1、2021 年全国普通高等学校统一招生年全国普通高等学校统一招生模拟模拟考试考试名师原创金卷名师原创金卷 数数 学学（理理） 第第卷（选择题：共卷（选择题：共 60 分）分） 一、选择题：本共一、选择题：本共 12 小题，每小题，每 5分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1. 已知实数x，y和虚数单位i满足 231xiyxyii ，则xy（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知集合1,2,
2、3,4,5A， ,Bx y xA yA xyA，则B中所含元素的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 周髀算经中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、 小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒 种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为： （ ） A. 15.5尺 B. 12.5尺 C. 10.5尺 D. 9.5尺 4. 某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为 3km和 5km，测得灯塔A在观察站C北偏西 50 ，灯塔B在观 察站C北偏东 70 ，则两灯塔A，B间的距离为（ ）
3、 A. 7 B. 8 C. 3415 3 D. 3415 3 5. 设函数 f x， g x均是定义在 2 41,22mmm 上 偶函数和奇函数，且满足 2 221 x f xg xx，则 f m的值为（ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 13 4 D. 17 4 6. 二十世纪第三次科技革命的重要标志之一是计算机发明与应用，其核心是使用二进制，即用最基本的字 符“0”和“1”可以进行无穷尽的各种复杂计算，而且用电子方式实现，即二进制是一个微小的开关用“开”来表 示 1，“关”来表示 0某编程员将一个二进制数字串进制数字串 1 x， 2 x， 3 x， n xn N ，进行编码， 其中1,
4、2, k xkn称为第k位码元，但在实际编程中偶尔会发生码元出错（即码元由 0 变成 1，或者由 1 变为 0） ，如果出现错误后还可以将码元 1 x， 2 x， 3 x， 7 x进行校验修正，其校验修正规则为： 4567 2367 1357 0 0 0 xxxx xxxx xxxx ，其中运算定义为：000，01 1，101，110，即满足运算规则为 正确，否则错现程序员给出 1101101 一组码元，然后输入计算机中，结果仅发现第k位码元错误，则k的 值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 二项式 34 121xx的展开式中 2 x的系数是（ ） A. 24 B. 12
5、C. 6 D. 6 8. 已知 1 F， 2 F是椭圆C： 2 2 1 2 x y的两个焦点，A、B是椭圆C上且位于x轴上方的任意两点，且满 足 12 AFBF，0， 2 AF与 1 BF交于P，则 12 PFPF（ ） A. 2 2 B. 3 2 C. 3 2 2 D. 5 2 2 9. cos80cos20 sin80sin20 （ ） A. 3 B. 2 C. 3 3 D. 1 3 10. 如图所示是一个正方体，现将其六面分别都涂红、蓝、黄、白、绿、紫 6 种颜色放干后，再切割为 125 个同样大小正方体，然后放在足够大的容器内均匀搅拌，若从中随机取出一个小正方体记它的涂有颜色 面数为X
6、，则X的均值为（ ） A. 126 125 B. 7 5 C. 168 125 D. 6 5 11. 知函数 2sinf x x（0，0）满足 fxf x，其图象与直线2y 的某 两个交点横坐标为 1 x， 2 x，且 12 xx的最小值为现给出了以下结论 2且 2 在0, 4 上 f x单调递减且0 2 f 在,0 2 上 f x单调递增且1 6 f ,0 4 是 f x的对称中心 则以上正确的结论编号为（ ） A. B. C. D. 12. 下面各选项用类比推理，现给出了以下四个结论 已知三条直线a、b、c，若/a b，/b c，则/a c类推出：已知向量a、b、c，若 /a b，/b c
7、，则 /a c 已知实数a、b， 若方程 2 0 xaxb有实数根， 则据判别式0， 有 2 4ab 类推出： 已知复数a、 b，若方程 2 0 xaxb有实数根，据判别式0，有 2 4ab 以原点0,0O为圆心，r为半径的圆方程 222 xyr，类推出：以空间原点0,0O为球心，以r为半 径的球方程为 2222 xyzr 若集合 1 A， 2 A， ， n A，满足 123n AAAAA，则称 1 A， 2 A， ， n A为集合A的一种 离散即 12123 ,AAa a a时，有 3 3种离散； 1231234 ,AAAa a a a时，有 4 7种离散； 123412345 ,AAAAa
