1、 邯郸市高三年级摸底考试 数 学 注意事项： 1.考试时间 120 分钟，总共 150 分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考场填写在答题卡上，并把条形码贴在答题卡的指定位置. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1.已知集合 3 0 1 x Ax x ，22Bxx，则AB （
2、 ） A.(1,2 B. 2,1) C.( 3,2 D.( 3, 2 2.已知复数 2020 (1 2 )zii，则z （ ） A.1 2i B.1 2i C.2 i D.1 2i 3.已知向量( 2, )at ，(1, 1)b ，若() abb，则实数t （ ） A.2 B.4 C.2 D.4 4.已知函数 3 1,3 ( ) (1),3 x ex f x f xx ，则(ln2)f（ ） A.2 B.3 C. 2 1 e D. 2 2 1 e 5.若命题:p“x R， 2 210axax ”为真命题，则实数a的取值范围是（ ） A.(,8 B. 8,0 C.(, 8) D.( 8,0) 6
3、.已知x，y均为正数，且 1 x ， 1 2 ， 2 y 成等差数列，则xy的最小值为（ ） A.4 B.3 C.2 2 D.32 2 7.如图是函数( )sin()(0,0,0)f xAxA的部分图象，则 6 f （ ） A. 1 2 B.1 C. 3 2 D. 1 2 8.函数 ln | ( ) 2 xx f x x 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 9.2019 年 4 月，八省市同时公布新高考改革“3+1+2
4、”模式.“3”即语文、数学、外语为必考科目.“1”即 首选科目，考生须在物理、历史中二选一.“2”即再选科目，考生在化学、生物、思想政治、地理中四选二. 高校各专业根据本校培养实际，对考生的物理或历史科目提出要求.如图所示， “仅物理”表示首选科目为物 理的考生才可报考，且相关专业只在物理类别下安排招生计划； “仅历史”表示首选科目为历史的考生才可 报考，且相关专业只在历史类别下安排招生计划； “物理或历史”表示首选科目为物理或历史的考生均可报 考， 且高校要统筹相关专业在物理历史类别下安排招生计划根据图中数据分析， 下列说法正确的是 （ ） A.选物理的考生可报大学专业占 47.53% B.
5、选历史的考生大学录取率为 2.83% C.选物理或历史的考生均可报的大学专业占 49.64% D.选历史的考生可报大学专业占 52.47% 10.已知数列 n a满足：13a ， 当2n时， 2 1 1 11 nn aa ， 则关于数列 n a说法正确的是 （ ） A. 2 8a B.数列 n a为递增数列 C.数列 n a为周期数列 D. 2 2 n ann 11.如图已知 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点，点P是该椭圆在第一象限内的点， 12 FPF的角平分线交x轴于Q点，且满足 2 4OFOQ，则椭圆的离心率e可能是（ ） A. 1 8 B
6、. 1 4 C. 1 2 D. 3 4 12.已知定义在(1,)上的函数 ln32 ( ) 1 xxx f x x ， 定义函数 ( ),( ) ,) ( ) ( f xf xm mm g f x x （其中m为实数） ， 若对于任意的(1,)x，都有( )( )g xf x，则整数m可以为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知随机变量 2 4,N，若(6)0.4P，则(2)P_. 14.某市近几年大力改善城市环境，全面实现创建生态园林城市计划，现省专家组评审该市是否达到“省园 林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的
7、 8 人中选出 4 人组成评审委员会，若甲、乙两位专家至少 一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有_种. 15.已知 1 F， 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，设点P是该双曲线与以 12 FF为直径 的圆在第一象限的交点，若 21 3 10 sin 10 PF F，则双曲线的离心率为_. 16.已知三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且有2 3PBPA，2 3PCPA， 则该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_. 四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 在ABC中，角
