1、 1 数数 学学 代数部分代数部分 第一讲第一讲 乘法公式乘法公式 一一、知识要点、知识要点 1平方差公式： 22 ()()ab abab 2完全平方公式： 222 ()2abaabb； 2222 ()222abcabcabbcac 3立方和公式： 2233 ()()abaabbab 4立方差公式： 2233 ()()abaabbab 5完全立方公式： 33223 ()33abaa babb； 33223 ()33abaa babb 二二、例题例题选讲选讲 例 1、填空（1）)9)(3)(3( 2 xxx_ 解：原式=81)9)(9( 422 xxx （2） 22 )2() 12(xx_ 解：
2、原式=383)44(144 222 xxxxxx 例 2、已知3 1 x x，求下列各式的值： （1） 2 2 1 x x ； （2） 3 3 1 x x 解： （1）2 111 2) 1 ( 2 2 2 22 x x xx xx x x， 2 7292) 1 ( 1 2 2 2 x x x x (2) 18) 17(3) 1 1)( 1 ( 1 2 2 3 3 x x x x x x 例 3、已知2xy，求代数式 33 6xyxy的值 解： 3322 6()()6xyxyxy xxyyxy 222 2(3)2()8xxyyxyxy 例 4、 已知8,9,xyyz试求代数式 222 xyzxy
3、yzxz的值 解：8,9,17xyyzxz ， 222222 1 (222222) 2 xyzxyyzxzxyzxyyzxz 222222 11 ()()() (8917 )217 22 xyyzxz 三、三、自我小结：自我小结： _ _ _ _ 四、四、巩固练习巩固练习 1计算)()()(acaccbcbbaba_ 2计算 22 ()2()()()xyxy xyxy= 3 2 20062008 2004= 4已知 2 510 xx ，则 2 2 1 x x = 5计算 16842 3 2 1 ) 13)(13)(13)(13(= 3 6计算 22222222 12345620092010 1
4、 2345620092010 + 20122011 20122011 22 7已知2acb ，则 222 222abcabbcac= 8已知2xy，求代数式 33 6xyxy的值 9已知1,3xyxy，试求下列各式的值： （1） 22; xy （2） 33. xy 4 第二讲第二讲 因式分解因式分解 一、知识要点一、知识要点 1因式分解：把一个整式化为几个整式的乘积形式 2因式分解的基本方法： （1）提公因式法 )(cbammcmbma （2）运用公式法 常见公式有： 22 ()()abab ab， 222 2()aabbab， 3322 ()()abab aabb， 32233 33()aa
5、 babbab， 2222 222()abcabacbcabc ， （3）十字相乘法： 2 ()()()xab xabxa xb （4）配方法、添项拆项法，分组分解法 二、例题二、例题选讲选讲 例 1、 因式分解： （1） 2 44xx ； （2） 3 8x ； （3） 33 )2()2(ayax 解： （1） 2 44xx 2 (2)x （2） 3 8x 332 2(2)(24)xxxx （3） 33 )2()2(ayax =)()2()2()2( 333 yxaayax 例 2 、因式分解 （1） 2 56xx； （2） 2 215xx； （3） 2 6136xx 解： （1） 2 56x
6、x(2)(3)xx； （2） 2 215xx(25)(3)xx； （3） 2 6136xx(23)(32)xx 5 例 3、 因式分解 22 5636xxyyxy 解： 22 5636xxyyxy (2 )(3 )3(2 )xy xyxy(2 )(33)xy xy 例 4、因式分解 523325 aa ba bb 解： 523325 aa ba bb 233233 ()()a abb ab 3322 ()()abab 222 () ()()abab aabb 三、三、自我小结自我小结： _ _ _ _ 四、四、巩固巩固练习练习 1将下列各式分解因式： （1） 32 xx y _ （2）4 4
