1、 - 1 - 厦门市 2018 届高三年级第一学期期末质检 文科数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合? ?0,1,2,3A?，? ?13B x x? ? ? ?，则AB?I（ ） A? ?12B? ?0,1,2C? ?01,2,3D?2已知命题: ,2 1xpx? ? ?R，命题0 0 0: , si n c osq x x x? ? ?R，则下列命题中的真命题为（ ） Aq?Bpq?Cpq?D?3已知2log 0.3a?，0.32b，2c，则（ ） Aabc?Bb a
2、CbacDb c a?4已知3sin 4?，42?，则sin cos?的值是（ ） A2B12?C4D4?5若,xy满足约束条件1 0,2 2 0,1,xyxyy? ? ? ? ?则2z x y?的最大值是（ ） A 1 B 3 C 5 D 7 6设,ab表示直线，,?表示平面，则下列命题正确的是（ ） A若, ，则B若,a ? ? ?，则?C若?，则?D若, ?，则?7已知数列?na满足? ? 11 12nnnaa? ? ? ?，则其前 100 项和 为（ ） A 250 B 200 C 150 D 100 8函数? ?si n 1 cos 2y x x在区间? ?2,2?上的图象大致为（
3、） - 2 - A B C D 9已知双曲线? ?22 1 0 , 0xy abab? ? ? ?的左焦点为? ?,0Fc?，O为坐标原点，,PQ为双曲线的渐近线上两点，若四边形PFQO是面积为2c的菱形 ，则该渐近线方程为（ ） A2yx?B12?C4?D14?10习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛 .如图，“大衍数列”： 0,2,4,8,12来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生 过程中曾经经历过的两仪数量总和 .下图是求大衍数列前n项和的程序框图 .执行该程序框图，输入8m?，则输出的S（ ） A 44 B 68
4、C 100 D 140 - 3 - 11在ABC?中，2AB?，1AC，120BAC? ? ?，BD BC?uuur uuur.若14AD BC?uuur uuur，则实数?的值为（ ） A -2 B14C2D3412函数? ?2 cos 0y x x ? ? ?和函数3tanyx的图象相交于,AB两点，O为坐标原点，则O?的面积为（ ） A32?B3?C22?D23?第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13若复数 z满足2z i i? ? ?，则z? 14如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积
5、为 15已知函数? ? 2 2 1 , 2 0 , 0 ,xx x xfx ex? ? ? ? ? ? ? ? ?若函数? ? ? ?g x f x ax a? ? ?存在零点，则实数a的取值范 围为 16已知椭圆? ?22 10xy abab? ? ? ?的左、右焦点分别为12,FF，点P在椭圆上，且2PF垂直x轴，若直线1PF的斜率为33，则该椭圆的离心率为 三、解 答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17在ABC?中，D是边BC上的点，7AB AD?，1cos BAD?. （ 1）求sinB； （ 2）若4AC?，求ADC的面积 . - 4
6、- 18已知等差数列?na的公差0d?，其前 项和为nS，且5 20?，3 5 8,a a a成等比数列 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）令11nnnbnaa?，求数列?nb的前n项和T. 19如图，四棱锥P ABCD?中，侧面PAB?底面ABCD，PA PB?，24CD AB?，CD AB，90BP A BA D? ? ? ? ?. （ 1）求证：PB?平面PAD； （ 2）若三棱锥PBD的体积为 2，求PAD?的面积 . 20在直角坐标系xOy中，? ?1,0F，动点P满足：以PF为直径的圆与y轴相切 . （ 1）求点P的轨迹方程； （ 2）设点 的轨迹为曲线?，直线l过点? ?
7、4,0M且与?交于,AB两点，当ABF?与AOF的面积之和取得最小值时，求直线l的方程 . 21已知函数? ? ? ?22ln 12af x a x x a x? ? ? ?. （ 1）讨论函数?fx的单调性； （ 2）当1a?时，记函数 的极小值为?ga，若? ? ? ?321 2 2 54g a b a a a? ? ? ?恒成立，求满足条件的最小整数b. 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2 cos ,sin ,xy ? ?（?为参数） .以坐标原点为极点，x轴的正半轴为
8、极轴建立极坐标系，,AB为 上两点，且OA OB?，设射线:OA?，其- 5 - 中0 2?. （ 1）求曲线C的极坐标方程； （ 2）求OA OB?的最小值 . 23选修 4-5：不等式选讲 函数? ? 12f x x x a? ? ? ?. （ 1）当1a?时，求证：? ? 13f x x? ? ?； （ 2）若?fx的最小值为 2，求实数a的值 . 厦门市 2018 届高三年级第一学期期末质检文科数学参考答案 - 6 - 一、选择题 1-5:BCDAD 6-10:CDBAC 11、 12： DA 二、填空题 13514831513a?或2ae?1633三、解答题 17解：（ 1）在ABD
9、?中，222 2 c osBD AB AD AB AD BA D? ? ? ? ? ? ?17 7 2 7 7 127? ? ? ? ? ?， 得23BD?由1cos 7BAD?，得43sin 7BAD在ABD?中，由正弦定理得sin sinAD BDB BA D? ?， 所以7 4 3 2 7si n 7723B ? ? ?（ 2）因为27sin 7B?，B是锐角，所以21cos 7B?设BCx?，在ABC?中，2 2 22 c osAB BC AB BC B AC? ? ? ? ?即2 217 2 7 167xx? ? ? ? ? ?化简得：2 2 3 9 0xx? ? ?解得33x?或3
10、?（舍去） 则3 3 2 3 3C D BC BD? ? ? ? ?由ADC?和B互补，得27si n si n si n 7AD C AD B B? ? ? ? ?所以?的面积1 1 2 7si n 7 3 32 2 7S AD D C AD C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?- 7 - 18解：（ 1）因为? ?155 5 202aaS ?，即158aa?3 4a?即1 24ad， 因为3 5 8,a a为等比数列，即25 3 8a a?所以? ? ? ? ?21 1 14 2 7a d a d a d? ? ? ?，化简得：1 2 联立和得：1 2a?，d所以nan?（ 2）因为?
