1、 南昌市南昌市 2021 届高三摸底测试卷届高三摸底测试卷 理科数学理科数学 一、选择题：一、选择题： 1已知i为虚数单位，则 3 1i（ ） A2 B1 C0 D2 2命题： “0 x ，都有sinxx”的否定为（ ） A0 x ，使得sinxx B0 x ，使得sinxx C0 x ，都有sinxx D0 x ，都有sinxx 3爱美之心，人皆有之健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目为了了解运动健身减肥的效果，某 健身房调查了 40 名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况如柱状图 1 所示，经过四个月的健身 后，他们的体重情况如柱状图 2 所示对比健身前后，关于这 40 名肥胖者
2、，下面结论不正确的 是（ ） A他们健身后，体重在区间90,100内的人数增加了 4 个 B他们健身后，体重在区间100,110内的人数没有改变 C因为体重在100,110内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响 D他们健身后，原来体重在区间110,120内的肥胖者体重都有减少 4 n S为等差数列 n a的前n项和，满足 32 35aa， 10 100S，则 1 a （ ） A1 B2 C3 D4 5已知x，y满足约束条件 2 2 30 x y xy ，zyx，则 maxmin zz（ ） A0 B1 C2 D4 6若双曲线 2 2 1 y x m 的离心率1,3e，则m的取值
3、范围为（ ） A0,8 B0,4 C1,9 D8, 7如图，图中小正方形的边长为 1，粗线是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A24 B22 C4 D612 8设 0.6 2a ， 0.4 3b ， 3 log 10c ，则a，b，c的大小关系是（ ） Acba Bcab Cbac Dabc 9 已知函数 sin0, 2 fxx 的部分图象如图所示， 若 2 23 ff ， 则 （ ） A2， 6 B 5 3 ， 5 18 C2， 3 D 5 3 ， 6 10若函数 22 cos38f xxaxaa有唯一零点，则a （ ） A2 B2 或4 C4 D2 11已知直线l与圆C： 22
4、 240 xyxy相交于A，B两点，O为坐标原点，若锐角ABC的面 积为 12 5 ，则sin AOB（ ） A 12 25 B 3 5 C 3 4 D 4 5 12已知曲线 1 C： x m ye ， 2 C： 2 yx，若恰好存在两条直线直线 1 l、 2 l与 1 C、 2 C都相切，则实数m 的取值范围是（ ） A2ln22, B2ln2, C,2ln22 D,2ln2 二填空题：二填空题： 13 6 2xy展开式中 33 x y的系数为_ 14已知向量OAAB，2OA ，则OA OB_ 15无穷数列 n a满足：只要 * , pq aap qN，必有 11pq aa ，则称 n a为
5、“和谐递进数列” 已知 n a为“和谐递进数列” ，且前四项成等比数列， 15 1aa， 2 2a ，则 2021 S_ 16集合26Axxm，121Bx mxm ，若AB，求实数m的取值范围 _ 三解答题：三解答题： （一）必考题：（一）必考题： 17已知ABC中，3AB ，D是边BC上一点，2AD ， 3 ADC ， 5 12 DAC （1）求AC的长； （2）求ABD的面积 18如图，四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是菱形，60ABC，对角面 11 AACC是矩形， 且平面 11 AACC 平面ABCD （1）证明：四棱柱 1111 ABCDABC D是直四棱柱； （
6、2）设ACBDO，若 1 ABAA，求二面角 1 DOBC的余弦值 19某机构要对某职业的月收入水平做一个调研，选择了A，B，C三个城市，三个城市从业人数分别为 10 万， 20 万， 20 万， 该机构决定用分层抽样的方法从三个城市中抽取 1000 个样本进行调查， 并分析A、B 城市的样本数据后得到以下频率分布直方图： （1）A，B，C三个城市应各抽取多少个样本？并估计A城市从业人员月收入的平均值； （2）用频率估计概率，A，B城市从业人数视为无限大，若从A，B两城市从业人员中各随机抽取 2 人， X表示这抽取的 4 人中月收入在 3000 元以上的人数，求X的分布列和期望 （用分数作答）
7、 20已知椭圆E： 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右焦点分别是 1 F、 2 F，其离心率为 3 2 ，以 1 F为圆心 以 1 为半径的圆与以 2 F为圆心以 3 为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E上 （1）求椭圆E的方程； （2）过椭圆上顶点A斜率为k的直线l与椭圆的另外一个交点为B，若 2 ABF的面积为 5 3 4 ，求直线l 的方程 21已知函数 2 1 32ln 2 fxxxx （1）判断 f x零点个数，说明理由； （2）是否存在整数k，使得直线 5 2 ykx与函数 f x的图像有三个交点？若存在，求出k的所有可能 取值；若不存在，说明理由 （参考数据ln20.69
8、） （二）选考题：（二）选考题： 22选修 4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系中， 曲线C的参数方程为 cos cos2 x y （为参数） ， 直线l的参数方程为 52 2 xt yt （t为 参数） （1）求曲线C和直线l的普通方程； （2）设P，Q分别是直线l和曲线C上的动点，求PQ的最小值 23选修 4-5：不等式选讲 已知 211f xxx （1）求不等式 2f x 的解集； （2）若 f xa x恒成立，求a的取值范围 2021 届高三摸底测试卷届高三摸底测试卷 理科数学参考答案及评分标准理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8
