浙江省“山水联盟”2021届高三上学期开学考试数学试题附答案.docx

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1、 “山水联盟”2021 届高三年级第一学期开学考试 数学试题 参考公式: 台体的体积公式 1122 1 3 VSS SSh 其中 1 S, 2 S分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高 柱体的体积公式VSh 其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高 球的表面积公式: 2 4SR,球的体积公式: 3 4 3 VR 其中R表示球的半径 选择题部分 一、选择题 1集合 2, 1,0,1,2,3A ,集合 2 230Bx xx,则集合AB( ) A 3, 2, 1,0,1 B 2, 1,0 C0,1,2 D 1,0,1,2,3

2、2欧拉恒等式 i e10 被称为数学中最奇妙的公式,它是复分析中欧拉公式的特例欧拉公式: ix ecosisinxx(i为虚数单位,e为自然对数的底数,自变量x时, i ecossin1i ,得 ix e10 根据欧拉公式,复数 2 i 3 ez 在复平面上所对应的点在第象限_象限 A一 B二 C三 D四 3若实数x,y满足约束条件 220 10 10 xy xy y ,则zxy的最大值为( ) A1 B1 C1 D2 4函数sincosyxxx在区间, 的图像大致为( ) A B C D 5某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积(单位: 3 cm)是( ) A4 B 4 3

3、 C 8 3 D6 6已知双曲线E的中心在原点,焦点在坐标轴上,则“双曲线E的离心率5e ”是“双曲线E的渐 近线方程为2yx ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7设0, 2 ,(0,),若 1 sin1 cos 1 sin1 cos ,则( ) A 2 B C 2 D 2 8已知圆台的侧面积(单位: 2 cm)为 2 元,且它的侧面展开图是一个半圆环(如图所示) ,则圆台的下 底面积与上底面积之差为( ) A 2 1cm B 2 cm C 2 1 cm 2 D 2 cm 2 9疫情期间,某村有 3 个路口,每个路口需要 2 个人负责检查体

4、温现有 8 名志愿者,其中 4 名为党员, 从中抽取 6 人安排到这 3 个路口,要求每个路口至少有一名党员,则不同的安排方法有_种 A432 B576 C1008 D1440 10已知数列 n a满足: * 1 , 1 n n n aa aaR nN a ,且 1 1 2 a ,则下列说法错误 的是( ) A存在aR,使得 1 n a 为等差数列 B当1a 时, 2020 3a C当2a时, 123 2 n aaaa D当4a时, 2 2 n n a a 是等比数列 非选择题部分 二、填空题 11已知函数 2 log,0 ( ) 21,0 x x x f x x ,则 1 2 ff _;若

5、1 ( ) 2 f x ,则x_ 12 设 52345 012345 (1 2 ) xaa xa xa xa xa x, 则 2 a _; 12345 aaaaa_ 13 如图, 三角形ABC中,D是边AC上的一点, 若24CDDA, 且 10 cos2cos 4 ABDADB, 则AB _;BC _ 14如图,椭圆E的左右焦点为 1 F, 2 F,以 2 F为圆心的圆过原点,且与椭圆E在第一象限交于点P, 若过P、 1 F的直线l与圆 2 F相切,则直线l的斜率k _;椭圆E的离心率e_ 15已知0a,0b,且21ab,则 18 2bab 的最小值为_ 16已知向量|2a ,| 1b ,向量

6、a在向量c上的投影等于 1,则|abc的最小值为_ 17若 22 2xxaxxa对xR恒成立,则实数a的取值范围为_ 三、解答题 18已知函数( )sin (sin3cos )f xxxx ()求函数( )f x的最小正周期 ()求函数( )f x在0, x上的单调增区间 19 如图, 在四棱锥PABCD中, 1 2 2 PAPBADCDBC,/AD BC,ADCD,E是PA 的中点,平面PAB 平面ABCD ()证明:PBCE; ()求直线CE与平面PBC所成的角的正弦值 20已知数列 n a满足: 1 1a , 1 1 n n an an ;数列 n b是等比数列,并满足 1 2b ,且

7、1 1b , 4 b, 5 1b 成等差数列 ()求数列 n a, n b的通项公式; ()若数列 n b的前n项和是 n S,数列 n c满足 1 2 2 nn n nn aa c aS ,求证: 12 1 2 n ccc 21已知抛物线C: 2 2ypx,F为其焦点,点 (1, )(0)Qyy 在抛物线C上,且|2FQ ,过点Q作 抛物线C的切线 1 l, 00 ,P x y为 1 l上异于点Q的一个动点, 过点P作直线 2 l交抛物线C于A,B两点 ()求抛物线C的方程; ()若 2 | |PQPAPB,求直线 2 l的斜率,并求 0 x的取值范围 22已知1a ,函数 2 1 ( )1

8、 2 x f xexax,其中e2.71828为自然对数的底数 ()证明:函数( )yf x在(0,)上有唯一零点 ()记 0 x为函数 ( )yf x在(0,)上的零点,证明: 0 xa (参考数值:ln4.6 1.53) 2020 学年第一学期“山水联盟”开学考试 高三年级数学学科试题 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B A D D B C C 二、填空题 11 1 2 ;2 1240;242 133;6 14 3 3 ;3 1 15 25 2 163 1 172a 三、解答题 18 【解析】 () 2 311 ( )sin3sin cossi