7、x _ （3） 33 125xy _ （4）132 2 xx _ （5） 2 (1)xaxa _ 6 （6） 32 331aaa _ （7） 22 2221ababab _ （8） 22 122512xxyy _ （9） 22 26xxyyxy _ 2已知25ab，346ab，求多项式 22 328aabb的值 7 第三讲第三讲 因式定理因式定理 一、知识要点一、知识要点 定理定理 1（因式定理） ：（因式定理） ：若a是一元多项式)( 01 1 1 是非负整数naxaxaxa n n n n 的 根， 即0 01 1 1 aaaaaaa n n n n ，则多项式 01 1 1 axaxax
8、a n n n n 有一个 因式ax. 根据因式定理，找出一元多项式的一次因式的关键是求出该多项式的一个根，对于任意的 多项式，求出它的根是没有一般方法的，然而对于整系数多项式常用下面的定理来判定它 是否有有理根。 定理定理 2： 若既约分数 p q 是整系数多项式 01 1 1 axaxaxa n n n n 的根， 则必有p是 n a 的约数，q是 0 a的约数，特别地，当1 n a时，该多项式的整数根均为 0 a的约数。 定理定理 3：若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 二、例题选讲：二、例题选讲： 例 1、因式分解：695 23 xxx 分析：将6, 3, 2, 1x(常数 6
9、 的约数)分别代入原式，得当2x时，代数式的值为 0， 故原式有一次因式2x 法一： （分组分解法）)693()2(695 22323 xxxxxxx ) 1)(2( 3)2( 2 xxxx )33)(2( 2 xxx 法二： （待定系数法） 设 322 596(2)()xxxxaxbxc， 3232 596(2 )(2 )2xxxaxba xcb xc， 故 1, 25, 29, 26, a ba cb c 得 1, 3, 3. a b c 所以 32 596xxx )33)(2( 2 xxx 8 例 2、因式分解：3132 23 xx 分析：2 的约数是2, 1，3 的约数是3, 1，所以
10、将 2 1 , 2 3 , 3, 1x代入原式，得当 1 2 x 时，代数式的值为 0，故原式有因式 2 1 x，也即原式有因式12 x 解：法一：31223132 22323 xxxxx ) 12)(12( 3) 12( 2 xxxx )36)(12( 2 xxx 法二：设3)6() 12(2) 3)(12(3132 23223 xaxaxaxxxxx， 故6a， 所以 32 2133xx)36)(12( 2 xxx 例 3、因式分解：23739 234 xxxx 分析：9 的约数是2, 9, 3, 1的约数是2, 1，所以将 9 1 , 9 2 , 3 1 , 3 2 , 2, 1x代入
11、原式，得 3 2 , 3 1 是原式的根，故原式有因式 3 2 , 3 1 xx， 又)239( 9 1 9 2 3 1 ) 3 2 )( 3 1 ( 22 xxxxxx， 故原式有因式239 2 xx 法 1： 4324322 93732(932)932xxxxxxxxx 22 (1)(932)xxx 2 (1)(31)(32)xxx 法 2：设)(239(23739 22234 cbxaxxxxxxx， 待定系数得1, 0, 1cba 9 即 43222 93732(932)(1)xxxxxxx 说明：若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，这样可 以简化因式分解
12、的过程 三、三、自我小结：自我小结： _ _ _ _ 四四、巩固练习、巩固练习 将下列各式分解因式： 23 3 xx 1073 23 xx 213111 23 xxx 34 4 xx 152 23 xx 610 23 xxx 41233 234 xxxx 2944 234 xxxx 10 第第四四讲讲 简单的一元二次不等式和分式不等式简单的一元二次不等式和分式不等式 一、知识要点一、知识要点 1一元二次不等式 像 2 0( 0)axbxc（0a）只含有一个未知数，并且未知数最高次数是 2 的不 等式叫做一元二次不等式 2通过初中的学习我们知道，一元一次方程，一次函数图象，一元一次不等式三者之间