11、 ? ? ?11112n nnbna a n n? ? ? ? ?1112nn? ? ?所以1 1 1 1 1 11 2 32 3 3 4 4 5nT ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1112 nnn? ? ?L1 1 1 1 1 1 1 12 3 3 4 4 5 1 2nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L? ?1 2 3 n? ? ? ? ?L? ?1112 2 2nnn? ? ? ? ?12
12、 2 2nnnn ?19解：（ 1）平面PAB?平面ABCD，平面PABI平面ABCD AB?， AD?平面ABCD，且AD AB， ?平面 . 又PB平面 ，PB AD. 又PA?， PA A?I，,PD?平面PAD， ?平面 . （ 2）取AB中点E，连接PE. PA PB?，AB?. 又PE?平面PAB，平面 平面ABCD， - 8 - 平面PABI平面ABCD AB?， PE?平面ABCD. 为三棱锥P BC?的高，且1 12PE AB?. 又CD AB，AD CD?，1 22B C DS C D AD AD? ? ? ?. 12 233C P B D P B C D B C DV V
13、 S PE AD? ? ? ? ? ? ? ?，得3AD?. cos 45 2PA AB? ? ? ?. 又AD?平面PAB且?平面PAB，PA AD?. 3 222PADS PA AD? ? ? ?. 20解：（ 1）设点? ?,Pxy，圆心? ?00,N x y， 圆与y轴相切于点C，则2PF NC?， 所以?2 2 012x y x? ? ?， 又点N为PF的中点，所以0 12xx ?， 所以? ?2 211y x? ?，整理得：2 4yx?. 所以点P的轨迹方程为：2. （ 2）（ ）当直线l的斜率不存在时，方程为：4x?， - 9 - 易得14ABF AOFSS?. （ ）当直线l的
14、斜率存在时，设方程为：? ?4y k x?，? ?11,Ax y，? ?22,B x y， 由?2 4 4yx? ?消去x并整理得：2 4 16 0ky y k? ? ?， 所以124yyk?，16yy?， 所以11 42A B F A O F A O M B F MS S S S y? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 23 2 12 8 322y y y? ? ? ? ? ?， 当且仅当43?时等号成立，又1216?， 所以1 23y ?，2 833y ?或1 23y ?，2 833y ?， 所以4 2 33k? ? ? ?，解得：k?， 因为8 3 14?，所以当两个三角形的面积和最
15、小时， 直线l的方程为：? ?2 3 4yx? ? ?. 21解：（ 1）?fx的定义域为? ?0,?， ? ? ? ?2 1af x ax ax? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1ax a x a ax x axx? ? ? ?若0a?，当? ?0,x? ?时，? ? 0? ?， 故?在? ?0,?单调递减， 若?，由? 0? ?，得1 1a?，2xa?（ ）若01a?，当1,a?时，? ? 0? ?， 当? ? 1, ,a? ?U时，? ?fx? ?， 故?在1,aa?单调递减，在?0,，,?单调递增 - 10 - （ ）若1a?，? ? 0fx? ?，?在? ?0,?单调递增
16、， （ ）若?，当1,xaa?时，? 0? ?， 当? ?10, ,a? ?U时，? ? ?， 故?在1,aa?单调递减，在1a，? ?,a?单调递增 （ 2）由（ 1）得：若1a?，?fx在1,a单 调递减， 在0,a，? ?,?单调递增 所以xa?时，?的极小值为? ? ? ? 2ln 2ag a f a a a a? ? ? ?由? ? ? ?21 2 2 54g a b a a a? ? ? ?恒成立， 即2ln 24aab a a? ? ?恒成立 设? ? ? ?2ln 124xxh x x x x? ? ? ?，? ? 5ln 4h x? ? ? ?令? ? ? 5ln 4h x x x? ? ? ? ?， 当? ?1,x? ?时，? ? 1 10x x? ? ? ?所以?hx?在? ?1,?单调递减， 且? ? 1104h? ?，? ? ? ?3312 ln 2 ln 16 ln 044he? ? ? ? ? ?所以? ?0 1,2x?，? ?0 0 0 5ln 04h x x x? ? ? ? ?， 且? ?01,xx?，? ?0 0? ?，? ?0,2?，?0 0hx? ?所以? ? ? 2000 0 0m a x ln 24xxx h x x x? ? ? ?，