9、n2cos2 222 f xxxxx 1 sin 2 62 x 所以( )f x的最小正周期为 2 2 T ()由222 262 kxk 得 63 kxk ,kZ 又0, x,得0 3 x 或 5 6 x 所以( )f x的单调增区间为:0, 3 , 5 , 6 19 【解析】 ()由已知可得在直角梯形ABCD中,2 2ABAC,4BC , 所以 222 ABACBC,所以ACAB 又因为平面PAB 平面ABCD,平面PAB平面ABCDAB 所以AC 平面PAB,所以ACPB 又2PAPB,2 2AB ,所以 222 PAPBAB,所以PBPA 故PB 平面PAC,又CE平面PAC,所以PBC

10、E ()法一:由(1)得PB 平面PAC,所以平面PBC 平面PAC 所以直线CE在平面PBC中的射影为直线PC, 故PCE即为直线CE与平面PBC所成的角 PCE中,2 3PC ,1PE ,3CE , 所以 222 5 3 cos 29 PCCEPE PCE PC CE ,故 6 sin 9 PCE 即直线CE与平面PBC所成的角的正弦值为 6 9 法二:如图所示建立空间直角坐标系,则(0,0,0)A,(2 2,0,0)B,(0,2 2,0)C,( 2,0, 2)P, 22 ,0, 22 E 设平面PBC的一个法向量为( , , )nx y z, (2 2, 2 2,0)CB ,( 2, 2

11、 2, 2)CP 由 02 22 20 022 220 n CBxy xyz n CPxyz , 故取(1,1,1)n 又 22 , 2 2, 22 CE 所以 26 cos, 9| |33 n CE n CE nCE 即直线CE与平面PBC所成的角的正弦值为 6 9 20 【解析】 ()由已知 1 1a , 1 (1) nn nana ,所以 n na是常数列, 所以 1 11 n naa ,故 1 n a n 设 n b的公比是q,由已知得 415 211bbb,所以 34 42qq 所以2q ,故2 n n b () 1 2 22 22 2 n n n S 1 1 2 211 2(1)

12、22(1) 2 nn n nnn nn a an c aSn nnn 累加得: 12 2231 111111 1 22 22 23 22(1) 2 n nn ccc nn 所以 12 1 111 2(1) 22 n n ccc n ,得证 21 【解析】 ()| 12 2 P FQ ,所以2p ,所以抛物线C方程为: 2 4yx ()(1,2)Q设切线 1 l的方程为: 2(1)yk x代入 2 4yx,得 2 4480kyyk 出0 ,得1k ,所以切线 1 l的方程为: 1yx 00 ,P x y在直线 1 l上,所以 00 1xy 设直线 2 l方程为: 00 xxm yy代入 2 4y

13、x,得 2 00 4440ymymyx 设 11 ,A x y, 22 ,B x y,则 12 1200 4 44 yym y ymyx 且 2 00 1616160mmyx ,得 2 00 0mmyx 222 10201020 | |111PAPBmyymyymyyyy 2222 1201200000 11444my yyyyymmyxmyy 2 222 000 14112myymy 又 2 2 0 |22PQy,所以 2 12m,所以1m(由题意取负) 所以直线 2 l的斜率为1; 代入0 ,得 00 10yx ,所以 0 210 x ,所以 0 1x 又 0 1x ,所以 0 x的范围为

14、: 0 1x 且 0 1x 22 【解析】 (1)( ) x f xex a , ( )1 0 x fxe 在 (0,)x上恒成立,所以( )fx在(0,)上单调递增 (0)10fa , ( )2(2)0 a f aeaea 所以存在 1 (0, )xa ,使得 1 0fx 故 1 ( )00,f xxx ,( )f x在 1 0,x单调递减, 1 ( )0,f xxx ,( )f x在 1, x 单调递增 又(0)0f,所以 1 0f x,当x时,( )f x , 故由零点存在定理,( )f x在 1, x 上有唯一零点,在 1 0,x上没有零点, 所以函数( )f x在(0,)上有唯一零点

15、 ()由(1)得:( )f x在 1, x 上单调递增,且 1 ax , 01 xx 故要证: 0 xa ,只要证 0 ( )f xf a 即证: 2 3 10 2 a ea 在1a 时恒成立 设 2 3 ( )1 2 a g aea,故 ( )3 a g aea,( )3 a g ae 由( )0ln3gaa,所以( )g a在(1,ln3)递减,在(ln3,)递增 5 (1)0 2 ge,(ln3)33ln30 g ,(ln4.6)4.63 ln4.64.63 1.530 g 所以存在 2 (1,ln3)x , 3 (ln3,ln4.6)x ,使得 23 0g xg x 所以( )g a在 2 1,x递增, 23 ,x x递减, 3, x 递增,所以 min3 ( )min(1),g agg x 因为 5 (1)0 2 ge,故只需证明 3 2 33 3 10 2 x g xex 由 3 33 03 x g xex ,所以 2 333 3 31 2 g xxx , 3 (ln3,ln4.6)x 由二次函数的单调性,得 22 3 33 (ln4.6)3ln4.6 1(1.53)3 1.53 10 22 g x 综上,得证

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