13、 有密切联系。那么一元二次方程，二次函数图象，一元二次不等式三者之间又有怎样的关 系呢？ 以 2 20 xx为例来探索一下： 方程根为 1 2x ， 2 1x 2 2yxx图象如图，它与x轴交点的横坐 标为 1 2x ， 2 1x 一元二次不等式 2 20 xx的解，即二次函数 2 20yxx，从图象上观 察即抛物线位于x轴上方的点对应的x的值的集合 此不等式的解集为2x或1x 因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与x轴的交点 坐标，再根据图象写出不等式的解集 以0a为例，一元二次方程，二次函数图象，一元二次不等式三者关系如下表： 二二、例题、例题选讲选讲 例 1、解
14、下列一元二次不等式： （1） 2 7120 xx； （2） 2 230 xx； （3） 2 210 xx ； （4） 2 220 xx 1 O 2 x y 1 xx或 2 xx 2 b x a 的全体实数 全体实数 12 xxx 无解 无解 11 解： （1）方程 2 7120 xx的解为 12 3,4xx 根据 2 712yxx的图象，可得原不等式 2 7120 xx的解为34xx或 （2）不等式两边同乘以1，原不等式可化为 2 230 xx 方程 2 230 xx的解为 12 3,1xx 根据 2 23yxx的图象，可得原不等式 2 230 xx的解为31x （3）方程 2 210 xx
15、有两个相同的解 12 1xx 根据 2 21yxx的图象，可得原不等式 2 210 xx 的解1x 的全体实数 （4）因为0 ，所以方程 2 220 xx无实数解， 根据 2 22yxx的图象，可得原不等式 2 220 xx的无解 注：此种情形高中数学称之为解集是空集 例 2、解下列不等式： （1） 2 1 x ； （2） 2 1x x ； （3）3419x； （4） 2 10 xm xm 解： （1）移项 2 10 x ，通分： 2 0 x x ， 原不等式等价于：(2)0 x x即(2)0 x x， 解为0 x 或2x （2）移项、通分，原不等式化简为 2 2 0 xx x ， 等价于 2
16、 20 0 xx x 或 2 20 0 xx x 12 21 0 xx x 或 或 21 0 x x 1x或20 x 原不等式的解为201xx 或 （3）原不等式即193419x，即 3419 3419 x x ，解得 23 3 15 x x 原不等式的解为 23 3 5x （4）原不等式化简为(1)()0 xxm 由二次函数图象知： 当1m时，无实数解； 当1m时，解1mx； 当1m时，解1xm 三、三、自我小结：自我小结： _ _ _ _ 四四、巩固巩固练习练习 1解下列不等式： （1） 2 0 xx； （2）410 xx； （3） 2 352xx； （4） 2 1061xx； 13 2解
17、下列不等式： （1） 2 0 32 x x ； （2） 1 1 x ； （3） 1 43 2 x ； （4） 2 315xx； （5*）(1)(1)0mxx 14 第第五五讲讲 一元二次方程的根的分布一元二次方程的根的分布 一、一、知识要点知识要点 1一元二次方程的根与系数的关系： 设方程 2 0axbxc(0)a 的两根为 12 ,x x，则有： 12 b xx a ， 12 c x x a 2解决一元二次方程的根的分布问题，常用： （1）应用根的判别式和根与系数关系进行讨论； （2）借助二次函数的图象进行实根分布的讨论，学习数形结合的思想 二、例题二、例题选讲选讲 例 1、若方程 2 (3
18、)0 xmxm的两根分别为 1 x， 2 x （1）若方程有两个正根，求实数m的取值范围； （2）若方程有一正一负根，求实数m的取值范围 （3）若方程有一个正根，一个负根且正根绝对值较大，求实数m的取值范围 解： （1） 2 12 12 (3)40 (3)0 0 mm xxm x xm ，解得：01m （2） 2 12 (3)40 0 mm x xm ，解得：0m （3） 2 12 12 (3)40 (3)0 0 mm xxm x xm ，解得：0m 例 2、求实数 m 的范围，使关于x的方程 2 2(1)260 xmxm： （1）有两个实根，且一个比 2 大，一个比 2 小； （2）至少有一
