1、控制工程基础控制工程基础第七章第七章2023-9-132反馈控制系统的特性特性（4）控制系统的数学模型数学模型（2,3）控制系统的分析分析（5,6,7,8,9）方法1：时域时域分析法分析法（5,6）方法2：根轨迹根轨迹分析法分析法（7）方法3：频域分频域分析法析法（8,9）控制系统的综合综合（10）方法1：时域时域综合法综合法方法2：根轨根轨迹综合法迹综合法方法3：频域频域综合法综合法自动控制的基本概念自动控制的基本概念（1）2023-9-133先看二个问题：先看二个问题：问题一问题一：在时域分析中有这样二点基本结论：在时域分析中有这样二点基本结论第一，控制系统稳定的充要条件是其系统闭环极点全
2、部第一，控制系统稳定的充要条件是其系统闭环极点全部具有负的实部具有负的实部亦：其闭环极点全部位于亦：其闭环极点全部位于s平面（根平面）的左半部平面（根平面）的左半部亦：亦：控制系统的稳定性完全由系统的闭环极点来确定，控制系统的稳定性完全由系统的闭环极点来确定，完全由系统闭环极点在完全由系统闭环极点在s平面上的位置来确定。平面上的位置来确定。2023-9-134第二，闭环极点决定了系统瞬态响应的基本特征，零点第二，闭环极点决定了系统瞬态响应的基本特征，零点只影响系统瞬态响应的形态只影响系统瞬态响应的形态 事实上，加一个零点相当于在原响应上再加一个响应事实上，加一个零点相当于在原响应上再加一个响应
3、的导数（由线性系统的基本结论可得）的导数（由线性系统的基本结论可得）)()()()(02010tcltcltctc2023-9-135综上：系统的综上：系统的闭环极点闭环极点完全反映了系统完全反映了系统的稳定性，主要反映了系统的动态性。的稳定性，主要反映了系统的动态性。那么如何得到系统的那么如何得到系统的闭环极点闭环极点就显得就显得十分的重要了！十分的重要了！2023-9-136问题二问题二第一，如图控制系统第一，如图控制系统 其中其中 控制系统的闭环极点满足：控制系统的闭环极点满足：（特征方程）（特征方程）即：控制系统的开环传递函数即：控制系统的开环传递函数 包含了系统闭环包含了系统闭环极点
4、的全部信息。极点的全部信息。)()()(GsHsGs 开0)(1sG开)(Gs开)(1)()()(1)()()()(sGsGsHsGsGsRsCs开2023-9-137第二，实际系统中，往往是先有开环再有闭环，第二，实际系统中，往往是先有开环再有闭环，开环方式容易得到且形式上简单直观。开环方式容易得到且形式上简单直观。综上：综上：系统的开环传递函数包含了系统闭环系统的开环传递函数包含了系统闭环的全部信息，工程上容易得到，数学上直观、的全部信息，工程上容易得到，数学上直观、简单。简单。2023-9-138综合上面二个问题有这样的结论：综合上面二个问题有这样的结论：系统的开环传递函数包含了系统闭环
5、极点的全部信系统的开环传递函数包含了系统闭环极点的全部信息，反映了控制系统的稳定性，也反映了系统的动态息，反映了控制系统的稳定性，也反映了系统的动态性能。性能。问题：问题：在研究方法上能否通过对数学上直观、简单，在研究方法上能否通过对数学上直观、简单，工程上易于得到的开环传递函数的研究，达到对闭环工程上易于得到的开环传递函数的研究，达到对闭环控制系统性能研究的目的？控制系统性能研究的目的？（根轨迹便是这样一个指导思想）（根轨迹便是这样一个指导思想）开环零极点开环零极点 闭环极点闭环极点 系统的性能系统的性能2023-9-139 根轨迹法借用的思想和数学手段：根轨迹法借用的思想和数学手段：（1
6、1）开环传递函数的零、极点分布，决定了系统闭）开环传递函数的零、极点分布，决定了系统闭环极点的分布，从而研究系统的稳定性和动态特环极点的分布，从而研究系统的稳定性和动态特征。征。（2 2）在根平面（）在根平面（s s平面，复平面）上利用解析的办平面，复平面）上利用解析的办法进行分析和研究，图解法和解析法的综合。法进行分析和研究，图解法和解析法的综合。根轨迹法是控制系统分析的又一种方法，是一种根轨迹法是控制系统分析的又一种方法，是一种十分有效的图解方法。十分有效的图解方法。2023-9-1310控制系统根轨迹分析主要内容：控制系统根轨迹分析主要内容：(1)根轨迹的概念，根轨迹方程根轨迹的概念，根
