , 则 21 xy 的最大值为_. 【答案】4 【解析】因为,1,a b,若2 xy ab , 所以log 2,log 2 ab xy, 所以 22 11 log,logab xy , 所以 2 2 22222 21 2loglogloglog2logaba ba ba b xy ; 又4ab,所以4 2aba b ,所以4a b,当且仅当24ba时等号成立. 所以 222
29、21 2loglog2log4aba b xy ,当且仅当24ba时等号成立. 故答案为:4. 22 (2020 江苏常熟高三三模)已知正实数a,b满足 1 1a b ,且 2 1 27btt a 恒成立,则实数t的取 值范围为_. 【答案】 1 ,4 2 【解析】因为 2 1 27btt a 恒成立, 所以 2 min 1 27ttb a , 而正实数a,b满足 1 1a b , 所以 111 24baab abab , 当且仅当1ab ,即 1 ,2 2 ab时,等号成立, 所以 2 274tt,解得 1 4 2 t . 故答案为: 1 ,4 2 23 (2020 雅安市教育科学研究所高三
30、一模(理) )某企业在“精准扶贫”行动中,决定帮助一贫困山区将 水果运出销售.现有 8 辆甲型车和 4 辆乙型车,甲型车每次最多能运 6 吨且每天能运 4 次,乙型车每次最多 能运 10 吨且每天能运 3 次,甲型车每天费用 320 元,乙型车每天费用 504 元.若需要一天内把 180 吨水果 运输到火车站,则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为_元. 【答案】2560 【解析】设安排甲型车x辆,乙型车y辆,由题意有 4 63 10180, 08, 04, , xy x y x y N 剟 剟 即 4530, 08, 04, , xy x y x y N 剟 剟 , 目标函数320504
31、zxy, 作出不等式组 4530, 08, 04, , xy x y x y N 剟 剟 所表示的平面区域为四点2.5,4,8,4,8,0, 7.5,0 围成的梯形及其内部,如下图所示: 包含的整点有8,0,7,1,8,1,5,2,6,2,7,2,8,2,4,3,5,3, 6,3,7,3,8,3,3,4,4,4,5,4,6,4,7,4,8,4. 作直线3205040 xy并平移,分析可得当直线过点8,0时z最小,即 min 8 3202560z (元). 故答案为:2560. 24 (2020 江苏高三其他)已知0 x ,0y ,则 16y x xxy 的最小值为_. 【答案】4 2 【解析】
32、由0 x ,0y , 2 16162488 24 2 yyyyy xxxxx xxyxyxyxyxy , 当且仅当 2 2x ,4y 时取等号, 故答案为:4 2 25 (2020 江苏苏州高三二模)设周期函数 f x是定义在R上的奇函数,若 f x的最小正周期为 3,且 满足 12f , 3 2fm m ,则m的取值范围是_. 【答案】, 10,3 【解析】由题意 12f ,函数是奇函数, 故有12f 又周期函数 f x是定义在R上的奇函数,若 f x的最小正周期为 3, 故 212ff 3 2fm m 3 2m m 当0m 时,解得03m 当0m时,解得1m 所以m的取值范围是, 10,3
33、 . 26 (2020 天津河西高三二模)已知x,y为正实数,且 2441xyxy,则xy的最小值为 _. 【答案】8 【解析】解: x,y为正实数,且2441xyxy ,可知4x , 241 4 x y x , 2414949 462468 444 x xyxxx xxx . 当且仅当3x 时取等号. xy的最小值为8. 故答案为:8. 27 (2020 安徽界首高三期末(理) )已知正数a、b满足 11 1 ab ,则 4 11 ab ab 的最小值为_. 【答案】9 【解析】 11 1 ab , 111 1 a baa , 1 a b a , 1 b a b ,0a 且0b ,1a且1b
34、 . 4144444 4152159 111111 bab bbbb abbbbb ,当且仅当 4 1 1 b b ,即当3b 时,等号成立. 因此, 4 11 ab ab 的最小值为9. 故答案为:9. 28 (2020 河南高三月考(理) )在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AB的中 点, 若1CD , 且 1 s i ns i ns i n 2 abAc bCB , 则当ab取最大值时ABC的周长为_ 【答案】 4 102 15 5 【解析】如图,设CDA,则CDB 在CDA和CDB中,分别由余弦定理可得 2 2 1 4 cos c b c , 2 2 1 4 cos
35、 c a c , 又cos()cos 所以 2 22 20 2 c ab, 所以 222 24cab, 由 1 sinsinsin 2 abAcbCB 及正弦定理得 1 2 ab acbcb , 整理得 222 2 ab abc, 由余弦定理的推论可得 222 1 cos 24 abc C ab ,所以 15 sin 4 C 把代入整理得 22 4 2 ab ab, 又 22 2abab,当且仅当ab时等号成立, 所以 5 42 22 abab ab, 所以 8 5 ab ,即 2 10 5 ab时等号成立 此时 2 8812 24 555 c ,即 2 15 5 c , 所以当ab取最大值时
36、ABC的周长为 4 102 15 5 故答案为: 4 102 15 5 29 (2020 江西高三月考(理) )已知正数a、b满足 2 22ababe , ln1 2 b ta ,则t的最大 值为_. 【答案】 e 【解析】 2 22ababe , 2 22ababe ,则 2 21abe, 2 2 ln2ln1 ln21 ln1 2ln2 ln1 4 2 ab ab b ab taeeee , 当且仅当 2 2 21abe 时,等号成立, 因此,t的最大值为 e. 故答案为:e. 30 (2020 大连第一中学分校高三月考(理) )设a、b,c为锐角ABC内角 , ,A B C的对边,且满足
37、 coscos2 3sin 3 ABC aba ,若4b 时,则ABC面积的最大值为_. 【答案】4 3 【解析】由 coscos2 3sin 3 ABC aba , 根据正弦定理可得, 2 3 sincossincossinsin 3 BAABBC, 即 2 3 sin()sinsin 3 ABBC , 2 3 sinsinsin 3 CBC , 3 sin 2 B 在ABC内,可知 3 B 或 2 3 ,因为锐角ABC,可知 3 B 利用余弦定理可得, 22222 2cos2bacacBacacacac ac ,可知16ac ,则ABC的 面积 113 sin164 3 222 SacB ,当且仅当ac时,取等号, 所以ABC面积的最大值为4 3. 故答案为:4 3