19、个正根 解：设方程 2 2(1)260 xmxm的两根为 12 ,x x，则 1212 2(1),26xxmx xm ， （1） 12 0 (2)(2)0 xx ， 1212 0 2()40 x xxx ， (5)(1)0 (26)2(1)40 mm mm ， 1,5 1 mm m 或 15 解得：1m （2）至少有一个正根有两种情况： 1 0 x 且 2 0 x ， 2 12 12 4(1)4(26)0 2(1)0 260 mm xxm x xm ， 解得 15 1 3 mm m m 或 31m 1 0 x 且 2 0 x ， 2 12 4(1)4(26)0 260 mm x xm 解得 1
20、5 3 mm m 或 3m 由知m的取值范围是1m 说明： 1同学们有没有注意到例 2（1）中的0 是多余的，巩固练习的第 6 题也是如此，这 一现象要等到高中函数的图象和性质讲过后才能得到正确解释； 2比例 2 更复杂的情形还有很多，如： 一根大于 2，另一根小 1； 一根介于 1 与 2 之间，另一根大于 5； 一根介于 1 与 2 之间，另一根介于 3 与 4 之间； 这些内容，高中课本是没有的，但对高考来讲实在太重要了，当老师随堂补充时，一 定要掌握好 三、三、自我小结：自我小结： _ _ _ _ 四四、巩固练习、巩固练习 1已知方程 2 (1)0kxk xk有两个不相等的实数根，则
21、k 的取值范围是 2若一元二次方程 2 (1)2(1)0mxmxm有两个正根，则m的取值范围是 3 设有一元二次方程 2 2(1)20 xmxm 当 m 为 时， 方程有一正根、 一负根 16 4方程 2 24310 xmxm 有两个负数根，则 m 的取值范围为 5 已知函数 22 (45)4(1)3ykkxk x的图象都在x 轴上方， 求实数k 的取值范围 6当实数k为何值时，关于x的方程 2 22320kxxk的两个实根一个小于 1，另一 个大于 1 17 几何部分几何部分 第一讲第一讲 平行线及比例关系平行线及比例关系 一、一、知识要点知识要点 1平行线等分线段定理：A 型，X 型 如果
22、一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等 推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 2三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 3梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 注：梯形ABCD中，/EFADBC 若 AEm EBn 且ADa，BCb，则 mbna EF mn 4比例性质 （1）合比性质：若 ac bd ，则 abcd bd ；若 ac bd ，则 abcd bd （2）等比性质：若 acm bdn ，且0bdn，那么 acma b
23、dnb 二、例题二、例题选讲选讲 例 1、如图，在平行四边形ABCD中， E，F分别是AB，CD的中点，DE，BF分别 交AC于点M，N求证：AMMNNC 分析：要证AMMN，就要证/MEBN；要证MNNC，就要证/FNDM。即本题 的关键是证明/DEBF，故，只要证四边形DEBF是平行四边形。 详解：在ABCD中，/,/DCAB DCABDFEB 又,F E分别是,DC AB的中点 11 22 DFDCABEB 四边形DEBF是平行四边形， /DEBF，即/,/MENB FNDM 又,E F分别是,AB DC的中点， ,A MM N C NM N AMMNNC A D E F B C a b
24、 m n A E B N M D F C 18 例 2、如图，平行四边形ABCD中，E在AB延长线上，且 1 3 BE AE ，DE交BC于F，若 6BC ，求BF的长 分析：在EAD中，/BFAD.利用平行线等分线段定理，求得BF 详解：在ABCD中，/BFAD 所以 EBFEAD 1 3 BFEB ADEA 11 2 33 BFADBC 例 3、如图，/ABEFCD，3AB ，6CD ，求EF 分析：因/ABEFCD，故在,DABBCD中，利用平行线等分线段定理 得, EFDF EFBF ABDB CDBD ，进而求得EF 详解：在DAB中，/ABEF，故 EFDF ABDB ， 在BCD