7、轨迹方程(2)常规根轨迹及其绘制（法则）常规根轨迹及其绘制（法则）(3)参数根轨迹及其绘制参数根轨迹及其绘制(4)零度根轨迹及其绘制零度根轨迹及其绘制(5)具有延迟环节的根轨迹及其绘制具有延迟环节的根轨迹及其绘制(6)根轨迹族及其绘制根轨迹族及其绘制(7)基于根轨迹的系统分析基于根轨迹的系统分析(8)基于根轨迹的系统分析法与时域分析法的比较基于根轨迹的系统分析法与时域分析法的比较根轨迹法是控制系统分析的又一种方法，是一种十分根轨迹法是控制系统分析的又一种方法，是一种十分有效的图解方法。有效的图解方法。2023-9-13111 1 根轨迹与根轨迹方程根轨迹与根轨迹方程 根轨迹根轨迹根的轨迹。这里
8、指闭环系统特征方根的轨迹。这里指闭环系统特征方程式的根（系统的闭环极点）在根平面（程式的根（系统的闭环极点）在根平面（s s平面、复平面、复平面）上的轨迹。平面）上的轨迹。“轨迹轨迹”：指当系统参数的变化带来系统闭环：指当系统参数的变化带来系统闭环极点的变化，其变化的过程、趋势形成的轨迹。当极点的变化，其变化的过程、趋势形成的轨迹。当参数确定时，在轨迹图上对应了一组点参数确定时，在轨迹图上对应了一组点(闭环极点）。闭环极点）。举例：某二阶系统的闭环传递函数举例：某二阶系统的闭环传递函数(单位反馈）单位反馈）kssks222)(2)2(2)12/1()(sskssksG2023-9-1312ks
9、sks222)(2ks2111ks2112某二阶系统的闭环传递函数某二阶系统的闭环传递函数闭环极点闭环极点 ，0222kss特征方程特征方程从以上轨迹上可以得到以下信息：从以上轨迹上可以得到以下信息：0k21k1k5.2k210 k21k（1 1）时，轨迹均在时，轨迹均在 平面的左半平面的左半部，系统稳定；部，系统稳定；（2 2）时，系统的闭环极点为实时，系统的闭环极点为实数，响应无振荡；数，响应无振荡；（3 3）时，系统的闭环极点为复数，时，系统的闭环极点为复数，响应有振荡，且响应有振荡，且 越大极点距实轴越远，越大极点距实轴越远，振荡愈剧烈。振荡愈剧烈。0ks210 k21kk2023-9
10、-1313开环零、极点与闭环零、极点之间的关系开环零、极点与闭环零、极点之间的关系)()()()()(1)()(sHsGsGsHsGsGs开设系统为负设系统为负反馈系统反馈系统零、极点关系零、极点关系开环零极点开环零极点 闭环极点闭环极点 系统的性能系统的性能 即即)()()()()(sNsMsQsPsG开)()()()()()()()(1)()(sMsPsNsQsNsPsHsGsGs设设 ，)()()(sQsPsG)()()(sNsMsH开环零点开环零点开环极点开环极点闭环零点（前项通道的零点和闭环零点（前项通道的零点和反馈通道的极点）反馈通道的极点）闭环极点：与闭环特征方程闭环极点：与闭环
11、特征方程 同解同解1)(sG开2023-9-1314 由于由于 是复变量的函数，将其用幅值和相角的形是复变量的函数，将其用幅值和相角的形式描述，得到根轨迹方程。式描述，得到根轨迹方程。)()(sHsG)()()()()()(sHsGjesHsGsHsG即即 1)()(sHsG),2,1,0(1)()()2()()(keesHsGkjsHsGj由由1)()(sHsGksHsG2)()(有有(幅值条件幅值条件)(相角条件相角条件)亦，在亦，在 平面上，系统闭环极点的位置满足幅值条件和平面上，系统闭环极点的位置满足幅值条件和相角条件。反之，满足幅值条件和相位条件的点，必是闭环极相角条件。反之，满足幅
