1、 第1页/共10页 2024 北京石景山高三（上）期末 数 学 本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分第一部分（选择题（选择题 共共 40 分）分）一、选择题共选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 2,0,2,4A=，2|4Bx x=，则AB=（A）2,0,2 （B）0,2（C）2,2（D）0,2,4（2）已知复数112iz=+，12,zz在复平
2、面内的对应点关于虚轴对称，则12zz=（A）5（B）5（C）42i+（D）42i+（3）242()xx展开式中含5x的项的系数为（A）4（B）4（C）8（D）8（4）已知向量(5,)m=a，(2,2)=b，若()abb，则m=（A）1（B）1（C）2（D）2（5）已知等差数列na的前n项和为nS，若215a=，565S=，则14aa+=（A）24（B）26（C）28（D）30（6）直线20 xym+=与圆22240 xyx+=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（A）53m （B）05m（C）93m （D）73m （7）设函数21log(2),1()2,1xx xf xx=，则2(2)(log
3、 10)ff+=（A）2（B）5（C）7（D）10（8）在ABC中，2 coscoscosaAbCcB=+，则A=（A）6（B）3（C）2（D）23（9）设函数()ln|1|ln|1|f xxx=+，则()f x是（A）偶函数，且在区间(1,)+单调递增 （B）奇函数，且在区间(1,1)单调递减（C）偶函数，且在区间(,1)单调递增（D）奇函数，且在区间(1,)+单调递减 第2页/共10页 （10）在正方体1111ABCDA BC D中，点P在正方形11ADD A内（不含边界），则在正方形11DCC D内（不含边界）一定存在一点Q，使得（A）/PQAC（B）平面1/PQC平面ABC（C）PQA
4、C（D）AC 平面1PQC 第二部分第二部分（非选择题（非选择题 共共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分。（11）函数()4lg(3)f xxx=+的定义域为_（12）已知双曲线2221(0)xyaa=的一条渐近线方程为12yx=，则该双曲线的离心率为_（13）某学校从全校学生中随机抽取了 50 名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分 100 分，将数据分成 6 组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，并整理得到如右频率分布直方图，则图中的t值为_，若全校学生
5、参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为_（每组成绩用中间值代替）.（14）已知命题p：若1ab+，则331ab+能说明p为假命题的一组,a b的值为a=_，b=_（15）在数列na中，1()nnaf a+=，给出下列四个结论：若()2f xx=，则na一定是递减数列；若()exf x=，则na一定是递增数列；若3()1f xx=+，1(1,0)a ，则对任意0c，都存在nN*，使得nac；若2()1(0)f xkxk=+，11a=，且对任意nN*，都有2na，则k的最大值是14 其中所有正确结论的序号是_ D1C1B1A1CDAB 第3页/共10页 三、三、解答题共解答题共 6 小题，共小题
6、，共 85 分分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 14 分）如图，在三棱锥PABC中，平面PAC 平面ABC，2PAPCPB=，ABBC=，3APC=（）求证：ACPB；（）求二面角APCB的余弦值 （17）（本小题 13 分）设函数2()3sin2sin12f xxx=+(0)（）若2=，求()12f的值；（）已知()f x在区间,12 3上单调递减，再从条件、条件、条件 这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x存在，求的值 条件：函数()f x的图象经过点(,3)12A；条件：,12 3x时，()f x的值域是 2,2；
7、条件：12x=是()f x的一条对称轴 注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 （18）（本小题 13 分）某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为A区和B区，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在B区投篮，在A区每投进一球得 2 分，没有投进得 0 分；在B区每投进一球得 3 分，没有投进得 0 分.学生甲在A，B两区的投篮练习情况统计如下表：甲 A区 B区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立（）试分别估计甲在A区，B区投篮命中的概率；（）若甲在A区投3个球，在B区投2个球，求甲在A区
