1、12 131 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 132 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 133 绕定轴转动刚体的动约束力绕定轴转动刚体的动约束力 静平衡和动平衡的概念静平衡和动平衡的概念第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理3 法国科学家达朗贝尔（法国科学家达朗贝尔（J.le Rond dAlembert)将适用将适用于于自由质点自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受的牛顿定律（第二定律）推广至受约束约束质点，质点，并于并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原理年提出了受约束质点动力学问题的一个原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理。达朗贝尔原理达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了为非
2、自由质点系动力学的发展奠定了基础。该原理提出一百多年后，后人引入了基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力惯性力的概的概念，并应用念，并应用达朗贝尔达朗贝尔原理中包含的用原理中包含的用静力学静力学中研究中研究平衡平衡的方法研究的方法研究动力学动力学中中不平衡不平衡问题的思想，将这一原理发问题的思想，将这一原理发展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法，展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法，称为称为动静法。动静法。由于由于动静法动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技简单有效，易于掌握，因此在工程技术中得到了广泛应用。术中得到了广泛应用。4 一、质点的达朗贝尔原理一、质点的
3、达朗贝尔原理NFFma 非自由质点非自由质点M，质量，质量m，受主动力，受主动力 ，约束反力约束反力 作用，加速度为作用，加速度为FNFa根据根据牛顿第二定律牛顿第二定律：将上式移项将上式移项0NFFma定义：定义：GFma 称为称为惯性惯性力力GF得：得：0GNFFF质点的惯性力的质点的惯性力的大小大小等于质点的质量与其加速度的乘等于质点的质量与其加速度的乘积，积，方向方向与加速度的分向相反。与加速度的分向相反。5 0GNFFF质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理：在质点运动的任一瞬时，作用：在质点运动的任一瞬时，作用在质点上的在质点上的主动力主动力、约束力约束力和和虚加虚加的的惯性力惯性力
4、在形式上在形式上组成平衡力系。组成平衡力系。000GxNxxGyNyyGzNzzFFFFFFFFF投影形式：投影形式：注意：注意：1、惯性力是、惯性力是虚加虚加的，质点并未受到惯性力作用。的，质点并未受到惯性力作用。2、平衡力系只是、平衡力系只是形式上形式上的平衡。的平衡。6解：解：以小球为研究对象以小球为研究对象受力分析，受力分析，Tmgsin2lm根据达朗伯根据达朗伯原理这三个原理这三个力在形式上力在形式上组成平衡力系组成平衡力系.有一圆锥摆有一圆锥摆,如图所示，如图所示，例例1重重9.8N 的小球的小球系于系于 =30cm的绳上，的绳上，绳的另一端绳的另一端系于固定点系于固定点O并与铅直
5、线成并与铅直线成=60，如小球在水平面内作匀如小球在水平面内作匀速圆周速圆周运动运动,求小球速度与绳的张力求小球速度与绳的张力。l7Tmgsin2lm解出：解出：NmgT6.19cossmmTl1.2sin2取上式在自然轴上的投影，有：取上式在自然轴上的投影，有：0sinsin,02lgPTFn0cos,0PTFb8 二、质点系的达朗贝尔原理二、质点系的达朗贝尔原理 设有一质点系由设有一质点系由n个质点组成个质点组成,对每一个质点，有：对每一个质点，有：第第i个质点个质点Mi，质量，质量mi，受主动力，受主动力 ，约束反力约束反力 作用，加速度为作用，加速度为iFNiFia0GiNiiFFFG
6、iiiFma(1,2,)in表示为力系形式：表示为力系形式：111,(,),0,NNiinnGGGnNiFFFFFFFFF质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理：在质点系运动的任一瞬时，：在质点系运动的任一瞬时，每个质点所受的每个质点所受的主动力主动力、约束力约束力和虚加的和虚加的惯性力惯性力在形在形式上组成一平衡力系。式上组成一平衡力系。9 0()()()0GiNiiGOiONiOiFFFMFMFMF111,(,),0,NNiinnGGGnNiFFFFFFFFF由于由于 ,将质点系受力按内力、外力划分：将质点系受力按内力、外力划分：0,()0 iiiOiFM F11,(,),0,GGGin
7、eeeinFFFFFF0()()0eGiieGOiOiFFMFMF （空间平衡力系：）（空间平衡力系：）（力系的主矢和对任意（力系的主矢和对任意点的主矩分别为零）点的主矩分别为零）（内力是大小相等，方向相反成（内力是大小相等，方向相反成对出现，所以内力主矢和对任意点对出现，所以内力主矢和对任意点的主矩分别恒为零）的主矩分别恒为零）10 空间力系有空间力系有六六个独立的平衡方程，个独立的平衡方程，0()()()0GiNiiGOiONiOiFFFMFMFMF平面力系，有平面力系，有三三个独立的平衡方程个独立的平衡方程0GixNixixFFF0GiyNiyiyFFF0)()(GioNioioFMFM