12、值条件和相位条件的点，必是闭环极点，从而也就必在根轨迹上。点，从而也就必在根轨迹上。s根轨迹根轨迹方程方程2023-9-1315根轨迹方程的另一种形式（开环零、极点的形式）根轨迹方程的另一种形式（开环零、极点的形式）niimiinjjniimjjmiiHGpszsKpspszszsKKsHsGsG11*1111*)()()()()()()()()(21211111*)()()(niimiiGpszsKsG2211*)()()(njjmjjHpszsKsH记记开K根轨迹增益，根轨迹增益，它与它与 相差一相差一常数常数开环零开环零点数点数开环零点开环零点开环极点数开环极点数开环极点开环极点由由 （
13、幅值条件（幅值条件)(相角条件相角条件)有有 或或 (幅值条件幅值条件)(相角条件相角条件)1)()(sHsGksHsG2)()(111*niimiipszsKmiiniizspsK11*niimiikkpszs11)12(2,2,1,0k2023-9-1316 上式中，如果上式中，如果 是变化的，那么无论是变化的，那么无论 的值如的值如何变化，幅值条件总可以通过何变化，幅值条件总可以通过 来满足。因此，根来满足。因此，根据根轨迹的定义，如果考虑据根轨迹的定义，如果考虑 （参数）变化时的闭（参数）变化时的闭环极点的变化环极点的变化(即即 变化时系统的根轨迹变化时系统的根轨迹)，仅仅由，仅仅由相
14、角条件就可以了。相角条件就可以了。因此，相角条件是因此，相角条件是 平面上根轨迹的充分必要条件。平面上根轨迹的充分必要条件。亦：要画出系统的根轨迹，只要在亦：要画出系统的根轨迹，只要在 平面上找到平面上找到满足相角条件的点就可以了。满足相角条件的点就可以了。*Kiipz,*K*K*Kss2023-9-1317例1 绘制其根轨迹根轨迹方程幅值条件 （极点的模为 ）相角条件 即 （极点与实轴成 ）sKsG)(开1sKsK K)12(0ks)12(ks180根据根轨迹方程绘制系统根轨迹根据根轨迹方程绘制系统根轨迹2023-9-1318例2 解：为开环传递极点幅值条件 相角条件 3)(sKsG开31p
15、3 sK(3)(21)sk（极点到3点可构成的向量与实轴成 ）(3)(21)sk 1802023-9-1319例3 解：为开环极点幅值条件 相角条件 2)(sKsG开0,021ppssK)12()(kss)12(2ks,3,123,2,021212kkks2023-9-1320例4 解：为开环极点 为开环零点 4)6()(ssKsG开41p61z幅值条件 相角条件（闭环极点到6的夹角与到4的夹角差为 ）64ssK)12()4()6(kss1802023-9-1321从上述几个图可以看出：从上述几个图可以看出：根据相角条件，可以绘制出系统的根轨迹；根据相角条件，可以绘制出系统的根轨迹；当当 值取
16、定后，再根据幅值条件，根轨迹图就能给出一值取定后，再根据幅值条件，根轨迹图就能给出一组闭环极点的分布；或按给定的一组闭环极点就能求组闭环极点的分布；或按给定的一组闭环极点就能求出出 值大小。值大小。根据系统闭环极点的情况，可大致知道系统的性能。根据系统闭环极点的情况，可大致知道系统的性能。KK2023-9-1322控制系统根轨迹分析主要内容：控制系统根轨迹分析主要内容：(1)根轨迹的概念，根轨迹方程(2)常规根轨迹及其绘制常规根轨迹及其绘制(3)参数根轨迹及其绘制参数根轨迹及其绘制(4)零度根轨迹及其绘制零度根轨迹及其绘制(5)具有延迟环节的根轨迹及其绘制具有延迟环节的根轨迹及其绘制(6)根轨
17、迹族及其绘制根轨迹族及其绘制(7)基于根轨迹的系统分析基于根轨迹的系统分析(8)基于根轨迹的系统分析法与时域分析法的比较基于根轨迹的系统分析法与时域分析法的比较根轨迹法是控制系统分析的又一种方法，是一种十分根轨迹法是控制系统分析的又一种方法，是一种十分有效的图解方法。有效的图解方法。2023-9-1323法则一法则一：根轨迹的始点和终点根轨迹的始点和终点 根轨迹起于开环极点，终于开环零点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。当系统的有限开环零点数和开环极点数不相等时，说明当系统的有限开环零点数和开环极点数不相等时，说明系统存在无限远零点或无限远极点。系统存在无限远零点或无限远极点。法则二法则二：
