1、 1 山东省莱芜市 2018 届高三数学上学期期中试题 理 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 ? ?|2A x x?，集合 ? ?3| log 1B x x?，则 AB? （ ） A ? ?|2xx? B ? ?|3xx? C ? ?|0 2xx? D ? ?|1 2xx? 2.下列命题中的假命题是（ ） A xR? ， lg 0x? B ,xR? tan 0x? C xR? ， 20x? D xR? ， 2 0x? 3.下列函数中，既是奇函数又是区间 (0,
2、)? 上的减函数的是（ ） A yx? B 1yx? C 3yx? D 2xy ? 4.数列 ?na 为等差数列， nS 是其前 n 项的和，若7 703S ?，则 4sina? （ ） A 32? B 12? C 12 D 32 5.已知向量 a ， b 的夹角为 60? ，且 | | 2a? ， | 2 | 2 7ab? ，则 |b? （ ） A 2 B 3 C 2 D 3 6.要得到函数 ( ) cos(2 )6f x x ?的图象，只需将函数 ( ) sin2g x x? 的图象（ ） A向左平移 6? 个单位 B向右平移 6? 个单位 C向左平移 3? 个单位 D向右平移 3? 个单
3、位 7. ABC? 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 a 、 b 、 c 成等比 数列，且 2ca? ，则 cosC? （ ） A 14? B 24? C 14 D 24 8.函数 331xxy? ?的大致图象是（ ） 2 9.我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算 法，其方法前两步分为： 第一步：构造数列 1， 12 ， 13 ， 14 ，?， 1n 第二步：将数列的各项乘以 n ，得数列（记为） 1a ， 2a ， 3a ，?， na 则 1 2 2 3 1nna a a a a a? ? ? ? （ ） A 2( 1)n? B ( 1)n
4、n? C 2n D ( 1)nn? 10.函数 2 2 3, 0 ,()| 2 | ln , 0x x xfx x x x? ? ? ? ? ? ? ?零点的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 11.在平行四边形 ABCD 中， 60A? ? ? ，边 2AB? ， 1AD? ，若 M 、 N 分别是边 BC 、CD 上的点，且满足 | | | | | | |BM CNBC CD? ，则 AM AN? 的取值范围是（ ） A ? ?1,3 B ? ?1,5 C ? ?2,4 D ? ?2,5 12.函数 ()fx是定义在 R 上的奇函数，且 ( 1)fx? 为偶函数，当 ? ?0,1
5、x? 时， ()f x x? ，若函数 ( ) ( )g x f x x m? ? ?有三个零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A 11(2 , 2 )( )44k k k Z? ? ? B 11(2 , 2 )( )33k k k Z? ? ? C 11(4 , 4 )( )44k k k Z? ? ? D 11(4 , 4 )( )33k k k Z? ? ? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 21 1(2 )x dxx?的值为 14.计算： cos10 2 sin 20sin 10? ? ? 15.已知曲线 1C ： xye
6、? 与曲线 2C ： 2()y x a? ，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数 a 的值为 3 16.若对任意的 xD? ，均有 ( ) ( ) ( )g x f x h x?成立，则称函数 ()fx为函数 ()gx和函数()hx 在区间 D 上的“中间函数”已知 函数 ( ) ( 1) 1f x k x? ? ?， ( ) 2gx? ，( ) ( 1)lnh x x x? ，且 ()fx是 ()gx和 ()hx 在区间 ? ?1,2 上的“中间函数”，则实数 k 的取值范围是 三、解答题 （ 本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.已知函数