8、 a a a a时，有 4 1 54 1521 种离散； ，类推出： 1231 , n Aa a aa 时，必有 1 21 n n 种离散 则正确的结论编号为（ ） A. B. C. D. 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 二、填空题（分单空和多空） ：本题共二、填空题（分单空和多空） ：本题共 4小题，每小题，每 5 分，共分，共 20 分分 13. 设数列 n a前n项和为 n S，若 2 4S ， 1 21 nn aS ，n N，则 7 a _ 14. 若函数 f x满足 1f xfx，13fxfx当且仅当1,3x时， 3 logf xx ， 则57f_ 15. 将一骰子抛掷两次，若先后
9、出现的点数分别是b、c，则函数 2 f xxbxc仅有一个零点的概率 是_；有两个不相同零点概率是_ 16. 已知 222 sinsinsinf，其中，为参变数，且0若 f 是一个与无关的定值，则_，_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70分解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤 17. 已知定义在已知定义在R上的函数上的函数 f x满足 11 22 f ， 18 1 99 ff ，由此可 归纳出一个结论“”， 使得数列 n a满足 121 01 n n afffff nnn ， 则此结论 为_并求 n
10、a的通项公式 18. 如图,三棱柱 111 ABCABC中,底面ABC是等边三角形,侧面 11 BCC B是矩形, 1 ,ABAB N是 1 BC的中 点,M是棱 1 AA上的点,且 1 AACM. （1）证明：/MN平面ABC； （2）若 1 ABAB,求二面角A CMN的余弦值. 19. 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，且过点2,1P. （1）求椭圆C的方程； （2）若,A B是椭圆C上的两个动点，且APB的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB的斜率为定值. 20. 新型冠状病毒是一种人传人，而且隐藏至深、不易被人们直觉发现危及人们生命的严重病毒我们
11、把与 这种身带新型冠状病毒（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者已知每位密切关联者通过核 酸检测被确诊为阳性后的概率为01pp一旦被确诊为阳性后即将其隔离某位患者在隔离之前， 每天有k位密切关联者与之接触（而这k个人不与其他患者接触） ，其中被感染的人数为0XXk （1）求一天内被感染人数X概率p X的表达式和X的数学期望； （2）该病毒在进入人体后有 14 天的潜伏期，在这 14 天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间设 每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与k位密切关联者接触从某一从名患者被带新型冠状病毒 的第 1 天开始算起，第n天新增患者的数学期望记为2 n En 当1
12、0k ， 1 2 p ，求 8 E的值； 试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被 感染患病的概率 p 满足关系式 2 ln 1 3 p pp 当 p 取得最大值时，计算 p 所对应的 6 E和 p所对 应的 6 E值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取 10k ） （参考数据：ln20.7，ln3 1.1，ln5 1.6， 1 0.3 3 ， 2 0.7 3 ， 6 646650 计算结果保留整数） 21. 已知函数 2 113 ln,ln 424 f xxag xx xx (1)求证： 2 1 1 1 4 f xa x ； (2)用m
13、ax, p q表示 , p q中的最大值，记 max,h xf xg x，讨论函数 h x零点的个数 请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题题中任选一做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题 号号 选修选修 4-4：坐标系与参数方程选讲：坐标系与参数方程选讲 22. 在直角坐标系xOy中，已知直线l过点 2,0P，其斜率为 4 3 ，直线l与抛物线C： 2 2yx相交A、B 两点 （1）写出直线l和抛物线C的参数方程； （2）若点M在抛物线弦AB上，记AOM面积为 1 s，BOM面积为 2 s，且 12 ss ，试求点M坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23. 设定义在1,3上的函数为 2f xmxmR （1）设20f x在定义域上恒成立，求m最小值； （2）设m为（1）的最小值，正实数a，b，c满足等式 111 23 m abc ，试证明：239abc
