1、 - 1 - 2018 届高三 上学期 数学 期末模拟 试题 04 一、填空题（每题 4 分，共 56 分） 1、设复数 (2 ) 11 7z i i? ? ? （ i 为虚数单位 ） ，则 z? . 2、 已知 (0, )? 且 tan( ) 34? ? ?，则 ? . 3、过点 (1, 1)P ? ，且与直线 : 1 0l x y? ? ? 垂直的直线方程是 . 4、若集合 13 1 , 1 1 , 2 , 0 1 A y y x x B y y xx? ? ? ? ? ? ? ，则 AB等于 . 5、已知 1()y f x? 是函数 2( ) 2f x x?( 0)x 的反函数，则 1(
2、3)f? ? . 6、 251()xx?展开式中 4x 的系数是 .（用数字作答） 7、执行框图，会打印出一列数， 这个数列的第 3 项是 . 8、若圆锥的侧面展开图是半径为 1cm、圆心角为 180? 的 半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于 . 9、数列 ?na 的通项公式是1 ( 1,2)11 ( 2)3nnnnan? ? ? ? ?， 前 n 项和为 nS ，则 limnn S? ?. 10、 已知：条件 A：22 031xx ?，条件 B： xa? ， 如果条件 A 是条件 B 的充分 不必要条件， 则实数 a 的取值范围是 . 11、在 ABC? 中，角 A、 B、 C 所对边 的 长
3、分别为 a、 b、 c，若 2 2 22a b c? ，则 cosC 的最小值等 于 . 12、 在平面直角坐标系中， (0,0), (6,8)OP，将向量 OP 按逆时针 旋转 34?后得向量 OQ ， 则点 Q的坐标是 . 13、数列 na 满足 1 ( 1) 2 1nnna a n? ? ? ? ?，则 na 的前 60 项和 等于 . 打印 A N 1N? A 3, N 1 N 10 结束 开 始 A ( 1)AA? 是 否 第 7 题图 - 2 - 14、 已知 ( ) ( 2 )( 3)f x m x m x m? ? ? ?, ( ) 2 2xgx?， 若同时满足条件： 对于任意
4、 xR? ， ( ) 0fx?或 ( ) 0gx? 成立； 存在 ( , 4)x? ， 使得 ( ) ( ) 0f x g x?成立 则 m 的取值范围是 . 二、选择题（每题 5 分，共 20 分） 15、设函数 ( ) sin ,f x x? xR? ，则下列结论错误的 是（ ） A ()fx的值域为 0,1 B ()fx是偶函数 C ()fx不是周期函数 D ()fx不是单调函数 16、下面是关于复数 21z i?的四个命题： 2z? ； 2 2zi? ； z 的共轭复数为 1i? ； z 的虚部为 1? 其中正确的命题 （ ） A B C D 17、等轴双曲线 C ： 2 2 2x y
5、 a?与抛物线 2 16yx? 的准线交于 ,AB两点， 43AB? ， 则 双曲线 C 的实轴长 等于（ ） A 2 B 22 C 4 D 8 18、某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1节， 则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 （ ） A 35B 815C 25D 15三、解答题（本大题共 74 分，解答下列各题需要必要的步骤） 19、（本题 12 分，第 (1)小题 6 分，第 (2)小题 6 分） 已知函数 2( ) = s in ( 2 + ) + s in ( 2 ) + 2 c o s 133f x x x x
6、? ?, xR? . （ 1）求函数 ()fx的最小正周期； （ 2）当 , 44x ?时，求函数 ()fx的值域以及函数 ()fx的单调区间 - 3 - 20、（本题 14 分，第 (1)小题 6 分，第 (2)小题 8 分） 如图，在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D? 中 , 1 1AA AD?, E 为 CD 中点 （ 1）求证： 11BE AD? ； （ 2）若 2AB? ，求二面角 11A BE A?的大小 21、（本题 14 分，第 (1)小题 6 分，第 (2)小题 8 分） 已知数列 ?na ，记 1 2 3() nA n a a a a? ? ? ? ?, 2 3
