1、 - 1 - 辽宁省五校 2018 届高三数学上学期期末考试试题 文 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知全集 ? ?1,2,3,4U? ， 集合 ? ? ? ?1,2 , 2UA C B?，则集合 AB?（ ） A ?1 B ?2 C ?1,2 D ? ?1,3,4 2.若复数 21z i? ?， 其中 i 为虚数单位 ， z 是 z 的 共轭复数，则 1z?（ ） A 2i? B 2i? C i D i? 3.双曲线 2 2 13y x?的渐近线方程为 （ ） A
2、 3yx? B 33yx?C 2yx? D 233yx?4.设平面向量 ? ? ? ?1,0 , 0,2ab? ? ? ， 则 ab?（ ） A ? ?0,0 B 0 C 0 D 2? 5.若 4cos5?，且 ? 为第二象限角，则 tan? （ ） A 43?B 34?C 43D 346.执行 如图 的框图，则输出的 s 是 （ ） A 9 B 10 C 132 D 1320 7.等差数列 ?na 中 ， 1 5 410, 7a a a? ? ?， 则 数列 ?na 的公差为 （ ） - 2 - A 1 B 2 C 3 D 4 8.若变量 ,xy满足约束条件 0202 2 0xyxyxy?
3、? ?， 则 z x y? 的最小值等于 （ ） A 0 B 1? C 72?D 43?9.为了得到函数 2y sin x? 的图象，可以将 函数 sin 26yx?（ ） A.向左平移6?个单位长度 B.向右平移6?个单位长度 C.向左平移12?个 单位长度 D.向右平移12?个单位长度 10. 一 个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 （ ） A 5? B 6? C 27? D 7? 11.某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组 .某次数学考试成绩公布情况如下 :甲和三人中的第 3 小组那位不一样，丙比三人中第 1 小组的那位的成绩低，三人中第 3 小组的那位比
4、乙分数高。若甲、乙 、 丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是 （ ） A.甲、乙、丙 B.甲、丙、乙 C.乙、甲、丙 D.丙、甲、乙 12.“两条直线没有公共点，是两条直线异面”的必要不充分条件 ； 若过点 ? ?2,1P 作圆 22: 2 2 1 0C x y a x a y a? ? ? ? ? ?的切线有两条，则 ? ?3,a? ? ； 若 1sin c o s , , 052x x x ? ? ? ?， 则 7sin cos5xx? ?； 若函数 ? ? 3211 232f x x x ax? ? ? ?在 2,3?上存在单调递增区间，则 1,9a ? ? ?； 以上结论正确的个数为
5、 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） - 3 - 13.设 ? ? ,0ln , 0xexfxxx? ? ? ?， 则 1ffe? 14.已知圆 226 7 0x y y? ? ? ?与 抛物线 ? ?2 20x py p?的准线相切 ， 则 p? 15.设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 且 111, 3 ,nna a S n N? ? ?， 则 na? 16.已知 ? ? ?y f x xR? 的 导函数为 ?fx? ，若 ? ? ? ? 32f x f x x? ? ? ， 且当 0x?
