1、 1 石景山区 2016 2017 学年第一学期高三年级期末试卷 数学（文） 第一部分 （选择题 共 40分） 一、选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 已知集合 1,1, 2, 3A? , | 2B x x? ,那么 AB等于 （ ） A 3 B 2,3 C 1,2,3? D 1,1,2,3? 2 复数 (3 4)ii?（ ） A 43i? B 43i? C 34i? D 34i? 3 执行 如图所示的程序框图， 输出的 k 值是（ ） A 3 B 5 C 7 D 9 4 下列 函数中 既是 奇函数又在区间 (0, )? 上 单调递减
2、的是（ ） A xye? B ln( )yx? C 3yx? D 1y x? 5已知关于 的一次函数 y mx n?，设 1,1,2m? ， 2,2n? ，则函数 y mx n?是增函数的概率是（ ） A 23 B 13 C 310 D 12 ?1k ?ab ?2kk ?2ka ?2bk 输 出 k 是 否 开始 结束 2 6一个 四棱锥 的三视图如 右 图所示， 这个四棱锥 的 体积为 （ ） A 6 B 8 C 12 D 24 7已知 抛物线 2 2 ( 0)y px p?的 准线 与圆 22( 3) 16xy? ? ? 相切 ，则 p 的值 为（ ） A 12 B 1 C 2 D 4 8
3、 六名同学 A、 B、 C、 D、 E、 F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即 参加比赛的 每两个人之间仅 赛一 局第一天， A、 B 各参加了 3 局比赛， C、 D 各参加了 4 局比赛， E 参加了 2局比赛，且 A与 C没有比赛过， B与 D也没有比赛过那么 F在第一天参加的比赛局数为（） A 1 B 2 C 3 D 4 第二部分（非选择题共 110分） 二、填空题共 6小题，每小题 5分， 共 30分 9 向量 ( 3,1)a? ， ( 3, 1)b ?， a 与 b 夹角 的大小为 _ 10 函数 2( ) ( 3)1xf x xx? 的 最大值为 _ 11 已知 ABC 中， =
4、3AB ， =1BC ， sin = 3cosCC，则 ABC 的面积为 12若双曲线 2214xym?的渐近线方程为 32yx? ，则双曲线的焦点坐标是 13 设变量 x ， y 满足约束条件 0, 1 0,3 0,yxyxy? ? ? ? ?则 2xzy? 的最大值为 _ 侧视图 正视图 4 2 俯视图 3 3 14 甲 、 乙 、 丙 三厂联营生产同一种产品，产品是哪个厂生产就在产品上盖哪个厂的厂名，如果是两个厂或三个厂联合生产，那么产品上就盖上两个厂或三个厂的厂名今有一批产品，发现盖过 甲 厂、 乙 厂、 丙 厂的厂名的产品分别为 18件、 24 件、 30件，同时盖过 甲 、 乙 厂
5、， 乙 、 丙 厂，丙 、 甲 厂的产品，分别有 12件、 14件、 16 件 产品上盖有 甲 厂厂名没有盖 乙 厂厂名的产品共有件； 这批产品的总数最多有件 三、解答题共 6小题，共 80分解答应 写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题共 13分） 已知等比数列 ?na 的公比为 q ，且 1q? ， 1 2a? , 1 2 33 ,2 ,a a a 成等差数列 （ ） 求数列 ?na 的通项公式； （ ） 设数列 ?nb 是一 个首项为 6? ，公差为 2 的等差数列，求数列 ? ?nnab? 的前 n 项和 16 （本小题共 13分） 已知函数 ( ) 2 s i n ( )