18、根轨迹的分支数、连续性和对称性。：根轨迹的分支数、连续性和对称性。根轨迹的分支数与开环有限零点根轨迹的分支数与开环有限零点m m和有限极点和有限极点n n中的大中的大者相等，它们是连续的并对称于实轴。者相等，它们是连续的并对称于实轴。即：根轨迹的分支数即：根轨迹的分支数=max=max（m,nm,n）2 2 常规根轨迹及其绘制常规根轨迹及其绘制2023-9-1324法则三法则三：根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线 当开环有限极点数当开环有限极点数n n大于有限零点数大于有限零点数m m时，有时，有n nm m条条根轨根轨迹的分支沿着与实轴交角迹的分支沿着与实轴交角 ，交点，交点 的一组渐近线趋于无
19、的一组渐近线趋于无穷远处。穷远处。渐近线也对称于实轴。渐近线也对称于实轴。aa)1,1,0()12(mnkmnka)()(11mnzpmiinjja且且法则四法则四：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹 实轴上的某一区域，若其实轴上的某一区域，若其右边右边开环开环实数实数零、极点个数之零、极点个数之和和为为奇数奇数，则该区域必在根轨迹上。，则该区域必在根轨迹上。2023-9-1325法则五法则五：根轨迹的分离点：根轨迹的分离点 两条或两条以上根轨迹分支在两条或两条以上根轨迹分支在 平面上相遇又立即分开平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。分离角的点，称为根轨迹的分离点。分离角=（2k+1)2
20、k+1)/L/L。分离点分离点 的坐标满足的坐标满足 sd0)()(dssHsdG法则六法则六：根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角（出射角（出射角 入射角）入射角）根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角称为根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角称为起始角起始角 根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角称为根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角称为终止角终止角)(18011minjiipppzpjijij)(18011mijjnjzpzzzijjii2023-9-1326法则七法则七：根轨迹与虚轴的交点及临界增益值：根轨迹与虚轴的交点及临界增益值 这时这时 闭环极
21、点闭环极点 由由 有有又由又由 解临界增益值解临界增益值 和与虚轴的交和与虚轴的交点点 （也可以由劳斯判据解）（也可以由劳斯判据解）js 0)()(1sHsG0)()(1jHjG0)()(1Im0)()(1RejHjGjHjG*K2023-9-1327当当 时，系统闭环极点之和等于开环极点之和时，系统闭环极点之和等于开环极点之和(为常数为常数)系统的闭环极点之积为常数系统的闭环极点之积为常数（根轨迹增益）（根轨迹增益）当当 （即系统是（即系统是 型或更高型）时，存在着型或更高型）时，存在着 的开环的开环极点，上式中第一项为零，有极点，上式中第一项为零，有几个关系：几个关系：0P2mnnjjnj
22、jPs11miimnnjjnjjzKPs1*11)1(1miimnnijzKs1*1)1()2(mn=02023-9-1328已知某一闭环极点，由幅值条件可得出这时的轨迹增益。已知某一闭环极点，由幅值条件可得出这时的轨迹增益。要求某增益下的闭环极点，由幅值条件可解得。要求某增益下的闭环极点，由幅值条件可解得。要验证某一点是否在根轨迹上，只需将该点带到相角条要验证某一点是否在根轨迹上，只需将该点带到相角条件验证之。件验证之。miinjjzsPsK11*|)12()()(11kpszsnjjmii,2,1,0k2023-9-13293 3 参数根轨迹及其绘制参数根轨迹及其绘制（1 1）零点变化时的