6、时 ? ? 2f x x? ? ，则不等式 ? ? 21 3 3 1()f x f x x x? ? ? ? ?的解集是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 在 ABC? 中， ,abc分别是角 ,ABC 所对的边，且满足 23 sin co s sin3 2 2 2A A Bba?. （ 1） 求角 B 的大小 ； （ 2） 设 sin siny C A?， 求 y 的取值范围 . 18.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D? 中， EF、 分别为 1,DDBD 的中点 . （ 1） 求证： /E
7、F 平面 11ABCD ； （ 2） 求证： 1EF BC? ； （ 3） 求三棱锥 1E FBC? 的体积 . 19.随机抽取 100 名学生，测得他们的身高（单位 ： cm )，按照区间? ? ? ? ? ? ? ?1 6 0 ,1 6 5 , 1 6 5 ,1 7 0 , 1 7 0 ,1 7 5 , 1 7 5 ,1 8 0， ? ?180,185 分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图 ） . - 4 - （ 1） 求频率分布直方图中 x 的值及身高在 170cm 以上的学生人数； （ 2） 将身高在 ? ? ? ? ? ?1 7 0 ,1 7 5 , 1 7 5 ,1 8 0 ,
8、 1 8 0 ,1 8 5区间内的学生依次记为 ,ABC 三个组，用分层抽样的方法从这三个组中抽取 6 人，求从这三个组分别抽取的学生人数； （ 3） 在 （ 2） 的条件下，要从 6 名学生中抽取 2 人 .用列举法计算 B 组中至少有 1 人被抽中的概率 . 20.在 直角 坐标系 xOy 中，设 椭圆 ? ?22: 1 0yxC a bab? ? ? ?的上 下两个焦点分别为 21,FF， 过上焦点 2F 且与 y 轴垂直的直线 l 与椭圆 C 相交，其中一个交点为 ? ?1, 2? . （ 1） 求 椭圆 C 的方程 ； （ 2） 设 椭圆 C 的 一 个顶点为 ? ?,0Bb ，直线
9、 2BF 交 椭圆 C 于另 一 个点 N ，求 1FBN? 的面积 . 21.已知函数 ? ? ? ? ?11ln x a x af x xx? ? ?. （ 1） 当 1a? 时，求曲线 ? ?y f x? 在 ? ? ?,ef e 处的切线方程； （ 2） 当 0x? 且 1x? ，不等式 ? ?11ln1 axxxx?恒成 立，求 实数 a 的值 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 已知平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的 参数方程为 3 cos3 sinxtyt? ? ?（ t 为参数 ， 0 ? 且2?）， 以原点 O 为极点，
10、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 23? .已知直线 l 与曲线 C 交于 AB、 两点，且 23AB? . （ 1） 求 a 的大小 ； - 5 - （ 2） 过 AB、 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 ,MN两点，求 MN . 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ? ? ? ?3f x x a a R? ? ?. （ 1） 当 1a? 时，解不等式 ? ? 51f x x? ? ? ； （ 2） 若存在 0xR? ，使 ? ?0051f x x? ? ?成立，求 a 的取值范围 . - 6 - 试卷答案 一、选择题 1-5: ABACB 6-10: CBDC
11、D 11、 12： BC 二、填空题 13. 1e14. 2 15.21, 13 4 , 2 ,nnna n n N? ? ? ? ? ?16. 1,2?三、解答题 17. （ 1）由正弦定理知， 23 s in s in c o s s in s in3 2 2 2A A BBA?23 sin sin sin sin62BB A A? 即 23 s in s in c o s s in s in3 2 2 2B B BAA? 在 ABC? 中 sin 0 , sin 0 , c o s 022BBA ? ? ? 3 cos sin3 2 2BB?即 3tan23B?又 ? ?0,B ? 0,
12、22B ?23B ?即 3B?. （ 2） 依题知 ? ?s in s in s in s iny C A C B C? ? ? ? ? 31s i n s i n s i n c o s s i n3 2 2y C C C C C? ? ? ? ? ? ? ?13s in c o s s in2 2 3C C ? ? ? ? sin3yC?. 由 （ 1） 知 20,3C ? 2 ,3 3 3C ? ? ? ? ? 33sin ,3 2 2C ? ? ? ? ?即 33,22y ?18.解 （ 1） EF、 分别为 1,DDBD 的中点 1/EF BD 又 EF? 平面 11ABCD , 1