6、s i n 3 c o s 22f x x x x? ? ? ? 4 （ ）求 ()fx的最小正周期； （ ） 求 ()fx在 , 12 6? 上的 最大值 17 （本小题共 13分） 新高考政策已经 在上海和浙江试验实施 为了解学生科目选择 的意向， 从某校 高一学生中随机抽取 30 位 同学，对其 选课情况 进行统计分析，得到频率分布表如下： 科目选择 物理 化学 生物 历史 地理 政治 物理 化 学 地 理 历史 地理 生物 物理 政治 历 史 其他 频率 15 16 215 a b c （ ） 若所抽取的 30 位 同学 中，有 2位 同学选择了 “历史、地理、生物”组合， 3位同学
7、选择了 “物理、政治、历 史 ”组合求 a 、 b 、 c 的值； （ ） 在（）的条件下，将 选择了 “历史、地理、生物”组合的 2位 同学 记为 x1、 x2， 选择了 “物理、政治、历 史 ”组合的 3位 同学 记为 y1、 y2、 y3现从这 5位 同学 中任取 2位（假定每位同学被抽中的可能性相同），写出所有可能 的 结果，并求这两位 同学 科目 选择恰好 相同的 概率 18（本小题共 14分） 5 如图 1，等腰梯形 BCDP 中， BC PD ， BA PD? 于点 A ， 3PD BC? ，且 1AB BC? 沿 AB 把 PAB 折起到 PAB? 的 位置 （如图 2），使
8、90PAD? ? ? （ ） 求证： CD 平面 PAC? ； （ ） 求三棱 锥 A PBC? 的体积； （ ） 线段 PA? 上是否存在点 M ，使得 BM 平面 PCD? 若存在 ， 指出点 M 的位置并证明；若不存在，请说明理由 图 1图 2 19（本小题共 14分） 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的离心率为 32 ， 点 (2,0) 在椭圆 C 上 （）求椭圆 C 的标准方程； （）过点 (1,0)P 的直线（不与坐标轴 垂直 ）与 椭圆交于 AB、 两点，设点 B 关于 x 轴的对称点为B? 直线 AB? 与 x 轴 的交点 Q 是否为 定点 ？请
9、说明理由 20（本小题共 13分） 已知函数 ? ? 321 ( 2 1 ) ( )3f x x a x a x a R? ? ? ? ? （ ） 若 ()fx在点 (0,0) 处 的切线方程为 yx? ，求 a 的 值 ； （ ） 求 ()fx的 单调区间 ； （ ） 当 1a? 时 ，设 ()fx在 1 2 1 2, ( )x x x x? 处 取到极值， 记 11( , ( )M x f x (0, (0)Af ， (1, (1)Bf ， (2, (2)Cf ， 判断直线 AM 、 BM 、 CM 与函数 ()fx的 图象 各 有几个 交点 （ 只需 写出结论） 石景山区 2016 20
10、17学年第一学期期末考试 B C A P D B A C P A B C D 6 高三数学（文） 参考答案 一选择题共 8小题，每小题 5分，共 40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B D A B C D 二填空题共 6小题 ，每小题 5分，共 30分 三解答题共 6小题，共 80分 15 （本小题共 13分） 解： （ ） 因为 1 2 33 ,2 ,a a a 成等差数列， 所以 2 1 343a a a? ? 2分 所以 21 1 143a q a a q? 所以 2 4 3 0qq? ? ? 所以 31qq?或 （ 舍 ） ? 4分 所以 123nna ? ?