8、FM）（11 BA1O1x1yC12 图图13 2F1Fg2m*FB BA1O1x1yC1Fg1mC1F当调速器稳定运转时，惯性力当调速器稳定运转时，惯性力FG通过主通过主轴且垂直于主轴，其大小为轴且垂直于主轴，其大小为1、选小球为研究对象、选小球为研究对象方向如图示。应用质点动静法，方向如图示。应用质点动静法，列出两投影方程：列出两投影方程：2、选、选重锤重锤C为研究对象，可为研究对象，可简化为简化为一质点，它在杆一质点，它在杆AC，BC的拉力和重的拉力和重力作用下平衡，由此求出力作用下平衡，由此求出14 以以F1值代入前两式，可解出值代入前两式，可解出2F1Fg2m*FB BA1O1x1y
9、C1Fg1mC1F15 刚体内各质点的惯性力形成了一个连续分布的刚体内各质点的惯性力形成了一个连续分布的惯惯性力系性力系，可利用力系简化的方法进行简化。，可利用力系简化的方法进行简化。一、回顾力系简化的方法一、回顾力系简化的方法F1F2FnM1M2Mn1、选定简化中心，利用力的平移定理将力系中各、选定简化中心，利用力的平移定理将力系中各力移至简化中心力移至简化中心16 FMO合力：合力：过汇交点过汇交点，iFF合力偶合力偶()OiMMF2、空间任意力系、空间任意力系F1F2FnM1M2Mn17 将虚加在刚体上的惯性力系视作力系向刚体上任一点将虚加在刚体上的惯性力系视作力系向刚体上任一点O简化而
10、得到一个惯性力系的简化而得到一个惯性力系的主矢主矢 和一个和一个惯性力偶惯性力偶 即主矩即主矩 GFGOM ()CGOGGiiiGiOFFmaMMaMF与简化中心无关与简化中心有关无论刚体作什么运动，惯性力系无论刚体作什么运动，惯性力系主矢主矢都等于刚体都等于刚体质量质量与与质心质心加速度加速度的乘积，的乘积，方向方向与质心加速度方向相反。与质心加速度方向相反。主矩主矩随刚体作不同形式的运动而不同。随刚体作不同形式的运动而不同。18 二、刚体作平动二、刚体作平动向质心向质心C简化：简化：GCFMa主矢：主矢：结论：结论：刚体平动时惯性力系简化为通过质心刚体平动时惯性力系简化为通过质心C的一合力
11、。的一合力。1、每一瞬时刚体内各质点加速度相同，都等于质心的、每一瞬时刚体内各质点加速度相同，都等于质心的加速度，故每个质点的加速度，故每个质点的惯性力惯性力都向重力一样都向重力一样平行平行。19 2、主矩：、主矩：()()()0GGCCiiiiiiCi iCMMFrm arm am ra 刚体上有一质点刚体上有一质点 ，质量为，质量为m,它相对与质心它相对与质心C的矢径，的矢径，则惯性力系对质心的则惯性力系对质心的主矩主矩为为iMirCCCiiarmarm00GCCCMrr的矢径，为刚体质心相对于质心结论结论：刚体作平动时，惯性力系对：刚体作平动时，惯性力系对质心质心C的的主矩主矩为为零。零
12、。20 三、刚体作定轴转动三、刚体作定轴转动讨论具有讨论具有质量对称平面质量对称平面且转轴垂直于且转轴垂直于质量对称平面质量对称平面的情况。（刚体的的情况。（刚体的空间空间惯性力系投影在对称平面内惯性力系投影在对称平面内的的平面平面力系，再将此平面力系向力系，再将此平面力系向O点简化，点简化，O点为质点为质量对称平面与转轴量对称平面与转轴Z的交点。）的交点。）GiiiFma 直线直线 i :平动，平动，过过Mi点，惯性力系点，惯性力系为为空间惯性力系空间惯性力系 平面惯性力系平面惯性力系（质量对称面质量对称面）21 向转轴向转轴O点简化：点简化：主矢：主矢：()GnnCCCCCFMaM aaM
13、aMa 2()()0 ()GGGOOiOini iii iOMMFMFrmrmrI 负号表示与 反向平面上任一点法向力对平面上任一点法向力对O点取矩均为零（力过点取矩均为零（力过O点），点），GGnFF22,mrFmrFraraGnGnCC主矩：主矩：22 刚体刚体定轴转动定轴转动时惯性力系可合成为一个时惯性力系可合成为一个力力和一个和一个力偶，力偶，该该力力通过简化中心通过简化中心O，其，其大小大小等于惯性力系的主矢，等于惯性力系的主矢，方向方向和质心加速度方向相反。和质心加速度方向相反。该该力偶力偶的力偶矩等于惯性力系对轴的力偶矩等于惯性力系对轴O的主矩，大小为的主矩，大小为 ，方向，方向
14、与角加速度转向相反。与角加速度转向相反。GCFMaOGOIM惯性力系对转轴惯性力系对转轴O的的主矩主矩等于刚体对轴等于刚体对轴O的的转动惯量转动惯量与与角角加速度加速度的乘积，的乘积，方向方向与与角加速度角加速度的方向的方向相反相反。OGOIM23 四、刚体作平面运动四、刚体作平面运动 假设刚体具有假设刚体具有质量对称平面质量对称平面，并且平行于该平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为刚体平面运动可分解为随基点（质点随基点（质点C）的）的平动平动：绕通过绕通过质心
15、轴质心轴的的转动转动：作用于质心作用于质心GCFMa CGCIMGCFMa CGCIM24 O25 图图26 一、选整体为研究对象一、选整体为研究对象二、受力分析二、受力分析三、运动分析三、运动分析Oar四、虚加惯性力四、虚加惯性力五、由动静法，列平衡方程五、由动静法，列平衡方程27 O28 29 一、选车轮为研究对象一、选车轮为研究对象二、受力分析二、受力分析三、运动分析三、运动分析四、虚加惯性力四、虚加惯性力五、由动静法，列平衡方程五、由动静法，列平衡方程ar30 31 32 3033 34 35 36 37 38 OBAC39OBAC 40OBAC 41OBAC 42OBAC 43 44O 45O 46O 47 48 49 50dmgF*FAzFAx 51dmgF*FAzFAx 52 dmgF*FAzFAx 53dmgF*FAzFAx 54dmgF*FAzFAx 55第第5章章 达朗伯原理达朗伯原理dmgF*FAzFAx