23、根轨迹）零点变化时的根轨迹 例例1 1)5/1()15()(:*sskssksGSysa开)5/1()1()(:*sssksGSysb开增加增加1个零点个零点轨迹左移轨迹左移2023-9-1330例例2 2)(:2asskGSysa开)()()(:2assbsksGSysb开SysaSysb情况情况1 1情况情况2 2增加零点增加零点b的大小不同的大小不同左移的范围不同左移的范围不同2023-9-1331例例3 3)(:32pspsskGSysa开)()()(:321pspsszsksGSysb开情况情况1 1情况情况2 2情况情况3 3SysbSysa2023-9-1332例4)22(:2s
24、sskGSysa开)22()()(:21ssszsksGSysb开31z21z01z情况情况1 1情况情况2 2情况情况3 3SysbSysa2023-9-1333(2)(2)极点变化时的根轨迹极点变化时的根轨迹例 Sysa)2(:*sskGSysa开)(2()(:*psssksGSysb开 情况情况1 p=4 1 p=4 情况情况2 2 p=1 p=1 情况情况3 3 p=0p=0轨迹右移，其程度随所加极点轨迹右移，其程度随所加极点的位置的位置2023-9-1334 由上面几例可以看出：加入开环零点，可改变根轨迹由上面几例可以看出：加入开环零点，可改变根轨迹的形式及趋向，使根轨迹向左移动。改
25、变系统的性能。开的形式及趋向，使根轨迹向左移动。改变系统的性能。开环零点的位置不同，对根轨迹形状的影响不同，越是靠近环零点的位置不同，对根轨迹形状的影响不同，越是靠近虚轴的零点，影响越大（作用越大）。虚轴的零点，影响越大（作用越大）。问题：问题：开环零点的变化究竟对系统根轨迹的形状的影响如开环零点的变化究竟对系统根轨迹的形状的影响如何？（即参数根轨迹问题）何？（即参数根轨迹问题）解决的思路：解决的思路：引入等效传递函数，将参数根轨迹中变化的引入等效传递函数，将参数根轨迹中变化的参数转化为常规根轨迹中开环增益来处理，这里的等效指的参数转化为常规根轨迹中开环增益来处理，这里的等效指的是是闭环极点等
26、效闭环极点等效。等效前的闭环极点等效前的闭环极点=等效后的闭环极点等效后的闭环极点2023-9-1335闭环极点等效闭环极点等效)(sG开)(sG开设原系统开环传递函数为设原系统开环传递函数为 ,等效开环传递函数为等效开环传递函数为等效前后特征方程（闭环极点满足）分别为等效前后特征方程（闭环极点满足）分别为0)(1sG开0)(1sG开二者具有相同的解二者具有相同的解具体的做法：具体的做法：设设 其特征方程其特征方程 写成写成 令令)()()()()(psszsksHsGsG开0)()(zskpss0)(2kzspks0)(12spkskzspkskzsG)()(2开可变参数可变参数2023-9
27、-1336例例 设位置随动系统如图示设位置随动系统如图示图中系统图中系统a a是比例控制系统是比例控制系统 系统系统b b是比例是比例+微分控制系统微分控制系统 系统系统c c是测速反馈系统是测速反馈系统 为微分器的常数或测速反馈系为微分器的常数或测速反馈系数。试分析数。试分析 时系统的性能，时系统的性能，并比较系统并比较系统b b和和c c在具有相同阻尼在具有相同阻尼比时，系统的特点。比时，系统的特点。aT5.0（a）（b）（c）由图（由图（b）和图（）和图（c）知，两个系统）知，两个系统具有相同的开环传递函数。具有相同的开环传递函数。2023-9-1337 为了确定系统为了确定系统b b和
