1、 - 1 - 广西陆川县 2018 届高三数学上学期期中试题 理 第 I 卷 (选择题，共 60 分） 一、 选择题（本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 ?570sin 的值是 （ ） A 21? B 21 C 32 D 23? 2.设 i 为虚数单位，复数 izi ? 1)2( ，则 z 的共轭复数 z 在复平面中对应的点在 （ ） A第一象 限 B第二象限 C第三象限 D第四 象限 3、已知向量 (1 1)a?， ， ( 12)b?， ，则 (2 )a b a?（ ） A、 1? B、 0 C、 1 D、 2
2、 4、已知命题 1123xxp x R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?： ，；命题 20 0 0 10q x R x x? ? ? ? ?： ， ；则下列命题为真命题的是（ ） A、 pq? B、 pq? C、 pq? D、 pq? 5、已知 3sin 5? ，且 ? 为第二象限角，则 tan(2 )4? （ ） A、 195? B、 519? C、 3117? D、 1731? 6、已知椭圆 22 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?： 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，离心率为 33 ，过 2F 的直线交椭圆 C 于 A 、 B 两点，若 1AFB? 的周长为
3、43，则椭圆 C 的方程为（ ） A、 22132xy? B、 2 2 13x y? C、 22112 8xy? D、 22112 4xy? 7、若 1ab?， 01c?，则（ ） A、 ccab? B、 ccab ba? C、 log logbaa c b c? D、 log logabcc? 8、九章算术中有如下问题： “今有勾八步 ， 股 一 十五步，问勾中容圆，径几何 ？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15 步 ， 问其内切圆的直径为多少步 ？” 现若向此三角形内随机投一粒豆子 ， 则豆子落在其内切圆外的概率是 （ ） - 2 - A、 310? B、 320?
4、 C、 31 10? D、 31 20? 9、已知 ABC? 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边长分别是 a 、 b 、 c ，且 sin sin 3sinB A a cC a b? ?，若将函数 ( ) 2 sin(2 )f x x B?的图像向右平移 6? 个单位长度，得到函数 ()gx 的图像，则()gx的解析式为（ ） A、 22sin(2 )3x ? B、 22cos(2 )3x ? C、 2sin2x D、 2cos2x 10、已知函数 321() 3f x x b x cx b c? ? ? ? ?在 1x? 处有极值 43? ，则 b （ ） A、 1? B、 1 C、
5、11?或 D、 13?或 11、一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ） A、 5178 B、 51716 C、 5158 D、 5151612、设函数43 1 0() lo g 0x xfx xx? ? ? ?， ，,若关于 x 的方程 2 ( ) ( 2 ) ( ) 3 0f x a f x? ? ? ?恰好有六个不同的实数解 ,则实数 a 的取值范围为（ ） A、 ( 2 3 2 2 3 2)? ? ?， B、 3(2 3 2 2? ， C、 3)2?， D、 (2 3 2 + )?， 二、填空题（本大题共 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分） 13已知
6、)1,2(),1( ? bma ，若 a 在 b 上投影为 553? ，则 _?m 14函数?0,0,10,1)(22xcxbxxaxxxxf 为奇函数，则 _? cba 15已知 0)1011s in (2)512s in ( ? ? ，则 _)52ta ( ? ? 16已知 mmxxf (|2|)( ? 为常数 ) ，对任意 Rx? ,均有 )()3( xfxf ? 恒成立 .下列说法： - 3 - )(xf 的周期为 6； 若 bbxxfxg (|2|)()( ? 为常数） 的图像关于直线 1?x 对称，则 1?b ； 若 220 ? ? 且 )3()( ? ? ff ，则必有 ;323
7、121 2 ? ? 已知定义在 R 上的函数 )(xF 对任意 x 均有 )()( xFxF ? 成立，且当 3,0?x 时，);()( xfxF ? 又函数 ()( 2 cxxh ? c 为常数），若存在 1x , 2x 3,1? 使得1|)()(| 21 ? xhxF 成立，则 c 的取值范围是 ).13,1(? 其中说法正确的是 _ （填写所有正确结论的编号） 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17 (本小题满分 12 分 )已知 Sn na1 (n 1) a2 ? 2an 1 an. (1)若 an 是等差数列，且 S1 5，
8、 S2 18，求 an； (2)若 an 是等比数列，且 S1 3， S2 15，求 Sn. 18 (本小题满分 12 分 )某互联网理财平台为增加平 台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少 1 万元的 12 月定期， 邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的 1%，且每邀请一位最高现金奖励为 300 元，红包奖励为每邀请一位奖励 50 元假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买 1 万元、 2 万元、 3 万元的 12 月定期的概率如下表： (1)求乙、丙理财金额之和不少于 5 万元的概率；