9、9 10 11 12 答案 D B C A C A A D C D B C 二、填空题：二、填空题： 13160 144 157576 16 1 7 , 2 2 三解答题：三解答题： 17 【解析】 （1）由已知 4 ACD ， 则ADC中， 2 3 sinsin32 22 ACADAC AC ADCACD ； （2）ABD中，3AB ，2AD ， 2 3 ADBADC ， 则 22 2 2 3222cos 3 BDBD ，解得 62 2 BD ， 故ABD的面积为 12162333 sin2 232224 BDAD 18 【解析】 （1）如图，平面 11 AACC 平面ABCD，且平面 11
10、 AACC 平面ABCDAC 因对角面 11 AACC是矩形，所以 1 AAAC， 由面面垂直的性质定理得平面 1 AA 平面ABCD， 故四棱柱 1111 ABCDABC D是直四棱柱 （2）由四边形ABCD是菱形，ACBD 设 11111 ACB DO， 1 OO 底面ABCD， 从而OB，OC， 1 OO两两垂直 如图，以O为坐标原点，OB，OC， 1 OO所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 不妨设2ABt，因为60CBA，所以3OBt，OCt，又 1 ABAA， 于是 1 3 ,0,2Btt， 1 0, ,2Ctt易知， 1 0,1,0n 是平面 11 BDD B的一个
11、法向量 设 2 , ,nx y z是平面 11 OBC的一个法向量，则 21 21 0, 0, nOB nOC 即 320 20 xz yz 取3z ，则2x ，2 3y ，所以 2 2,2 3,3n 设二面角 11 DOBC的平面角为，易知是锐角， 于是 12 12 12 2 32 57 coscos, 1919 n n n n nn 故二面角 11 COBD的余弦值为 2 57 19 19 【解析】 （1）由题，A，B，C三个城市人数比为10:20:201:2:2， 所以A城市应抽取 200 人，B城市应抽取 400 人，C城市应抽取 400 人， 因为15 0.25 25 0.35 35
12、 0.245 0.15 55 0.0529百元， 所以A城市月收入平均值约为 2900 元； （2）X可能取值有 0，1，2，3，4，从A城从业人员中随机抽取一人， 月收入在 3000 元以上的概率为 2 5 ，从B城从业人员中随机抽取一人， 月收入在 3000 元以上的概率为 3 5 ，所以： 22 3236 0 55625 P X ， 22 11 22 232323156 1 555555625 P XCC ， 2222 11 22 22332323241 2 55555555625 P XCC ， 22 11 22 233223156 3 555555625 P XCC ， 22 233
13、6 4 55625 P X ， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 36 625 156 625 241 625 156 625 36 625 所以随机变量X的数学期望 3615624115636 012342 625625625625625 EX （或者 23 222 55 EX ） 20 【解析】 （1）设椭圆方程为 22 22 1 xy ab （0ab） ， 由两圆交点在椭圆上，21 34a ，得2a ， 由离心率为 3 2 ， 22 2 3 4 ab a ，得1b ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （2）因为点A的坐标为0,1，所以直线l的方程为1yk
14、x， 代入椭圆方程得到： 2 2 2 114180 4 x kxkxkx ，因为0 A x ， 所以 2 8 41 B k x k ， 2 2 14 41 B k y k ， 又因为直线l与x轴的交点坐标为 1 ,0 k ，点 2 F的坐标为 3,0， 所以 2 2 11145 3 31 2414 k kk ，解得 3 2 k 或 5 3 6 k ， 所以，直线l的方程为 3 1 2 yx或 5 3 1 6 yx 21 【解析】 （1） 122 3 xx fxx xx ，所以 x 0,1 1 1,2 2 2, fx + 0 - 0 + f x 5 2 2ln24 因为 62ln60f，所以 f
15、 x在定义域0,上有且仅有一个零点； （2）由方程 5 2 fxkx，可以得到： 2 15 2ln3 22 xxkx， 即 12ln5 3 22 x xk xx ，记 12ln5 22 x g xx xx ， 2 222 122ln54ln1 222 xxx gx xxx ， 记 2 4ln1h xxx， 2 22 4 2 x h xx xx ， 所以 h x在 0, 2单调递减，在 2,上单调递增， 又 10h， 210hh， 23 4ln20h ， 所以存在 0 2,2x 使得 0 0h x， 且0,1x时 0h x ， 0g x， 0 1,xx时， 0h x ， 0g x， 0, xx时
16、， 0h x ， 0g x ，所以 g x的极大值 13g， g x的极小值 2 00 0000 00000 12ln51152 22222 xx g xxxx xxxxx ， 因为 0 22x，所以 0 2 23g x，所以 0 12 2330g x ， 由题意两图象三个交点，所以 00 3330g xkg xk ，因此10k ， 所以不存在整数k满足条件 22 【解析】 （1）因为 2 cos22cos1y， 所以C： 2 2111yxx ， 直线l：2 25 52 2 xt yx yt ； （2）作直线 l ：2 2yxb与曲线C相切，则PQ最小值为l与 l 的距离 将 l 与C的方程联
17、立，消去y可得： 2 22 210 xxb， 则88102bb ，故 l ：2 22yx， 从而l与 l 的距离为 2 25 1 2 21 ， 即PQ的最小值为 1（当且仅当切点Q的横坐标为 2 2 时取到最小值） 23 【解析】 （1）由已 2112f xxx， 当 1 2 x 时， 1 2 2 3 2112 x x xx ； 当 1 1 2 x时， 1 1 012 2112 x x xx ； 当1x 时， 1 1 2112 x x xx ； 综上所述， 2f x 的解集为 2 ,0, 3 ； （2）由题意知211xxa x恒成立， 当0 x 时，20a恒成立，得aR； 当0 x 时， 21111 21 xx a xxx 恒成立， 知 1111 21213 xxxx ，得3a ； 综上所述，符合条件的实数a的范围是,3