28、和c c在在 时的闭时的闭环传递函数，在图中作环传递函数，在图中作 的线。的线。在图中量得闭环极点在图中量得闭环极点 由幅值条件算得由幅值条件算得 。5.05.087.05.02,1js8.0aT)87.05.0)(87.05.0()25.1(8.0)(jsjsssb)87.05.0)(87.05.0(1)(jsjssc)995.01.0)(995.01.0(1)(jsjssa（与（与 无关）无关）aT有有2023-9-1338测速反馈控制，测速反馈控制，明显减，明显减，动态性能变好。动态性能变好。0510152025303540455000.20.40.60.811.21.41.61.8th
29、(t)sys1sys2sys3其阶跃响应图形其阶跃响应图形系统系统1 1系统系统2系统系统 33.162.633.6138.387.538.0673%24.7%16.3%0.20.20.2ssve%stpt)995.0sin1.0995.0(cos1)(1.01ttetht)87.0sin347.087.0(cos1)(5.02ttetht微分控制能在误差信号增大以微分控制能在误差信号增大以前提前产生控制（预测），具前提前产生控制（预测），具有良好的特性。有良好的特性。%)87.0sin57.087.0(cos1)(5.03ttetht2023-9-1339051015202530354045
30、5000.20.40.60.811.21.41.61.8th(t)sys1sys2sys3(上面图的放大图上面图的放大图)995.0sin1.0995.0(cos1)(1.01ttetht)87.0sin347.087.0(cos1)(5.02ttetht)87.0sin57.087.0(cos1)(5.03ttetht2023-9-13404 4 零度根轨迹及其绘制零度根轨迹及其绘制问题的提出问题的提出:（1 1）正反馈系统，其闭环极点）正反馈系统，其闭环极点满足的特性方程为满足的特性方程为 0)()(1sHsG)(sR)(sC根轨迹根轨迹方程方程1)()(sHsGksHsG2)()(（2
31、2）非最小相位系统非最小相位系统（右半（右半 平面存在着开环零点或开环极点）平面存在着开环零点或开环极点）s)()()()()()()(212212sGpspssBAssKpspssBAssKsHsG开0)(1sG开0)(1sG开0)(1sG开)(sR)(sC（同正反馈系统）（同正反馈系统）2023-9-1341 与负反馈系统的特征方程相比较，幅值条件相同，与负反馈系统的特征方程相比较，幅值条件相同，而幅角条件相差而幅角条件相差 ，完全套用前面常规根轨迹的绘制，完全套用前面常规根轨迹的绘制和对系统的分析显然不行了。和对系统的分析显然不行了。由于零度根轨迹所对应的相角条件与常规根轨迹所由于零度根
32、轨迹所对应的相角条件与常规根轨迹所对应的相角条件不同（相差对应的相角条件不同（相差 ），在轨迹绘制的法则），在轨迹绘制的法则上也存在不同。在七条法则中法则三、四、六、七稍上也存在不同。在七条法则中法则三、四、六、七稍有不同，其余完全一样。有不同，其余完全一样。180180根轨迹根轨迹方程方程1)()(sHsGksHsG2)()(2023-9-1342法则三：根轨迹的渐近线法则三：根轨迹的渐近线 条条 交角交角 交点交点法则四：实轴上某一区域若其右方开环实数零、极点个法则四：实轴上某一区域若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必在根轨迹上。数之和为偶数，则该区域必在根轨迹上。),max
33、(mnmn)1,2,1,0(2mnkmnkanjmiijamnzp111)(具体如下：具体如下：法则一：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。法则一：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。法则二：根轨迹的分支数法则二：根轨迹的分支数 对称实轴。对称实轴。2023-9-1343法则七：根轨迹与虚轴的交点满足法则七：根轨迹与虚轴的交点满足法则六：根轨迹的起始角法则六：根轨迹的起始角 终止角终止角 1)()(jHjG法则五：分离点、汇合点的坐标满足法则五：分离点、汇合点的坐标满足 分离角分离角 其中其中 为相遇时的根轨迹条数。为相遇时的根轨迹条数。0)()(sHsGdsdlk)12(lmjnijjpppzp