8、投篮得分高于在B区投篮得分的概率；（）若甲在A区，B区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在A区投篮的最BPAC 第4页/共10页 多次数（结论不要求证明）（19）（本小题 15 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，离心率为22，短轴长为2 2.（）求椭圆C的方程；（）过坐标原点O且不与坐标轴重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，过点P作x轴的垂线，垂足为E，直线QE与椭圆的另一个交点为M求证：MPQ为直角三角形 （20）（本小题 15 分）已知函数()ln(1)f xx=（）求曲线()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程；（）求证：当(,0)x 时，21()
9、2f xxx；（）设实数k使得2()f xkxx对(,0)x 恒成立，求k的取值范围 （21）（本小题 15 分）对于项数为m的数列na，若数列nb满足12max,kkba aa=，(1,2,)km=，其中，maxM表示数集M中最大的数，则称数列nb是na的P数列.（）若各项均为正整数的数列na的P数列是3,4,4,5，写出所有的数列na；（）证明：若数列na中存在ia使得1iaa(2)im，则存在1,2,1km使得1kkbb+成立；（）数列nb是na的P数列，数列nc是na的P数列，定义1sgn()nnniidaa=，其中1,0,sgn()0,0,1,0.xxxx=求证：nnbc+为单调递增
10、数列的充要条件是nd为单调递增数列 （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）第5页/共10页 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）（1）A（2）B（3）D（4）B （5）C（6）A（7）C（8）B（9）D （10）A 二、填空题（共 5 小题，每小题 5分，共 25 分）（11）(3,4（12）52 （13）0.01472.6 （14）1122（答案不唯一）（15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）(本小题 14 分)（）证明：取AC中点O，连结,PO BO 因为PAPC=，所以POAC；因为ABBC=，所以BOAC；因为BOPOO=，所以A
11、C 平面PBO；因为PB平面PBO，所以ACPB 6 分（）由（）知POAC，PO 平面PAC，因为平面PAC 平面ABC，平面PAC平面ABCAC=，所以PO 平面ABC，因为BO 平面ABC，所以POBO POAC，BOAC，如图建立空间直角坐标系Oxyz 由已知3APC=，易得 112POPA=，332OCPC=在RtPBO中，223OBPBPO=所以得(3,0,0)B，(0,3,0)C，(0,0,1)P，所以(3,0,1),(0,3,1)PBPC =设平面PCB的法向量为000(,)xyz=n，则 0,0,PBPC =nn 即000030,30.xzyz=令01x=，则01y=，03z
12、=于是(1,1,3)=n PBOACzyxPBOAC 第6页/共10页 又因为平面POC的法向量为(3,0,0)OB=，所以|5|cos,|5|OBOBOB =nnn 由题知二面角APCB为锐角，所以其余弦值为55 14 分（17）(本小题 13 分)解：（）因为2()3sin2sin12f xxx=+，所以()3sincosf xxx=+312(sincos)22xx=+2sin()6x=+因为2=，所以()312f=5 分（）选 因为()f x在区间,12 3上单调递减，且当,12 3x时，()f x的值域是 2,2，所以max()()212fxf=，min()()23fxf=.此时，由三
13、角函数的性质可得23124T=，故2T=因为0，所以24T=.（）选 因为()f x在区间,12 3上单调递减，所以3122T，即22，解得04 因为12x=是()f x的一条对称轴，所以max()()212fxf=.所以sin()1126+=，即2,1262kk+=+Z 第7页/共10页 解得424,k k=+Z.由04，可知4=.13 分（18）(本小题 13 分)解：（）甲在A区投篮30次，投进20次，所以估计甲在A区投篮进球的概率为23，甲在B区投篮30次，投进15次，所以估计甲在B区投篮进球的概率为12.2 分（）据题意，甲在A区进球的概率估计为23，在B区投篮进球的概率估计为12.
