1、 1 益阳市、湘潭市 2018 届高三 9 月调研考试试卷 数学（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设全集 RU? ，集合 0)1)(2(|,2lo g| 2 ? xxxBxxA ，则 ? BCA U （ ） A )2,0( B 4,2 C )1,( ? D 4,(? 2.已知 5,3,3,2,1,0,2 ? ba ，则函数 beaxf x ? )2()( 2 为减函数的概率是（ ） A 103 B 53 C 52 D 51 3.已知命题 p ：若复数 z 满足
2、5)( ? iiz ，则 iz 6? ；命题 q ：复数 ii211? 的虚部为 i51? ，则下面为真命题的是（ ） A )()( qp ? ? B qp? )( C )( qp ? D qp? 4.已知等比数列 na 中， 45,3 745 ? aaa ，则7597 aa aa? 的值为（ ） A 3 B 5 C. 9 D 25 5.若 Rxxaxaax ? ,)31( 20182018102018 ?，则 20182018221 333 ? aaa ?的值为（ ） A 122018? B 182018? C. 20182 D 20188 6.若将函数 )6sin(2)( ? xxf 的图
3、象向右平移 4? 个单位，再把 所得图象上的点的横坐标扩大到原来的 2 倍，得到函数 )(xg 的图象，则函数 )(xg 图象的一条对称轴为（ ） A 12?x B 247?x C. 127?x D 67?x 7.秦九韶是我国南宋时期的数学家， 普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数学九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例 .若输入 xn, 的值分别为 3, .则输出 v 的值为（ ） A 15 B 16 C. 47 D 48 2 8.已知 nS 为数列 na 的前 n 项和，若 21?a 且 nn SS 21?
4、 ，设 nn ab 2log? ，则201820173221111 bbbbbb ? ? 的值是（ ） A 20184035 B 20174033 C. 20182017 D 20172016 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ） A 32 B 34 C. 38 D 4 10.如图，过抛物线 )0(22 ? ppxy 的焦点 F 的直线交抛物线于点 BA、 ，交其准线 l 于点 C ，若点 F 是 AC 的中点，且 4| ?AF ，则线段 AB 的长为（ ） A 5 B 6 C. 316 D 320 3 11.定义在 R 上的函数 )
5、(xf ，满足 )()5( xfxf ? ， 当 0,3(?x 时， 1)( ? xxf ，当2,0(?x 时， xxf 2log)( ? ，则 )2018()3()2()1( ffff ? 的值等于（ ） A 403 B 405 C. 806 D 809 12.设 ? 是圆周率， e 是自然对数的底数，在 ee ee ? ? ,3,3 33 六个数中，最小值与最大值分别是（ ） A ?3,3e B ?ee,3 C. 33,?e D ?3,e 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知变量 yx, 满足约束条件?1200yxyxyx ，记
6、yxz ?4 的最大值时 a ，则?a 14.已知非零向量 ba?, 满足： |, atbaba ? ? ，若 ba ? 与 ba ? 的夹角为 3? ，则 t 的值为 15.已知 F 为双曲线 )0,0(12222 ? babyax 的左焦点，定点 A 为双曲线虚轴的一个端点，过 AF, 两点的直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴右侧的交点为 B ，若 ? ? FAAB 3 ，则此双曲线的离心率为 16.已知三棱锥 ABCS? 的顶点都在球 O 的球面上， ABC? 是边长为 3 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 4?SC ，则此三棱锥的体积为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 7
7、0 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 4 17. 已知锐角 ABC? 中，内角 CBA 、 的对边分别为 cba 、 ，且 CBc ba coscos2 ? . （ 1）求角 C 的大小； （ 2）求函数 BAy sinsin ? 的值域 . 18. 某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况 .若一个运动员出线记 1分，未出线记 0 分 .假设 甲、乙、丙出线的概率分别为 53,43,32 ，他们出线与未出线是相互独立的 . （ 1）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率； （ 2）记在这次选拔赛中，
8、 甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量 ? ，求随机变量 ? 的分布列和数学期望 ?E . 19. 如图，四棱锥 ABCDP? 的底面 ABCD 为棱形，面 ?PAD 面,6,5, ? ADPDPAA B C D ?60?DAB ， E 为 AB 的中点 . （ 1）证明： PEAC? ； （ 2）求二面角 BPAD ? 的余弦值 . 20.已知动圆 P 经过点 )0,1(N ，并且与圆 16)1(: 22 ? yxM 相切 . （ 1）求点 P 的轨迹 C 的方程； （ 2）设 )0,(mG 为轨迹 C 内的一个动点，过点 G 且斜率为 k 的直线 l 交轨迹 C 于 BA、 两点，当
9、k 为何值时？ 22 | GBGA ? 是与 m 无关的定值，并求出该值定值 . 21. 设函数 12)()(,)ln ()( ? xexxgxxgxaxxf x. （ 1）若直线 323ln32: ? xyl 是函数 )(xf 的图象的一条切线，求实数 a 的值； 5 （ 2）当 0?a 时，（ i）关于 x 的方程 mxxxf ? 310)( 2 在区间 3,1 上有解，求 m 的取值范围，（ ii） 证明：当 0?x 时， )()( xfxg ? . 考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲
10、线 C 的参数方程为：? ? ?sincos2yx（ ? 为参数） .以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 21)3cos( ? ? ，直线 l 与曲线 C 交于 BA、 两点 . （ 1）求直线 l 的直角坐标方程； （ 2）设点 )0,1(P ，求 | PBPA? 的值 . 23.选修 4-5：不等式选讲 设函数 |4|12|)( ? xxxf . （ 1）解不等式 0)( ?xf ； （ 2）若 |2|4|3)( ? mxxf 对一切实数 x 均成立，求 m 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 1-5:ACCDB 6-10:DDBB
11、C 11、 12： BA 二、填空题 13. 3 14. 332 15. 34 16. 233 三、解答题 17.（ 1）由 CBc ba coscos2 ? ，利用正弦定理可得 BCCBCA c o ssi nc o ssi nc o ssi n2 ? ， 可化为： ABCCA s in)s in (c o ss in2 ? ， 3),2,0(,21c o s,0s in ? ? CCCA ? . 6 （ 2） )3s in (s ins ins in AABAy ? ? .3,23(1,23()6s i n(,3263,26,20,20,32),6s i n(3s i n21c os23s
12、 i n?yAAABABAAAAA?18.（ 1）记“甲出线”为事件 A ，“乙出线”为事件 B ，“丙出线”为事件 C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件 D . 则 30295241311)(1)( ? CBAPDP . （ 2） ? 的 所有可能取值为 3,2,1,0 . 301)()0( ? CBAPP ? ； 6013)()()()1( ? CBAPCBAPCBAPP ? ； 209)()()()2( ? BCAPCBAPCABPP ? ； 103)()2( ? ABCPP ? . 所以 ? 的分布列为 ? 0 1 2 3 P 301 6013 209 103 6012110332
13、092601313010 ?E . 19.（ 1）取 AD 的中点 O ，连接 ABCDBDOEOP ?, 为菱形， ACBD? ， EO、? 分别为 ABAD, 的中点， OEACBDOE ? ,/ . OPDPA ,? 为 AD 的中点， ADPO? ， 又 ?面 ?PAD 面 ABCD ， 面 ?PAD 面 ? POADABCD , 面 ABCD ， 7 OOPOEACPO ? ?, ， ?AC 面 PEACPOE ?, . （ 2）连接 ABCDOB?, 为菱形， D A BD A BABAD ? ，? 60, 为等边三角形， O 为 AD 的中点， ADBO? ， ?PO? 面 OB
14、OAOPOAPOA B C D 、? , 两两垂直 . 以 OPOBOA 、 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直接坐标系 xyzO? ，则)0,33,0(),4,0,0(),0,33,0(),0,0,3( ?OBPBA 为面 PAD 的法向量， 设面 PAB 的法向量 )0,33,3(),4,0,3(),( ? ? ABAPzyxn? ， 则?00nABnAP? 即 ? ? ? 0333 043 yx zx ，取 1?x ，则?43331zyx， )43,33,1(?n? ， 91914169311333|,c o s ? ?nOBnOBnOB? ， 结合图形可知二面角 B
15、PAD ? 的余弦值为 91914 . 20.（ 1）由题设得： 4| ? PNPM ，所以点 P 的轨迹 C 是以 NM、 为焦点的椭圆， ? ,3,22,42 22 cabca? 椭圆方程为 134 22 ?yx . 8 （ 2）设 )22)(0,(),(),( 2211 ? mmGyxByxA ，直线 )(: xkyl ? ， 由? ? ? 134)(22 yxmxky 得 01248)43( 22222 ? mkmxkxk ， 34 124,348 2 22212 221 ? kmkxxkmkxx 34 62)()()( 2212121 ? k mkkmxxkmxkmxkyy . 34
16、 )4(3)()( 2 222221221221221 ? ? k mkmkxxmkxxkmxmxkyy . 21221221212212222212122 2)(2)(22)()()(| yyyymxxmxxxxymxymxGBGA ?222222)34( )3(24)34(6)1( ? ? k kkmk22 | GBGA ? 的值与 m 无关， 034 2 ? k ， 解 得 23?k .此时 7| 22 ? GBGA? . （方法 2 ： 当 02?k 时， ? ； 当 0?k 时，设直线 mykxl ?: ， ? ；可以减少计算量 .） 21.（ 1） 11)(,)ln ()( ? a
17、xxfxaxxf? ，设切点 ),( 00 yxP ， 则 3,3211 00 ? axax，又 323ln32)ln (000 ? xxax， 即得： 1,2,323ln323ln000 ? axxx. （ 2）当 0?a 时，（ i）方程 mxxxf ? 310)( 2 即为 mxxx ? 37ln 2 令 )0(37ln)( 2 ? xxxxxh ，则 x xxxxxh 3 )32)(13(3721)( ? . ?当 3,1?x 时， )(),( xhxh? 随 x 变化情况如下表： x 1 )23,1( 23 )3,23( 3 9 )(xh? ? 0 ? )(xh 34 极大值 23ln? 4523ln)23(,3423ln)3(,34)1( ? hhh? ， ?当 3,1?x 时， 4523ln,23ln)( ?xh ， ?m 的取值范围为 4523ln,23ln ? . （ ii）证明：令 )0(1ln)()()( ? xxxexxfxgxF x，则 )1()1(11)1()( ? xx exxxxexxF . 令 1)( ? xexxG ，则当 0?x 时