9、 (2)若甲获得奖励为 X 元，求 X 的分布列与数学期望 19 (本小题满分 12 分 )如图 15 所示， PA 与四边形 ABCD 所在平面垂直，且 PA BC CD BD，AB AD， PD DC. (1)求证： AB BC； 理财金额 1 万元 2 万元 3 万元 乙理财相应金 额的概率 13 13 13 丙理财相应金额的概率 12 13 16 - 4 - (2)若 PA 3， E 为 PC 的中点，设直线 PD 与平面 BDE 所成角为 ，求 sin . 20 (本小题满分 12)已知椭圆 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?右顶点与右焦点的距离为 31? ，短轴长为 2
10、2. （ I）求椭圆的方程； （）过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A、 B 两点，若三角形 OAB 的面积为 32,4 求直线 AB的方程。 21 (本小题满分 12) 已知函数( ) lnf x x?，2( ) ( ) 3g x f x ax x? ? ?，函数()gx的图像在点1, 1)处的切线平行于x轴 （ 1）求函数()gx的极小值； （ 2）设斜率为k的直线与函数fx的图象交于两点1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，（12xx?） 证明：11k? 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 选修 4-4:坐标系与参数
11、方程 在平面直角坐标系 中，直线 过点 ，倾斜角为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 (1)写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程； (2)设直线 与曲线 交于 两点，证明 : - 5 - 23 选修 4 5：不等式选讲 设 ， ， 均为正数，且 ，证明： (1) ； (2) - 6 - 理科数学试题参考答案及评分标准 1.A 2.D 3、 C 4、 C 5、 D 6、 A 7、 C 8、 D 9、 D 10、 A 11、 B 12、 B 13、 1?m 14、 3? 15、 2 16、 17、（ 1） 32n? ；（ 2） 23 6 94n n?
12、? 18、 解： (1)设乙、丙理财金额分别为 万元、 万元，则乙、丙理财金额之和不少于 5 万元的概率为 P( 5) P( ) 2 P( ) 3 P( ) 3 P( ) 2 P( ) 3 P( ) 3 13 16 13 13 13 16 29.4 分 (2)X 的所有可能的取值为 300， 400， 500， 600， 700. P( )X 300 P( ) 1 P( ) 1 13 12 16， P( )X 400 P( ) 1 P( ) 2 P( 2)P( 1) 13 13 13 12 518， P( )X 500 P( ) 1 P( ) 3 P( 3) P( 1) P( ) 2 P( )
13、 2 13 16 13 12 13 13 13， P( )X 600 P( ) 2 P( ) 3 P( 3)P( 2) 13 16 13 13 16， P( )X 700 P( 3)P( 3) 13 16 118， 所以 X 的分布列为 X 300 400 500 600 700 P 16 518 13 16 118 10 分 E(X) 300 16 400 518 500 13 600 16 700 118 14003 .12 分 19 解： (1)证明：由 PA 平面 ABCD， AB AD，可得 PB PD， 又 BC CD， PC PC，所以 PBC PDC，所以 PBC PDC. 因
14、为 PD DC，所以 PB BC.3 分 - 7 - 因为 PA 平面 ABCD， BC?平面 ABCD， 所以 PA BC. 又 PA PB P，所以 BC 平面 PAB. 因为 AB?平面 PAB，所以 AB BC.5 分 (2)由 BD BC CD， AB BC，可得 ABD 30 ， 又已知 AB AD， BD PA 3，所以 AB 1. 如图所示，分别以 BC， BA 所在直线为 x， y 轴，过 B 且平行于 PA 的直线为 z 轴建立空间直 角坐标系， 则 B(0， 0， 0)， P(0， 1， 3)， C( 3， 0， 0)， E（ 32 ， 12， 32 ） ， D（ 32
15、， 32， 0） ，所以 PD （ 32 ， 12， 3)， BE ( 32 ， 12， 32 )， BD ( 32 ， 32， 0). 设平面 BDE 的法向量 n (x， y， z)， 8 分 则?BE n 0，BD n 0，即? 32 x 12y 32 z 0，32 x32y 0，取 z 2，得 n (3， 3， 2)， 10 分 所以 sin | |PD n| |PD | |n 32 312 3（ 3）（ 2）?322 ? ?122（ 3） 2 32（ 3） 2（ 2） 2 3 38 .12 分 20、（ 1） 22132xy?； （ 2） 2 2 2 0xy? ? ? ?或 2 2
16、2 0xy? ? ? ? - 8 - 21、（ 1）依题意得 ，则 ， （ 2）由（ 1）得 函数 的定义域为 ，令 得 或 函数 在 上单调递增，在 单调递减；在 上单调递增故函数 的极小值为 （ 3）依题意得 ， 令 则 由 得 ，当 时， ，当 时， ， 在 单调递增，在 单调递减，又 即 22（ 1） ；（ 2） 试题解析：（ 1）直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的直角坐标方程为 . （ 2）设直线 与曲线 交于 两点所对应的参数为 ，则 ，即，而 - 9 - 23 证明： (1)由 a2 b2 2ab， b2 c2 2bc， c2 a2 2ca 得 a2 b2 c2 ab bc ca. 由题设得 (a b c)2 1， 即 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1， 所以 3(ab bc ca) 1，即 ab bc