14、设事件A为“甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分”甲在A区投3个球，得分可能是0,2,4,6，在B区投2个球，得分可能是0,3,6.则甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的情况有：A区2分B区0分，概率估计为12232111C()()=33218，A区4分B区0分，概率估计为22232111C()()=3329，A区4分B区3分，概率估计为2213221112C()C=33229，A区6分B区0分，概率估计为32212()()=3227，A区6分B区3分，概率估计为3122114()C=32227，则甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率估计为11224111899272718+=.10 分（）
15、甲在A区投篮一次得分的期望估计是21420333+=，甲在B区投篮一次得分的期望估计是11330222+=，设甲在A区投篮x次，则甲在B区投篮(5)x次，则总的期望值估计为43(5)732xx+，解得3x，则甲选择在A区投篮的次数最多是3次 13 分（19）(本小题 15 分)解：（）由题意知22222 222bcaabc=+，解得222abc=第8页/共10页 所以椭圆C的方程为22142xy+=5 分（）解：不妨设直线l的方程为(0)ykx k=，l交椭圆于(,)ppP xy，(,)ppQxy 由题意知(,0)pE x，所以11222pppQEppppyyykkxxxx=；直线QE的方程为
16、()2pkyxx=联立22()224pkyxxxy=+=消去y得 22222(2)280PPkxk xxk x+=易知22222(2)4(2)(8)0PPk xkk x=+所以 2222PMQkxxxk+=+，设QM的中点为D，则2222MQPDxxkxxk+=+222()()22 22PPDDPPkxk xkkyxxxkk=+；所以21pDODDpk xykxkkx=因为在MPQ中，/ODPM，所以1PMkk=所以11PMPQkkkk=，即2MPQ=所以MPQ为直角三角形得证.15 分（20）(本小题 15 分)解：（）11()(1)11fxxxx=，(0)1kf=.又(0)0f=，所以曲线
17、()yf x=在点(0,(0)f处的切线方程为yx=4分（）令22()()ln(1)(0)22xxF xf xxxx x=+=+，21()111xF xxxx=+=.因为0 x，所以()0F x，()F x在(,0)上单调递减.所以()(0)0F xF=.即当(,0)x 时，2()2xf xx.8 分 第9页/共10页 （）（1）当12k时，222xkxxx.由（）知，当(,0)x 时，2()2xf xx.所以当12k时，2()f xkxx对(,0)x 恒成立；（2）当12k 时，令2()ln(1)h xxkxx=+212(21)()2111kxkxh xkxxx+=+=当0k时，因为(,0)
18、x，所以()0h x，()h x在(,0)上单调递增.()(0)0h xh=，不合题意 当102k时，()0h x=得2111022kxkk+=+当1(,1)2xk+时，()0h x，1(1,0)2xk+时，()0h x 所以()h x在1(1,0)2k+上单调递增，则1(1,0)2xk+时，()(0)0h xh=，不合题意.综上，k的取值范围是1(,2k .15 分（21）(本小题 15 分)解：（）3,4,4,5，3,4,3,5，3,4,2,5，3,4,1,5 4分（）假设不存在1,2,1km使得1kkbb+成立，根据P数列定义可知1kkbb+，11ba=，所以1kkbb+=，则11321
19、kkkbbbbbb+=，即113211kkkbbbbbba+=，所以121max,nnba aaa=，所以1iaa，这与已知矛盾，故若此数列na中存在ia使得1iaa(2)im，则存在1,2,1km使得1kkbb+成立 4分（）必要性：12max,kkba aa=，12min,kkca aa=，(1,2,)km=，则1212max,min,kkkkbca aaa aa+=因为nnbc+为单调递增数列，所以对所有的k，12max,kkaa aa=或12min,kkaa aa=，否则11kkkkbcbc+=+因此，所有的kiaa(1,2,)ik=同号或为0，即1sgn()1nnniidaan=，所以nd为单调递增数列 第10页/共10页 充分性：因为nd为单调递增数列，10d=，1ndn 且nd N，所以只能1ndn=，所以kiaa(1,2,)ik=同号或为0，所以对所有的k，12max,kkaa aa=或12min,kkaa aa=，所以1212max,min,kkkkbca aaa aa+=所以11kkkkbcbc+，即nnbc+为单调递增数列 15分 （以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）