25、中，/EFCD，故 EFBF CDBD 两式相加得：1 EFEFBD ABCDBD 所以 2 AB CD EF ABCD 例 4、如图，ABC中，AM为中线，D为AM的中点，BD的延长线交AC于点E 求证： 1 2 AEEC 分析：要证同一条直线上两条线段间的比例关系，只要利用平行线构造 A 型，X 型 本题作平行线的方法较多：取EC中点N，连接MN； 过M作/MNBE交AC于N； 过A作/AFBC交BE的延长线于F； 过B作/BGAC交AM的延长线于G 详解（法 1） ： 取EC中点N，连接MN ,M N分别是,BC EC的中点 /MNBE 在AMN中，/DEMN，D为AM的中点， 所以E为
26、AN的中点， D C A B E F A B E F D C A D E B M C 19 1 2 A EE NE CA EE C 三、三、自我小结：自我小结： _ _ _ _ 四四、巩固练习、巩固练习 1Rt ABC中，90C， 5 13 AC AB ，若24BC ，则AC ，AB 2已知: :3:4:5a b c ，则 b abc 3已知 7 2 xy xy ，则 y x 4已知 435 xyz ，则210 xyz，则23xyz= 5如图，梯形ABCD中，/ABCD，15AB ，3CD ，E、G 是DA的三等分点，F、H在BC上，/EFGHAB，则 EF ，GH 6如图，已知 3 2 OA
27、OB OCOD 求： （1） OA AC ； （2） OAOB OCOD C D E F G H A B D A O B C 20 7如图， 1 4 APBQ ACBC （1）求 AP PC 和 PC AC ； （2）若 2 5 AP ， 3 2 QC ，求PC和BC 8如图，ABC中， 1 3 CE CA ，FBFE，求 AD AB A B P Q C A D E B C F 21 第二讲第二讲 直角三角形中的射影定理直角三角形中的射影定理 一、知识要点一、知识要点 1锐角三角函数的定义： RT ABC中，sin,cos,tan BCACBC AAA ABBCAC 2特殊角的三角函数 三角函
28、数值 三角函数 0 30 0 45 0 60 sin 1 2 2 2 3 2 cos 3 2 2 2 1 2 tan 3 3 1 3 3射影定理： 在RT ABC中， 0 90ACB，CDAB于D， 则 2 A CA DA B； 2 BCBD BA； 2 CDAD BD 二、例题二、例题选讲选讲 例 1 化简： 000 sin30cos60tan45 解：原式= 11 1 0 22 +- = 说明：特殊角的三角函数值要记牢，这是学好高中阶段三角函数的前提 例 2、如图，在直角ABC中，CD 为斜边 AB 上的高，已知8,4ADBD，求tan A 解：由射影定理 2 CDAD BD，得4 2CD
29、 ， 于是 2 tan= 2 CD A AD C B A A B C D 22 说明：求直角三角形斜边上的高的常用方法： （一）面积法， （二）射影定理 本题还有别的解决办法吗？ 如何求sinA？ 例 3、正方形 ABCD 中， M 为 DC 的中点， N 为边 BC 上一点， BN=3NC，设M A N， 求cos 解：不妨设正方形边长为 4， Rt ABN中，4,3ABBN由勾股定理得5AN ; Rt ADM中，4,2ADDM由勾股定理得20AM ; Rt NCM中，1,2NCCM由勾股定理得5MN ; 所以， 222 MNAMAN，从而90AMN 所以， 202 5 cos 55 说明：
30、本题综合性较强，解决此类问题时，可以逐个突破，尽量求出能求出的量，在此基 础上再做进一步分析 三、三、自我小结：自我小结： _ _ _ _ 四四、巩固巩固练习练习 1在ABC中， 0 90 ,4,3CACBC，则sinA 2 00 sin45tan60 3某人沿着坡角为的斜坡前进了c米，那么他上升的高度为 米 4 在ABC中，,AB均为锐角， 且有 2 tan32sin30BA， 则ABC是 三角形 5如图，在ABC中，若 00 2 30 ,45 , 2 ABAC，则 BC= 6如图，在直角ABC中，CD 为斜边 AB 上的高， 2,3BCAD，求AC A B C D AB C 23 7如图，