7、 22( ) c o s ( ) sin6f x x x? ? ? （ 1）求函数 ()fx的最小正周期和单调递增区间； （ 2）求 ()fx在 0,2?上的最小值 18.在数列 ?na 中，已知 121aa?， 212n n na a a? ? ? ， *nN? ， ? 为常数 （ 1）证明： 1a ， 4a ， 5a 成等差数列； （ 2）设 12 nnaanb ? ? ，求数列 ?nb 的前 n 项和 nS 19.已知 ABC? 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ， 3C ? （ 1）若 224ab a c?，求 sinsinBA 的值； （ 2）求 sin
8、sinAB的取值范围 20.已知函数 3 2 21( ) ( 1 )3f x x a x a x b? ? ? ? ?（ a ， bR? ） （ 1）若 ()y f x? 的图象在点 (1, (1)f 处的切 线方程为 30xy? ? ? ，求 ()fx在区间 ? ?2,4?上的最大值和最小值； （ 2）若 ()fx在区间 (1,1)? 上不是单调函数，求 a 的取值范围 21.在等差数列 ?na 中， 1 3a? ，其前 n 项和为 nS ，等比数列 ?nb 的各项均为正数， 1 1b? ，且 2211bS?， 3329Sb? （ 1）求数列 ?na 和 ?nb 的通项公式； （ 2）令 1
9、( 1)2n nn nac nb?，设数列 ?nc 的前 n 项和为 nT ，求 1n nT T?（ *nN? ）的最大值4 与最小值 22.已知函数 1( ) ( ) 3 lnf x a x xx? ? ? （ 1）若函数 ()fx在其定义域内为增函数，求实数 a 的取值范围； （ 3）设函数 3() egx x? ，若在 ? ?1,e 上至少存在一点 0x ，使得 00( ) ( )f x g x? 成立，求实数 a的取值范围 5 高三期中质量检测理科数学试题答案 一、选择题 1-5:CDBAD 6-10:ABCBC 11、 12： DC 二、填空题 13.3 ln2? 14. 3 15.
10、2 2ln2? 16. 1,22?三、解答题 17.解：（ 1） 22 11( ) c o s ( ) s i n 1 c o s ( 2 ) (1 c o s 2 )6 2 3 2f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?1 c o s(2 ) c o s 223xx? ? ?1 3 3( sin 2 c o s 2 )2 2 2xx? 3 sin(2 )23x ?， 所以函数 ()fx的最小正周期为 ? 由 2 2 22 3 2k x k? ? ? ? ? ? ?， kZ? ， 得 512 12k x k? ? ? ?， kZ? ， 所以函数 ()fx的单调递增区间为 5 ,
11、12 12kk?， kZ? （ 2）因为 0,2x ?，所以 42,3 3 3x ? ? ?， 所以 3 sin (2 ) 123x ? ? ? ?，所以 3() 4fx? ， 所以 ()fx在 0,2?上的最小值为 34? 18.解：（ 1）因为 212n n na a a? ? ? ， 121aa?， 所以 3 2 121a a a ? ? ? ? ?， 同理， 4 3 22 3 1a a a ? ? ? ? ?， 5 4 32 6 1a a a ? ? ? ? ?， 又因为 413aa? ， 543aa? ， 6 所以 4 1 5 4a a a a? ? ? ， 故 1a ， 4a ，
12、5a 成等差数列 （ 2）由 212n n na a a? ? ? ，得 2 1 1n n n na a a a ? ? ? ? ? ?， 令 1n n nc a a?，则 1nncc? ?， 1 2 1 0c a a? ? ? ， 所以 ?nc 是以 0 为首项，公差为 ? 的等差数列， 所以 1 ( 1) ( 1)nc c n n? ? ? ? ?， 即 1 ( 1)nna a n ? ? ? ?， 21nna a n?，两式相加，得： 2 (2 1)nna a n ? ? ? ?， 所以 2 (2 1)22nnaa nnb ? ? ?， 3 5 ( 2 1 )12 2 2 2 2 nnn
13、S b b b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 0? ， nSn? ， 当 0? ， 23 5 ( 2 1 )22 (1 2 )2 2 2 2 12nnnS? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19.解：（ 1）由余弦定理及题设可知： 2 2 2 24c a b ab a ab? ? ? ? ?，得 3ba? ， 由正弦定理 sinsinBbAa? ，得 sin 3sinBA? （ 2）由题意可知 23AB? 2 3 1s i n s i n s i n s i n ( ) s i n ( c o s s i n )3 2 2A B A A A A A? ? ?