13、BD? 平面 11ABCD /EF 平 面 11ABCD （ 2） 1 1 1 1 1 1 1 1 1,B C B C B C D C B C D C C? ? ? ? 1BC? 平面 11BDC 1BD? 平面 11BDC 11BD BC? 又 1/EF BD 1EF BC? - 7 - （ 3） 1/EF BD ， EF? 平面 1EFC , 1BD? 平面 1EFC 1/BD 平面 1EFC 即点 1BD、 到平面 1EFC 的距离相等 1 1 1 1 1 1E F B C B E F C D E F C F E D CV V V V? ? ? ? ? ?取 CD 中点 M ,连 FM
14、,则 /FM BC . 在正方体 1AC 中 BC? 平面 1DC , 2BC? . FM? 平面 1DC 设点 F 到平面 11EDC 的距离为 h ，则 1 12h BC?1 1 1 11 1 1 12 1 13 3 2 3F E D C E D CV S h? ? ? ? ? ? ?即三棱锥 1E FBC? 的体积为 13 . 19. （ 1） 由频率分布直方图可知 ? ?5 1 5 0 .0 7 0 .0 4 0 .0 2 0 .0 1x ? ? ? ? ? ? 所以 ? ?1 1 5 0.14 0.065x ? ? ? ?身高在 170cm 以上的学生人数 为 ? ?1 0 0 0
15、.0 6 5 0 .0 4 5 0 .0 2 5 6 0? ? ? ? ? ? ?（人） （ 2） ,ABC 三组的人数分别为 30 人， 20 人， 10 人 . 因此应该从 ,ABC 组中每组各抽取 630 360?（人）， 620 260?（人）， 610 160?（人）， （ 3） 在 （ 2） 的条件下 ，设 A 组的 3 位同学为 1 2 3,AA A ， B 组的 2 位同学为 12,BB， C 组的 1位同学为 1C ， 则从 6 名学生中抽取 2 人有 15 种可能： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 3 1 1 1 2 1 1, , , , , , , ,
16、,A A A A A B A B A C,? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 2 1 2 2 2 1 3 1, , , , , , , , ,A A A B A B A C A B ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 2 3 1 1 2 1 1 2 1, , , , , , , , ,A B A C B B B C B C, 其中 B 组的 2 位学生至少有 1 人被抽中有 9 种可能 ： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2 1 1 2 1, , , , , , , , , , , ,
17、, , , , ,A B A B A B A B A B A B B B B C B C. 所以 B 组中至少有 1 人被抽中的概率为 9315 5P?. 20. （ 1） 22142yx?（ 2） 直线 2BF 的方程为 20xy? ? ? - 8 - 由22224yxyx? ? ? ?得点 N 的横坐标为 23Nx ?又 12 22FF? 1 121 1 2 82 2 22 2 3 3F B N B NS F F x x? ? ? ? ? ? ? ? 综上， 1FBN? 的面积为 83. 21.（ 1） 1a? 时 ， ? ? ln 1f x x x? ? ?， ? ? 2f e e? 切
18、点为 ? ?,2ee? ? ? 1 1fxx? ?， ? ? 1 1fee? ? 切线方程为 1 1eyxe? 即 曲线 ? ?y f x? 在 ? ? ?,ef e 处的切线方程 ? ?10e x ey e? ? ? ? （ 2） 当 x?0 且 1x? 时，不等式 ? ?11ln1 axxxx?恒成立 xe? 时 ? ?11ln1 aeeee? ?21 01a e?又 ? ? ?111 ln 01 x a x axxx? ? ? ?即 ? ?1 01 fxx ?对 0x? 且 1x? 恒成立 等价于 1x? 时 ? ? 0fx? ， 01x?时 ? ? 0f x ? 恒成立 ? ? ? ?0,1 1,x? ? ? ? ? ? ? ? ?2 22 111 x a x aa x x afx xx? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 ? ? 0fx? ? 0a? 1x? 或 1 1xa? 1 11a?时，即 102a?时， 11, 1xa?时 ， ? ? 0fx? ? ?fx在 11, 1a?单调递增 ? ? ? ?10f x f?， 102a?不符合题意 当 1 11a?时，即 12a?时 ， ? ?0,1x? 时 ? ? 0fx? ? ?fx在 ? ?0,1