34、ijiji11mijjnjzpzzzijiji11+0+02023-9-1344例：如图非最小相位系统绘制其根轨迹例：如图非最小相位系统绘制其根轨迹 2023-9-1345延迟环节的时域描述延迟环节的时域描述 传递函数传递函数 的幅角：的幅角：5 具有延迟环节的系统的根轨迹及其绘制具有延迟环节的系统的根轨迹及其绘制()()c tr t()sG sese()57.3(sjjeee 弧度度)(sR)(sC这是一个有复数变量的超越函数，其根有无穷多个。（重要特点）这是一个有复数变量的超越函数，其根有无穷多个。（重要特点）幅值条件、相角条件幅值条件、相角条件特征方程特征方程如图系统如图系统0)(1开s
35、Ges,1)(开sGes111*njjmiipszsKe,2,1,0)12()()(11kkpszsenjjmiis2023-9-1346,2,1,0)12()()(11kkpszsenjjmiis（度）弧度180)12(3.57)()12()()(11kkpszsminjji由由例：设滞后系统的开环传递函数例：设滞后系统的开环传递函数 sKesGs1)(开2023-9-1347 根轨迹族是针对系统特征方程中两个（或两个以上）根轨迹族是针对系统特征方程中两个（或两个以上）参数变化时的根轨迹。参数变化时的根轨迹。具体绘制时是将二个参数中相对固定一个再按上具体绘制时是将二个参数中相对固定一个再按上
36、面介绍的方法绘制得一个参数下的轨迹；第二步是变化面介绍的方法绘制得一个参数下的轨迹；第二步是变化固定的值，再用同样方法绘制；第三步又变化固定固定的值，再用同样方法绘制；第三步又变化固定值值一直做下去。一直做下去。6 根轨迹族及其绘制根轨迹族及其绘制2023-9-1348例：测速发电机反馈系统例：测速发电机反馈系统 )(sR)(sC)(sR)(sC K0 根轨迹族能表示系统多个参数根轨迹族能表示系统多个参数变化时，系统闭环极点在复平面上变化时，系统闭环极点在复平面上的分布。从图上的根轨迹族可以看的分布。从图上的根轨迹族可以看出，当出，当 和和 时，闭时，闭环极点位于左半平面。左图中环极点位于左半
37、平面。左图中 的的变化是连续的，变化是连续的，的变化是离散的的变化是离散的.但但 变化时轨迹变化的趋势十分变化时轨迹变化的趋势十分清楚的，可以证明轨迹族充满了整清楚的，可以证明轨迹族充满了整个左半个左半 平面。平面。k0 a0aKK2023-9-1349 该分析方法主要是通过系统根轨迹的形状、走向和一些该分析方法主要是通过系统根轨迹的形状、走向和一些关键点（如根轨迹的位置，与虚轴的交点，与实轴的交点等）关键点（如根轨迹的位置，与虚轴的交点，与实轴的交点等）等，来分析系统的稳定、稳态和动态等性能。等，来分析系统的稳定、稳态和动态等性能。7 基于根轨迹的系统分析基于根轨迹的系统分析7.1 基于根轨
38、迹的系统的稳定性分析基于根轨迹的系统的稳定性分析 控制系统稳定的充要条件是：系统的闭环极点均在平控制系统稳定的充要条件是：系统的闭环极点均在平面的左半平面。面的左半平面。根轨迹与虚轴之间的相对位置，反映了系统稳定储备根轨迹与虚轴之间的相对位置，反映了系统稳定储备的大小，根轨迹越是远离虚轴，系统的稳定储备越大，反的大小，根轨迹越是远离虚轴，系统的稳定储备越大，反之则越小。之则越小。2023-9-13507.2 7.2 基于根轨迹的系统的稳态性能分析基于根轨迹的系统的稳态性能分析(2)(2)对于典型输入信号，欲求系统的稳态误差还可以通过系对于典型输入信号，欲求系统的稳态误差还可以通过系统的根轨迹求