14、 ?3 1 1sin 2 c o s 24 4 4AA? ? ?11sin(2 )2 6 4A ? ? ? 因为 20 3A ? ，所以 26 6 6A? ? ? ? ? ?，故 1 sin(2 ) 126A ? ? ? ?， 所以 sin sinAB的取值范围是 3(0, 4 20.解：（ 1） (1, (1)f 在 30xy? ? ? 上， (1) 2f ? ， 点 (1,2) 在 ()y f x? 的图象上， 21213 a a b? ? ? ? ?， 又 (1) 1f ? ， 21 2 1 1aa? ? ? ? ?， 7 2 2 1 0aa? ? ? ，解得 1a? ， 83b? 32
15、18() 33f x x x? ? ?， 2( ) 2f x x x?， 由 ( ) 0fx? 可知 0x? 和 2x? 是 ()fx的极值点 8(0) 3f ? ， 4(2) 3f ? ， ( 2) 4f ? ? ， (4) 8f ? ， ()fx在区间 ? ?2,4? 上的最大值为 8，最小值为 4? （ 2）因为函数 ()fx在区间 (1,1)? 上不是单调函数，所以函数 ()fx在 (1,1)? 上存在零点 而 ( ) 0fx? 的两根为 1a? ， 1a? ， 若 1a? ， 1a? 都在 (1,1)? 上，则 1 1 1,1 1 1,aa? ? ? ? ? ? ?解集为空集，这种情
16、况不存在； 若有一个根在区间 (1,1)? 上，则 1 1 1a? ? ? ? 或 1 1 1a? ? ? ? ， ( 2,0) (0,2)a? 21.解：（ 1）设等差数列 ?na 的公差为 d ，等比数列 ?nb 的公比为 q ，则23 3 1 1,2 (3 3 3 2 ) 9 ,dqd d q? ? ? ? ? ? ? ? ?解得 3d? ， 2q? ， 所以 3nan? ， 12nnb ? （ 2）由（ 1）得 13 ( )2 nnc ? ? ?，故 11 ( )2 nnT ? ? ?， 当 n 为奇数时， 11 ( )2 nnT ?， nT 随 n 的增大而减小，所以1 31 2nT
17、T? ? ?； 当 n 为偶数时， 11 ( )2 nnT ?， nT 随 n 的增大而增大，所以23 14 nTT? ? ?， 令 1()f x x x? ， 0x? ，则21( ) 1 0fx x? ? ?，故 ()fx在 0x? 时是增函数 故当 n 为奇数时，1 11 1 50 6n nTTTT? ? ? ? ?； 当 n 为偶数时，2 21 1 70 12n nTTTT? ? ? ? ? ?， 8 综上所述， 1n nT T?的最大值是 56 ，最小值是 712? 22.解：（ 1） 22233( ) a a x x af x a x x x? ? ? ?， 0x? ， 因为 函数
18、()fx在其定义域内为增函数， 所以 2 30ax x a? ? ? ， 0x? 恒成立， 当 0a? 时，显然不成立； 当 0a? 时， 3 02a? ，要满足 2 30ax x a? ? ? ， 0x? 时恒成立，则 29 4 0a? ? ? ， 32a? （ 2）设函数 13( ) ( ) ( ) ( ) 3 lneh x f x g x a x xxx? ? ? ? ? ?， ? ?1,xe? ， 则原问题转化为在 ? ?1,e 上至少存在一点 0x ，使得 0( ) 0hx? ，即 max( ) 0hx ? 0a? 时， 13( ) ( ) 3 lneh x a x xxx? ? ?
19、 ?， ? ?1,xe? ， 1 0x x?， 3 0ex? ， ln 0x? ，则 ( ) 0hx? ，不符合条件； 0a? 时， 222 2 23 3 3 ( 3 ) ( 1 ) ( 3 3 )( ) a e a x x a e a x e xh x a x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 由 ? ?1,xe? ，可知 22( 1 ) (3 3 )( ) 0a x e xhx x? ? ?， 则 ()hx 在 ? ?1,e 单调递增，m a x( ) ( ) 6 0ah x h e a e e? ? ? ? ?，整理得26 1ea e? ? 综上所述，26( , )1ea e? ?