7、4 1() nB n a a a a ? ? ? ? ?, 3 4 5 2() nC n a a a a ? ? ? ? ?, ( 1,2,3,.)n? ，并且对于任意 nN? ，恒有 0na? 成立 （ 1）若 121, 5aa?，且对任意 nN? ，三个数 ( ), ( ), ( )A n B n C n 组成等差数列，求数列 ?na 的 通项公式； （ 2）证明：数列 ?na 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意 nN? ，三个数 ( ), ( ), ( )A n B n C n 组成公比为 q 的等比数列 22、（本题 16 分，第 (1)小题 4 分；第 (2)小题 6
8、分；第 (3)小题 6 分） 设函数 ( ) ( , , )nnf x x b x c n N b c R? ? ? ? ?. （ 1）当 2, 1, 1n b c? ? ?时，求函数 ()nfx在区间 1(,1)2内的零点； （ 2）设 2, 1, 1n b c? ? ，证明： ()nfx在区间 1(,1)2内存在唯一的零点； A B C E D A1 D1 B1 C1 - 4 - （ 3）设 2n? ，若对任意 ? ?12, 1,1xx? ，有 2 1 2 2( ) ( ) 4f x f x? ，求 b 的取值范围 23、（本题 18 分，第 (1)小题 6 分；第 (2)小题 12 分）
9、 如图，椭圆 22: 1 ( 0)xyE a bab? ? ? ? 的左焦点为 1F ，右焦点为 2F ，过 1F 的直线交椭圆于 ,AB两点， 2ABF? 的周长为 8，且 12AFF? 面积最大时， 12AFF? 为正三角形 （ 1）求椭圆 E 的方程 ； （ 2）设动直线 :l y kx m?与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ，且与直线 4x? 相 交 于点 Q 试探究： 以 PQ 为直径的圆与 x 轴的位置关系？ 在坐标平面内是否存在定点 M ，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ？ 若存在，求出 M 的坐标；若不存在，说明理由 y x A B O F1 F2 - 5 - 参考答案
10、一、填空题 1、 3+5i 2、 512? 3、 +=0xy 4、 ? ?-1,1 5、 1? 6、 10 7、 30 8、 34 9、 89 10、 -2a? 11、 12 12、 ? ?-7 2,- 2 13、 1830 14、 (-4,-2) 二、选择题 15、 C 16、 C 17、 C 18、 A 三、解答题 19、 1 (x)=sin2x+cos2xf（ ） = 2 sin (2x+ )4? =T? （ 2）因为 32x+4 4 4? ?，所以 2sin (2x+ ) ,142? ?,所以 (x) 1, 2f ? 函数的增区间为48?，减区间为84?，20、 （ 1）方法一、以 A
11、 为坐标原点，以 AB、 AD、 AA1分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方向建立空间直角坐标系 ,设 AB a? ， 则1 ,1, 12aBE ? ? ?， 1 (0,1,1)AD ? . 所以 , 1 1 1 10,B E A D B E A D? ? ?。 另解： 11AADD 为正方形 ， 所以 11AD AD? ， 111 1 11A D A D A D B C DC D A D? ? ? 面 A。 1 1 1 1 1B E A B C D A D B E? ? ?又 面 。 （ 2）因为 ? ? ? ?1 2 ,0 ,1 1 ,1 ,0 ,A B A E?， 所以取面 AB1E 的
12、一个法向量为 ? ?1= 1,-1,-2n ，同理可取面 A1B1E 一个法向量为 ? ?2= 0,1,1n ， 设二面角 A-B1E-A1为 ? ，则 12123cos = 2nnnn? ? ? ， =6?所 以 即二面角 A-B1E-A1的大小为 6? . 21、解：（ 1） 2B(n)=A(n)+C(n) *+ 2 1 2 1- = - = 4 ,n Nnna a a a?， 所以 na 为 等 差 数列。 - 6 - *=4 -3,n Nnan? （ 2）（必要性）若数列 na 是公比为 q 的等比数列，则 2 3 + 112+ + +(n ) =(n ) + + nna a aB q