11、6分 （ ） 6 ( 1) 2 2 8nb n n? ? ? ? ? ? ? ? 8分 所以 12 8 2 3 nnna b n ? ? ? ? ? ? 9分 所以 1 2 1 2( ) ( )nnnS a a a b b b? ? ? ? ? ? ? ? = ( 6 2 8 ) 2 (1 3 )2 1 3 nnn? ? ? ? ?= 2 7 3 1nnn? ? ? ? 13分 16 （本小题共 13分） 解： （ ）( ) 2 c os si n 3 c os 2f x x x x? ? ? 1分 si n 2 3 cos 2xx? 2分 sin(2 )3x，? 4分 题号 9 10 11
12、12 13 14 答案 3? 3 32( 7,0)? 52 6, 42 7 因此)(xf的最 小正周期为 ? 6分 （ ） 当 , 12 6x?时， 22 3 3x? ? ?，? 8分 当 2 32x?，sin(2 )3x?有 最大值 1 ? 10分 即12x?时，()fx的最大值为 2 ? 13分 17（本小题共 13分） 解： （ ） 由频率分布表得 1 1 2 15 6 1 5 abc? ? ? ? ? ?， ? 2分 因为抽取的 30位 同学 中，有 2位 同学选择了史地生 组合，所以 115a? ， 有 3位同学 选择了 理政 史 组合，所以 110b? ，从而 13c? 所以 23
13、0a? ， 110b? ， 13c? ? 5分 （ ） 从 5 位同学 12,xx， 1 2 3,y y y 中任取 2 位，所有可能的结果为： 12 , xx ， 11 , xy ， 12 , xy ， 13 , xy ， 21 , xy， 22 , xy ， 23 , xy， 12 , yy ， 13 , yy ， 23 , yy ? 8分 设事件 A 表示“从这 5位 同学 中任取 2位，这两位 同学 科目 选择恰好 相 同”， 则 A 包含的基本事件为： 12 , xx ， 12 , yy ， 13 , yy ， 23 , yy共 4 个， 又基本事件的总数为 10，故所求的概率 42
14、() 10 5PA? ? 13 分 18（本小题共 14分） 解： （ ） 因为 90PAD?， 所以 PA? AD 因为 在等腰梯形中， AB AP ， 所以 在四棱锥中， AB AP? 又 AD AB A?， 所以 PA? 面 ABCD 因为 CD ? 面 ABCD ， 所以 PA? CD ?3 分 因为 等腰梯形 BCDE 中， AB BC? ， 3PD BC? ，且 1AB BC? 所以 2AC? ， 2CD? ， 2AD? 所以 2 2 2AC CD AD? 8 所以 AC CD 因为 PA? ? AC =A , 所以 CD 平面 PAC? ?5 分 （ ） 1122ABCS B C
15、 A B? ? ?,?7 分 因为 PA? 面 ABCD 所以- 1136A P B C P A B C A B CV V S P A? ? ? ? ? ? 9分 （ ） 存在一点 M ， M 为 PA? 的中点，使得 BM 面 PCD? ， ?10 分 证明：取 PA? 中点 M ， PD? 中点 N ，连结 BM ， MN ， NC ， 因为 M ， N 为中点， 所以 MN 12AD， MN =12AD， 因为 BC 12AD， BC =12AD， 所以 MN BC ， MN =BC 所以四边形 BCNM 为平行四边形 ?12 分 所以 BM CN 因为 BM ? 面 PCD? ， CN
16、 ? 面 PCD? 所以 BM 平面 PCD? ? 14分 19（本小题共 14分） 解： （）因为 点 (2,0) 在椭圆 C 上， 所以 2a? 又因为 32ce a? ，所以 3c? 所以 221b a c? ? ? 所以椭圆 C 的标准方程为： 2 2 14x y? ?5 分 （） 设 1 1 2 2 2 2( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , 0 )A x y B x y B x y Q n? ? 设直线 AB ： ( 1)( 0)y k x k? ? ? ?6 分 联立 22( 1 ) 4 4 0y k x x y? ? ? ? ?和 ，得： 2 2 2 2(1
17、4 ) 8 4 4 0k x k x k? ? ? ? ? P B A C P A B C D M N 9 所以 212 2814kxx k?， 212 24414kxx k? ? ?8 分 直线 AB? 的方程 为121112 ()yyy y x xxx? ? ? ， ?9 分 令 0y? ， 解得 1 1 2 1 2 2 111 2 1 2()y x x x y x ynxy y y y? ? ? ?11 分 又 1 1 2 2( 1) , ( 1)y k x y k x? ? ? ?， 所以 1 2 1 212() 42x x x xn xx? ?13 分 所以直线 BA? 与 x 轴 的交点 Q 是 定点 ， 坐标为 (4,0)Q ?14 分 20 （本小