8、A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sin2sinaBbA. （1）求角B的大小； （2）给出三个条件2b，ABC外接圆半径 2 3 3 r ，2 3ac，试从中选择两个可以确定 ABC的条件，并求ABC的面积. 18.（本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 2 3 a ， * 11 3 2 nnnn aaa an N. （1）求证数列 1 n a 为等差数列，并求数列 n a的通项公式； （2）设 n S为数列 1nn a a 的前n项和，证明： 4 9 n S . 19.（本小题满分 12 分） 某工厂为提高某手工制品的质量，决定引进新技术，现从改进技术前后生产的大批手工
9、制品中各随机抽取 200 件进行质量指标检测，规定指标值在20,40)的为合格品，其余的视为次品.改进技术前手工制品的频率 分布直方图和改进技术后手工制品的顿率分布表如下： 改进技术后手工制品的频率分布表 质量指标值 频数 频率 15,20) 4 0.02 20,25) m 0.18 25,30) 96 0.48 30,35) 28 0.14 35,40) 32 n 40,45) 4 0.02 合计 200 1 （1） （i）求表中数据m和n； （ii）完成 22 列联表，并判断能否有 95%的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关； 改进技术前 改进技术后 合计 合格品 次品 合计 （2
10、）根据（1）的数据，从产品合格率的角度分析改进技术前后手工制品的质量优劣. 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中na b cd . 参考临界值 2 0 P Kk 0.100 0.050 0.025 0.010 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 20.（本小题满分 12 分） 如图在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 ABB A为边长为 2 的菱形， 11 3 AAB ， 111 2ACBC， 11 6AC . （1）求证： 1 AB平面 11 ABC； （2）求直线 1 AB与平面 111 ABC所成角的正弦
11、值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 (1) ( )ln 1 a x f xx x . （1）当2a时，讨论函数( )f x的单调性； （2）当1x 时，( )0f x ，求实数a的取值范围. 22.（本小题满分 12 分） 已知点F为抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点，横坐标为 1 的点P在抛物线上，且以F为圆心，|PF为 半径的圆与C的准线相切. （1）求抛物线C的方程； （2） 设不经过原点O的直线l与抛物线交于A、B两点， 设直线OA、OB的倾斜角分别为和， 证明： 当 4 时，直线l恒过定点. 高三数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12、12 答案 A A C B B D B C CD ABD CD AB 一、选择题 1.A 解析：由题知(, 3)(1,)A ，所以1,2AB . 2.A 解析： 1 ii， 2 1i ， 3 ii ， 4 1i ， 505 20204505 11ii， 2020 (1 2 )1 2ziii ，1 2zi . 3.C 解析：向量( 3, 1)abt ，因为()abb，所以3(1)0t，解得2t . 4.B 解析：(ln2)(1ln2)(2ln2)(3ln2)3ffff. 5.B 解析：由题意，当0a时，命题成立，当0a时， 2 0 80 a aa ，解得80a ，综上可得， 实数a的取值范围是
13、8,0. 6.D 解析：由题 12 1 xy ， 122 ()332 2 xy xyxy xyyx （当且仅当2yx时等号 成立）. 7.B 解析：由图可知2A .最小正周期 2 T ，2，又由2sin 22 22 f ，得 2 ，( )2sin 22cos2 2 f xxx ，即2cos1 63 f . 8.C 解析：函数( )f x为奇函数，排除 A，B，又因为 1 (1) 2 f，排除 D，故选 C. 二、选择题 9.CD 解析：根据题中信息易知选物理或历史的考生均可报的大学专业占 49.64%，选历史的考生可报大学专 业占 52.47%.故选 CD. 10.ABD 解析： 2 1 1
14、11 nn aa 得 2 1 11 1 nn aa ， 1 11 1 nn aa ，即数列 1 n a 是首项为 1 12a ，公差为 1 的等差数列， 12(1) 11 n ann ， 2 2 n ann.所以易知 ABD 正确. 11.C 解析： 24OFOQ， 2 3 4 QFc， 1 | 4 OQc，则 1 5 4 QFc . PQ是 12 FPF的角平分线， 11 22 5 3 PFQF PFQF ，又 12 |2PFPFa， 1 5 4 a PF ， 2 3 4 a PF ， 在 12 PFF中，由余弦定理得 222 2 12 259 4 1732 1616 cos 53 1515