13、A a a a，3 4 + 22 3 + 1+ + +(n) =(n ) + + nna a aC qB a a a，所以 A(n)、 B(n)、 C(n)组成公比为 q 的等比数列。 （充分性） ：若对于任意 Nn ? ，三个数 ( ), ( ), ( )A n B n C n组成公比为 q 的等比数列， 则 ( ) ( ), ( ) ( )B n qA n C n qB n?， 于是 ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ,C n B n q B n A n? ? ?得 2 2 1 1( ),nna a q a a? ? ?即 2 1 2 1.nna qa a a? ? ? 由 1n? 有
14、 (1) (1),B qA? 即 21a qa? ，从而 210nna qa?. 因为 0na? ，所以 2 211nna a qaa? ?，故数列 ?na 是首项为 1a ，公比为 q 的等比数列。 综上，数列 na 是公比为 q 的等比数列的充要条件是对任意的 *nN? ，都有 A(n)、 B(n)、C(n)组成公比为 q 的 等比数列。 22、解：（ 1） 22(x)=x + -1fx，令 2(x)=0f ，得 -1 5= 2x ? ， 所以2 1 - 1 + 5( x ) ( ,1 )22f 在 区 间 内 的 零 点 是 x=。 （ 2）证明：因为 n 1( )0f 。 所以n 1(
15、)2f ? n(1)0f。 所以 n(x)f 在 1( 1)2， 内存在零点。 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21x ( , 1 ) , x ( x ) - f ( x ) = ( x - ) + ( x - x ) 02 nnnnx x f x?任 取 、 且 ， 则，所以 n(x)f 在1( 1)2， 内单调递增，所以 n(x)f 在 1( 1)2， 内存在唯一零点。 （ 3） 当 n 2 时， f2(x) x2 bx c. 对任意 x1， x2 1,1都有 |f2(x1) f2(x2)|4 等价于 f2(x)在 1,1上的最大值与最小值之差 M4. 据此分类讨论如下： 当 | |
16、12b? ，即 |b| 2 时， M |f2(1) f2( 1)| 2|b| 4，与题设矛盾。 当 1 2b? 0，即 0 b2 时， M f2(1) f2( 2b? ) (2b 1)24 恒成立 当 0 2b? 1 ，即 2 b0 时， M f2( 1) f2( 2b? ) (2b 1)24 恒成立 - 7 - 综上可知， 2 b2. 注： ， 也可合并证明如下： 用 maxa， b表示 a， b 中的较大者 当 1 2b? 1 ，即 2 b2 时， M maxf2(1)， f2( 1) f2( 2b? ) 2 2 2 22( 1 ) (1 ) | ( 1 ) (1 ) | ()2 2 2f
17、 f f f bf? ? ? ? ? ? 1 c |b| ( 24b? c) (1 |2b )24 恒成立 23、解：（ 1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以 , , = , =A（ 0b） a 2c 4a 8 22=4, =3b?a ，椭圆 E 的方程为 22+ =143xy （ 2） 由 22143y kx mxy? ?， 得方程 2 2 2( 4 3 ) 8 4 1 2 0k x k m x m? ? ? ? ? 由直线与椭圆相切得 220 , 0 , 4 3 0 .m k m? ? ? ? ? ? ? 求得 43( , )kP mm? ， (4,4 )Q k m? ， PQ 中点到 x 轴 距离 223(2 )22mdk m? ? ? 2 2 2 2 212( ) ( 1 ) 0 ( 4 3 0 2 )2 kP Q d k m m km? ? ? ? ? ? ? ? ?。 所以圆与 x 轴 相交。 （ 2） 假设平面内存在定点 M 满足条件， 由 对称 性知点 M 在 x 轴上，设点 M 坐标 为1( ,0)Mx ， 1143( , ) , ( 4 , 4 )kM P x M Q x k mmm? ? ? ? ? ? 。 由 0
