1、 “山水联盟”2021 届高三年级第一学期开学考试 数学试题 参考公式： 台体的体积公式 1122 1 3 VSS SSh 其中 1 S， 2 S分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高 柱体的体积公式VSh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式： 2 4SR，球的体积公式： 3 4 3 VR 其中R表示球的半径 选择题部分 一、选择题 1集合 2, 1,0,1,2,3A ，集合 2 230Bx xx，则集合AB（ ） A 3, 2, 1,0,1 B 2, 1,0 C0,1,2 D 1,0,1,2,3
2、2欧拉恒等式 i e10 被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例欧拉公式： ix ecosisinxx（i为虚数单位，e为自然对数的底数，自变量x时， i ecossin1i ，得 ix e10 根据欧拉公式，复数 2 i 3 ez 在复平面上所对应的点在第象限_象限 A一 B二 C三 D四 3若实数x，y满足约束条件 220 10 10 xy xy y ，则zxy的最大值为（ ） A1 B1 C1 D2 4函数sincosyxxx在区间, 的图像大致为（ ） A B C D 5某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位： 3 cm）是（ ） A4 B 4 3
3、 C 8 3 D6 6已知双曲线E的中心在原点，焦点在坐标轴上，则“双曲线E的离心率5e ”是“双曲线E的渐 近线方程为2yx ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7设0, 2 ，(0,)，若 1 sin1 cos 1 sin1 cos ，则（ ） A 2 B C 2 D 2 8已知圆台的侧面积（单位： 2 cm）为 2 元，且它的侧面展开图是一个半圆环（如图所示） ，则圆台的下 底面积与上底面积之差为（ ） A 2 1cm B 2 cm C 2 1 cm 2 D 2 cm 2 9疫情期间，某村有 3 个路口，每个路口需要 2 个人负责检查体
4、温现有 8 名志愿者，其中 4 名为党员， 从中抽取 6 人安排到这 3 个路口，要求每个路口至少有一名党员，则不同的安排方法有_种 A432 B576 C1008 D1440 10已知数列 n a满足： * 1 , 1 n n n aa aaR nN a ，且 1 1 2 a ，则下列说法错误 的是（ ） A存在aR，使得 1 n a 为等差数列 B当1a 时， 2020 3a C当2a时， 123 2 n aaaa D当4a时， 2 2 n n a a 是等比数列 非选择题部分 二、填空题 11已知函数 2 log,0 ( ) 21,0 x x x f x x ，则 1 2 ff _；若
5、1 ( ) 2 f x ，则x_ 12 设 52345 012345 (1 2 ) xaa xa xa xa xa x， 则 2 a _； 12345 aaaaa_ 13 如图， 三角形ABC中，D是边AC上的一点， 若24CDDA， 且 10 cos2cos 4 ABDADB， 则AB _；BC _ 14如图，椭圆E的左右焦点为 1 F， 2 F，以 2 F为圆心的圆过原点，且与椭圆E在第一象限交于点P， 若过P、 1 F的直线l与圆 2 F相切，则直线l的斜率k _；椭圆E的离心率e_ 15已知0a，0b，且21ab，则 18 2bab 的最小值为_ 16已知向量|2a ，| 1b ，向量
6、a在向量c上的投影等于 1，则|abc的最小值为_ 17若 22 2xxaxxa对xR恒成立，则实数a的取值范围为_ 三、解答题 18已知函数( )sin (sin3cos )f xxxx （）求函数( )f x的最小正周期 （）求函数( )f x在0, x上的单调增区间 19 如图， 在四棱锥PABCD中， 1 2 2 PAPBADCDBC，/AD BC，ADCD，E是PA 的中点，平面PAB 平面ABCD （）证明：PBCE； （）求直线CE与平面PBC所成的角的正弦值 20已知数列 n a满足： 1 1a ， 1 1 n n an an ；数列 n b是等比数列，并满足 1 2b ，且
7、1 1b ， 4 b， 5 1b 成等差数列 （）求数列 n a， n b的通项公式； （）若数列 n b的前n项和是 n S，数列 n c满足 1 2 2 nn n nn aa c aS ，求证： 12 1 2 n ccc 21已知抛物线C： 2 2ypx，F为其焦点，点 (1, )(0)Qyy 在抛物线C上，且|2FQ ，过点Q作 抛物线C的切线 1 l， 00 ,P x y为 1 l上异于点Q的一个动点， 过点P作直线 2 l交抛物线C于A，B两点 （）求抛物线C的方程； （）若 2 | |PQPAPB，求直线 2 l的斜率，并求 0 x的取值范围 22已知1a ，函数 2 1 ( )1
8、 2 x f xexax，其中e2.71828为自然对数的底数 （）证明：函数( )yf x在(0,)上有唯一零点 （）记 0 x为函数 ( )yf x在(0,)上的零点，证明： 0 xa （参考数值：ln4.6 1.53） 2020 学年第一学期“山水联盟”开学考试 高三年级数学学科试题 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B A D D B C C 二、填空题 11 1 2 ；2 1240；242 133；6 14 3 3 ；3 1 15 25 2 163 1 172a 三、解答题 18 【解析】 （） 2 311 ( )sin3sin cossi
