1、 割割 圆圆 术术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推 导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的 边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所 谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去， 就达到了“割之又割，以至于不可再割，则就达到了“割之又割，以至于不可再割，则 与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的 “极限”思想。“极限”思想。 球面
2、：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球球( (即球体即球体):):球面所围成的几何体。球面所围成的几何体。 它包括它包括球面球面和和球面所包围的空间球面所包围的空间。 半径是半径是R R的球的体积：的球的体积： 推导方法推导方法： 3 3 4 RV 分割分割 求近似和求近似和 化为准确和化为准确和 复习回顾复习回顾 球的概念球的概念 球心球心 球的半径球的半径 球的直径球的直径 二、球的概念二、球的概念 点集角度点集角度 旋转体角度旋转体角度 球面所围成的球面所围成的几何体几何体叫叫球体球体简称简称球球。 球面球面:半圆以它的直径为旋转轴旋
3、转所成的半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面曲面。 球体与球面的区别？球体与球面的区别？ 在在空间内空间内到一个定点的距离为定长的点的集合到一个定点的距离为定长的点的集合 二、球的概念二、球的概念 球的截面 的形状 圆面圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆大圆 不过球心的截面截得的圆叫做球的不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆小圆 球的体积公式的推导球的体积公式的推导 球的体积公式及应用球的体积公式及应用 球的表面积公式及应用球的表面积公式及应用 球的表面积公式的推导球的表面积公式的推导 教学重点 教学难点 化为准确和思想方法化为准确和思想方法求近似和求近似
4、和分割分割 重点难点重点难点 R . 3 4 , 3 2 : 33 RVRV 从而从而猜测猜测 半球半球 ? 半球半球 V 3 3 1 RV 圆锥圆锥 3 3 3 RV 圆柱圆柱 高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比 球的体积球的体积 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法 球的体积球的体积 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新的圆分成若干等分，然后如上图重新 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是拼接起来，把一个圆
5、近似的看成是边长分别是 .的矩形的矩形和和RR . 2 R 于于那么圆的面积就近似等那么圆的面积就近似等 当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式份数无穷大时，就得到了圆的面积公式 法导出球的体积公式法导出球的体积公式下面我们就运用上述方下面我们就运用上述方 即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积为无穷大
6、的情形，由半球的近似体积推出准确体积 球的体积球的体积 分割分割 求近似和求近似和 化为准确和化为准确和 , 2 1 RRr ,)( 22 2 n R Rr 问题问题: :已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积. . ,) 2 ( 22 3 n R Rr A O B2 C2 球的体积球的体积 A O O R )1( i n R 半径：半径：层“小圆片”下底面的层“小圆片”下底面的第第i .,2,1,)1( 22 nii n R Rri i r O A 球的体积球的体积 ni n i n R n R rV ii ,2, 1,) 1 (1 2 3 2 nii n R
7、 Rri,2, 1,)1( 22 n VVVV 21半球半球 )1(21 2 2223 n n n n R 6 ) 12() 1(1 2 3 nnn n n n R 6 )12)(1(1 1 2 3 nn n R 球的体积球的体积 6 ) 1 2)( 1 1( 1 3nn RV 半球半球 .0 1 , n n时时当当 . 3 4 3 2 3 3 RV RV 从而从而 半球半球 3 3 4 RVR 的球的体积为：的球的体积为：定理：半径是定理：半径是 球的体积球的体积 2)2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面, ,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面, ,球心作为球心作为 顶
8、点便得到顶点便得到n n个棱锥个棱锥, ,这些棱锥体积之和近似为球的体积这些棱锥体积之和近似为球的体积. .当当n n越大越大, , 越接近于球的体积越接近于球的体积, ,当当n n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积趋近于无穷大时就精确到等于球的体积. . 1) 1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果将表面平均分割成但如果将表面平均分割成n n个小块个小块, , 每小块表面可近似看作一个平面每小块表面可近似看作一个平面, ,这这n n小块平面面积之和可近似小块平面面积之和可近似 看作球的表面积看作球的表面积. .当当n n趋近于无穷大时趋近于无穷大时, ,这这n n
9、小块平面面积之和接近小块平面面积之和接近 于甚至等于球的表面积于甚至等于球的表面积. . 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图 求出，如何求球的表面积公式呢求出，如何求球的表面积公式呢? ?回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法, , 是否也可借助于这种是否也可借助于这种极限极限思想方法来推导球的表面积公式呢思想方法来推导球的表面积公式呢? ? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式 球的表面积球的表面积 o i S o 球的表面积球的表面积 第第 一一 步：
10、步： 分分 割割 球面被分割成球面被分割成n n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为： n SSSS , 321 ， 则球的表面积：则球的表面积： n SSSSS 321 则球的体积为：则球的体积为： i V 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为 i V n VVVVV 321 i S O O O O 球的表面积球的表面积 第第 二二 步：步： 求求 近近 似似 和和 i h 由第一步得：由第一步得： n VVVVV 321 nn hShShShSV 3 1 3 1 3 1 3 1 332211 iii hSV 3 1 O O i S i V O O 球的表面积球的表面积 第第 三三