39、得系统的闭环极点和闭环零点（零点为前向统的根轨迹求得系统的闭环极点和闭环零点（零点为前向通道的零点和反馈通道的极点）来求。通道的零点和反馈通道的极点）来求。分析的思路：分析的思路：(1)(1)对于典型输入信号，线性系统的稳态误差与开环放大倍对于典型输入信号，线性系统的稳态误差与开环放大倍数和系统的类型有关。在根轨迹图上，数和系统的类型有关。在根轨迹图上，原点处的起点数原点处的起点数对对应系统的类型，应系统的类型，根轨迹增益与开环增益根轨迹增益与开环增益仅差一个倍数。仅差一个倍数。(3)(3)由根轨迹得到系统的闭环极点，以及开环零、极点的情由根轨迹得到系统的闭环极点，以及开环零、极点的情况，可建
40、立系统的误差模型，由拉氏变换终值定理或时域况，可建立系统的误差模型，由拉氏变换终值定理或时域方法求取。方法求取。2023-9-13517.37.3基于根轨迹的系统的动态性能的分析基于根轨迹的系统的动态性能的分析（1）基于主导极点的偶极子对的分析）基于主导极点的偶极子对的分析 在系统的根轨迹图上确定系统的闭环极点及主导极点，在系统的根轨迹图上确定系统的闭环极点及主导极点，再根据系统的闭环零点，确定其偶极子对。再根据系统的闭环零点，确定其偶极子对。基于主导极点基于主导极点和偶极子对对系统进行分析。和偶极子对对系统进行分析。（a a）在全部闭环极点中，选择最靠近虚轴而又不十分靠近）在全部闭环极点中，
41、选择最靠近虚轴而又不十分靠近零点的一个或几个闭环极点作为主导极点；零点的一个或几个闭环极点作为主导极点；（b b）确定偶极子对，并略去十分接近原点的偶极子对，注）确定偶极子对，并略去十分接近原点的偶极子对，注意放大倍数的等效；意放大倍数的等效；（c c）将系统简化成简单的形式，一般取）将系统简化成简单的形式，一般取1 12 2个零点，个零点，2 23 3个极点；个极点；（d d）对简化后的系统进行分析。）对简化后的系统进行分析。2023-9-1352（2 2）控制系统性能的定量分析）控制系统性能的定量分析 根据根轨迹求出系统的闭环极点，在根据系统的开环根据根轨迹求出系统的闭环极点，在根据系统的
42、开环零点和开环极点求出系统的闭环零点，用时域的方法分析零点和开环极点求出系统的闭环零点，用时域的方法分析系统的动态性能。系统的动态性能。2023-9-13538 8 基于根轨迹的系统分析法与时域分析法的比较基于根轨迹的系统分析法与时域分析法的比较稳定性分析比较稳定性分析比较时域分析法时域分析法根轨迹分析法根轨迹分析法根据充要条件判断根据充要条件判断看系统根轨迹在看系统根轨迹在S S平面上的平面上的分布分布根据劳斯判据判断根据劳斯判据判断小结：根轨迹方法更直观和方便，同时也较容易分析小结：根轨迹方法更直观和方便，同时也较容易分析系统临界稳定时系统的参数。系统临界稳定时系统的参数。2023-9-1
43、354稳态性分析比较稳态性分析比较时域分析法时域分析法根轨迹分析法根轨迹分析法由定义求由定义求通过根轨迹分析系统的类型，通过根轨迹分析系统的类型，大致分析系统的大致分析系统的根据静态误差系数或动态误根据静态误差系数或动态误差系数求差系数求由拉氏变换终值定理求由拉氏变换终值定理求（满足条件）（满足条件）得到系统的闭环传递函数，得到系统的闭环传递函数，由定义求由定义求小结：小结：时域分析法能准确计算稳态误差的值；在系统的根时域分析法能准确计算稳态误差的值；在系统的根轨迹上很难直接求出系统的轨迹上很难直接求出系统的 。ssessessessessesse2023-9-1355动态性分析比较动态性分析比较时域分析法时域分析法根轨迹分析法根轨迹分析法根据定义求各个动态指根据定义求各个动态指标标根据系统的主导极点分根据系统的主导极点分析系统的动态性能析系统的动态性能小结：小结：根轨迹法能够较直观地分析影响系统动态根轨迹法能够较直观地分析影响系统动态性能的主要因素（主导极点），也容易看出系统性能的主要因素（主导极点），也容易看出系统的振荡性能，但仅仅是大致的趋势，要精确计算的振荡性能，但仅仅是大致的趋势，要精确计算尚需要时域分析的方法。尚需要时域分析的方法。