31、在平面上一点 C 处测得河对岸某塔 AB 的顶端 A 的仰角为 0 30，沿直线 CB 向 塔前进 20 米到达点 D 处，再测得塔顶 A 的仰角为 0 45，求塔高 AB（结果保留根号） 8如图， 在ABC中， 已知 0 90 ,6 3,CACBAC的平分线 AD=12， 求ABC中 其余各边的长， 各角的度数和ABC的内切圆的半径的长 AB C D 24 第三讲第三讲 圆圆 一、知识要点一、知识要点 1弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角 2弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 3相交弦定理：圆内的两
32、条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项 4切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线 段长的比例中项 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等 二、例题二、例题选讲选讲 例 1、过不在圆上的一点P作两相交直线与圆分别相交于,A B和,C D，求证： PA PBPC PD 分析：要分点P在圆内和圆外两种情形证明 证明：如上图，当点P在圆内时，连接,AC BD， 在PAC和PDB中， 因为AD ，CB， 所以PACPDB， 所以 PAPC PDPB ，即P
33、A PBPC PD 如下图，当点P在圆外时，连接,AC BD， 在PAC和PDB中， 因为PP ，PACD， 所以PACPDB， 所以 PAPC PDPB ，即PA PBPC PD 综上可得：对任意不在圆上的点P，都有结论成立 例 2、已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为 12cm 和 16cm 两段，第二条弦的长为 32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长 解：设第二条弦被交点分成的两段的长为xcm 和ycm，则 32 12 16 xy x y ， 所以x、y可以看成一元二次方程 2 3212 160zz的两个根， 则 2 3212 16(8)(24)zzzz， 8 24 x y 或 24
34、 8 x y . P D C B A A B C D P 25 第二条弦被交点分成的两段的长为 8cm 和 24cm. 例 3、 已知： 如图， O 的割线 PAB 交O 于点 A 和 B， PA6cm， AB8cm， PO10cm， 求O 的半径 解：延长PO交O于D，则PA PBPC PD. 设O的半径为R，则10PCR，10PDR， 2 6 14(10)(10)16RRR， 4R （cm）. 例 4、如图，已知AB、CD是O 的弦，且ABCD于 M，OHAD于H求证： 1 2 OHBC 证明：延长AO，交O于E，连结DE、AC， AE为圆的直径 90ADE， AOOE，OHAD 1 2
35、OHDE. ACMAED ， 在RtACM和RtAED中考虑， 则可知CAMEAD ， BCDE， 1 2 OHBC. 三、三、自我小结：自我小结： _ _ _ _ 四四、巩固练习巩固练习 1半径为5的圆中，,A B是圆周上两点，圆心为O，点O到直线AB的距离是 4，则弦 长AB O AB O AB O A C D M O A C D M （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） （第 4 题） O P C B A O A B C M H D 26 2等腰ABC三顶点, ,A B C都在半径为5的圆上，ACBC，且8AB，则ABC的 面积是 3A 是半径为4的上圆 O 上的点，AO的中点是M，弦 CD 过 M，若1MCMD， 则CD 4M是圆 O 半径AO的中点，弦CD过M且与OA垂直，若6CD，则圆O的面积 是 5半径为4的圆中，AB 为直径，