11、 步：步： 化化 为为 准准 确确 和和 RSV ii 3 1 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: : “小锥小锥 体体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥 RSRSRSRSV ni 3 1 3 1 3 1 3 1 32 RSSSSSR ni 3 1 ).( 3 1 32 3 3 4 RV 又球的体积为：又球的体积为： R i S i V i h i S O O i V 23 4, 3 1 3 4 RSRSR 从而从而 球的表面积球的表面积 Rhi的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径 例例1.1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积. . 333 6 125 ) 2
12、 5 ( 3 4 3 4 cmRV (变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它 的内径的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) ) 例题讲解例题讲解 (变式变式1 1)一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它求它 的内径的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) ) 解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是 答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm. 142
13、3 4 ) 2 5 ( 3 4 9.7 33 x 3.11 49.7 3142 ) 2 5 ( 33 x 由计算器算得由计算器算得: 24. 2 x 5 . 42 x 例题讲解例题讲解 ( (变式变式2) 2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, , 至少要用多少纸至少要用多少纸? ? 用料最省时用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ? 球内切于正方体球内切于正方体 22 15056cmS 侧侧 侧棱长为侧棱长为5cm 例题讲解例题讲解 例例2.2.如图，正方体如图，正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D
14、D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各它的各 个顶点都在球个顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。 A A B B C C D D D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O 分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。合，则正方体对角线与球的直径相等。 22 222 11 34 2 3 ,)2()2( : aRS aR aaR DDBRt 得得 中中略解：略解： A A B B C C D D D D1 1 C
15、C1 1 B B1 1 A A1 1 O O 例题讲解例题讲解 O A B C O 例已知过球面上三点例已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距 离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的 体积，表面积体积，表面积 解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R， 截面截面O的半径为的半径为r， r 3 32 AB 2 3 3 2 AO 是正三角形，是正三角形，ABC R OO , 2 例题讲解例题讲解 . 3 4 R . 9 64 9 16 44S 2 R ,) 3 32 () 2 R (R 222 O A B C O , 222 A
16、OOOOAAOORt 中中解：在解：在 ; 81 256 ) 3 4 ( 3 4 3 4 33 RV 例例.已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离 等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，求球的体积， 表面积表面积 例题讲解例题讲解 2.一个正方体的顶点都在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是4cm, 这个球的体积为这个球的体积为cm3. 8 332 3.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正一球切于正 方体的各侧棱方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶
17、点,求这三求这三 个球的体积之比个球的体积之比_. 1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来的倍体积变为原来的倍. 练习一练习一 课堂练习课堂练习 33:22:1 4.4.若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_. . 练习二练习二 2 4 22:1 3 4:1 1.若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的_倍倍. 2.若球半径变为原来的若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍. 3.若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比
18、是_. 课堂练习课堂练习 7.7.将半径为将半径为1 1和和2 2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是这个大铅球的表面积是_. 5.5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ， 则它的外接球的表面积为则它的外接球的表面积为_. . 15,5,3 6.6.若两球表面积之差为若两球表面积之差为4848 , ,它们大圆周长之和为它们大圆周长之和为1212 , , 则两球的直径之差为则两球的直径之差为_. . 练习二练习二 课堂练习课堂练习 9 4 3 312 了解球的体积、表面积推导的基本思路：了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割分割求近似和求近似和化为标准和的方法，是化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法一种重要的数学思想方法极限思想，它极限思想，它 是今后要学习的微积分部分是今后要学习的微积分部分“定积分定积分”内内 容的一个应用；容的一个应用； 熟练掌握球的体积、表面积公式：熟练掌握球的体积、表面积公式： 2 3 4 3 4 RSS RVV 课堂小结课堂小结 课堂作业课堂作业 习题习题9.11 P.74 5、6 、7、8 预习小结与复习预习小结与复习P.75P.77