9、n2cos2 222 f xxxxx 1 sin 2 62 x 所以( )f x的最小正周期为 2 2 T （）由222 262 kxk 得 63 kxk ，kZ 又0, x，得0 3 x 或 5 6 x 所以( )f x的单调增区间为：0, 3 ， 5 , 6 19 【解析】 （）由已知可得在直角梯形ABCD中，2 2ABAC，4BC ， 所以 222 ABACBC，所以ACAB 又因为平面PAB 平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB 所以AC 平面PAB，所以ACPB 又2PAPB，2 2AB ，所以 222 PAPBAB，所以PBPA 故PB 平面PAC，又CE平面PAC，所以PBC
10、E （）法一：由（1）得PB 平面PAC，所以平面PBC 平面PAC 所以直线CE在平面PBC中的射影为直线PC， 故PCE即为直线CE与平面PBC所成的角 PCE中，2 3PC ，1PE ，3CE ， 所以 222 5 3 cos 29 PCCEPE PCE PC CE ，故 6 sin 9 PCE 即直线CE与平面PBC所成的角的正弦值为 6 9 法二：如图所示建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(2 2,0,0)B，(0,2 2,0)C，( 2,0, 2)P， 22 ,0, 22 E 设平面PBC的一个法向量为( , , )nx y z， (2 2, 2 2,0)CB ，( 2, 2
11、 2, 2)CP 由 02 22 20 022 220 n CBxy xyz n CPxyz ， 故取(1,1,1)n 又 22 , 2 2, 22 CE 所以 26 cos, 9| |33 n CE n CE nCE 即直线CE与平面PBC所成的角的正弦值为 6 9 20 【解析】 （）由已知 1 1a ， 1 (1) nn nana ，所以 n na是常数列， 所以 1 11 n naa ，故 1 n a n 设 n b的公比是q，由已知得 415 211bbb，所以 34 42qq 所以2q ，故2 n n b （） 1 2 22 22 2 n n n S 1 1 2 211 2(1)
12、22(1) 2 nn n nnn nn a an c aSn nnn 累加得： 12 2231 111111 1 22 22 23 22(1) 2 n nn ccc nn 所以 12 1 111 2(1) 22 n n ccc n ，得证 21 【解析】 （）| 12 2 P FQ ，所以2p ，所以抛物线C方程为： 2 4yx （）(1,2)Q设切线 1 l的方程为： 2(1)yk x代入 2 4yx，得 2 4480kyyk 出0 ，得1k ，所以切线 1 l的方程为： 1yx 00 ,P x y在直线 1 l上，所以 00 1xy 设直线 2 l方程为： 00 xxm yy代入 2 4y
13、x，得 2 00 4440ymymyx 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 1200 4 44 yym y ymyx 且 2 00 1616160mmyx ，得 2 00 0mmyx 222 10201020 | |111PAPBmyymyymyyyy 2222 1201200000 11444my yyyyymmyxmyy 2 222 000 14112myymy 又 2 2 0 |22PQy，所以 2 12m，所以1m（由题意取负） 所以直线 2 l的斜率为1； 代入0 ，得 00 10yx ，所以 0 210 x ，所以 0 1x 又 0 1x ，所以 0 x的范围为
14、： 0 1x 且 0 1x 22 【解析】 （1）( ) x f xex a ， ( )1 0 x fxe 在 (0,)x上恒成立，所以( )fx在(0,)上单调递增 (0)10fa ， ( )2(2)0 a f aeaea 所以存在 1 (0, )xa ，使得 1 0fx 故 1 ( )00,f xxx ，( )f x在 1 0,x单调递减， 1 ( )0,f xxx ，( )f x在 1, x 单调递增 又(0)0f，所以 1 0f x，当x时，( )f x ， 故由零点存在定理，( )f x在 1, x 上有唯一零点，在 1 0,x上没有零点， 所以函数( )f x在(0,)上有唯一零点
15、 （）由（1）得：( )f x在 1, x 上单调递增，且 1 ax ， 01 xx 故要证： 0 xa ，只要证 0 ( )f xf a 即证： 2 3 10 2 a ea 在1a 时恒成立 设 2 3 ( )1 2 a g aea，故 ( )3 a g aea，( )3 a g ae 由( )0ln3gaa，所以( )g a在(1,ln3)递减，在(ln3,)递增 5 (1)0 2 ge，(ln3)33ln30 g ，(ln4.6)4.63 ln4.64.63 1.530 g 所以存在 2 (1,ln3)x ， 3 (ln3,ln4.6)x ，使得 23 0g xg x 所以( )g a在 2 1,x递增， 23 ,x x递减， 3, x 递增，所以 min3 ( )min(1),g agg x 因为 5 (1)0 2 ge，故只需证明 3 2 33 3 10 2 x g xex 由 3 33 03 x g xex ，所以 2 333 3 31 2 g xxx ， 3 (ln3,ln4.6)x 由二次函数的单调性，得 22 3 33 (ln4.6)3ln4.6 1(1.53)3 1.53 10 22 g x 综上，得证