15、 2 44 aac FPFe aa ， 12 1cos1FPF ， 2 1732 11 1515 e ，解得 1 1 4 e.所以正确选项为 CD. 12.AB 解析：由题若对于任意的(1,)x，都有( )( )g xf x，则有( )mf x在(1,)x恒成立，只 需 min ( )mf x， 2 ln2 ( ) (1) xx fx x ，令( )ln2h xxx ， 1 ( )10h x x ，( )h x在(1,) 上单调递增，又由(3)ln3 10h ，(4)ln420h ， 0 (3,4)x满足 0 0h x，即有 00 ln2xx，此时( )f x在 0 1,x上单调递减，在 0,
16、 x 上单调递增，所以 000 min0 0 ln32 ( ) 1 xxx f xf x x 000 0 0 232 2(5,6) 1 xxx x x 5m.故选 AB. 三、填空题 13.0.6 解析： 2 4,N，若(6)0.4P，则(2)0.4P，(2)1 0.40.6P . 14.55 解析：若甲、乙两位专家至少一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有 44 86 CC55种. 15. 10 2 解析：根据双曲线定义： 12 2PFPFa，因为圆是以 12 FF为直径，所以 12 PFF是直角三角 形，又知 21 3 10 sin 10 PF F，易得 12 3PFPF， 1 3P
17、Fa， 2 PFa，在 12 RtPFF中，由勾股 定理得 222 (3 )(2 )aac，解得 10 2 e . 16.36 解析：将该三棱锥补成长方体，设PAx，则2 3PBx，2 3PCx，三棱锥的体积 3 111 (2 3)(2 3)12 326 Vx xxxx ， 由 2 1 3120 6 Vx ，得2x. 所以V在(0,2)上单调递增，在(2,)上单调递减.即2x时，V取得最大值. 此时三棱锥外接球半径 222 1 2(22 3)(2 32)3 2 r ，4936S 表 . 四、解答题 17.解： （1）因为sin2sinaBbA，所以2 sincossinaBBbA， 由正弦定理
18、得2cosabBba， 1 cos 2 B ， （2）显然可知当选择条件时，ABC不唯一； 当选择条件时，ABC唯一，此时， 由余弦定理 222 2cosbacacB， 即 222 4()3123acacacacac. 解得 8 3 ac . 所以ABC的面积 11832 3 sin 22323 SacB. 当选择条件时，ABC唯一，此时， 由正弦定理可知2sin2brB. 由余弦定理 222 2cosbacacB， 即 222 4()3123acacacacac. 解得 8 3 ac . 所以ABC的面积 11832 3 sin 22323 SacB. 18.解： （1）由题 11 3 2
19、nnnn aaa a ，两边同时除以 1nn a a ，得 1 113 2 nn aa ， 又 1 13 2a ， 1 n a 是首项为 3 2 ，公差为 3 2 的等差数列， 1333 (1) 222 n nn a ， 2 3 n a n . （2）由（1） 1 41411 9(1)91 nn a a n nnn . 4111114144 11 922319199(1) n S nnnn . * nN， 444 99(1)9n ，即 4 9 n S . 19.解： （1） （i）易得表中数据36m，0.16n； （ii）22 列联表为： 改进技术前 改进技术后 合计 合格品 172 192
20、364 次品 28 8 36 合计 200 200 400 将 22 列联表中数据代入公式计算， 2 2 400 (172 8 192 28) 12.2103.841 200 200 364 36 K ， 故有 95%的把握认为该手工制品的合格数量与改进技术有关. （2）根据（1）中可知改进技术后的合格率为 192 96% 200 ， 改进技术前的合格率为 172 86% 200 ，96%86%， 所以工人在改进技术后手工制品的合格率更高，产品质量更高. 20.解： （1）设 1 AB交 1 AB于点O，连接 1 C O， 因为四边形 11 ABB A为菱形， 11 3 AAB ，所以 111
21、 2ABAB， 1 3AO， 所以 11 ABC为等边三角形，即可得 1 3CO. 在 11 OAC中， 222 1111 OAOCAC， 11 2 AOC ，即 11 COAB. 又知 11 ABAB， 11 COABO， 1 C O， 1 AB 平面 11 ABC， 所以 1 AB 平面 11 ABC. （2）由（1）易知 1 CO 平面 11 ABB A，所以OA， 1 OA， 1 OC两两垂直. 以O为坐标原点，分别以OA， 1 OA， 1 OC为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则 1(0, 3,0) A， (0,3,0)B， 1( 1,0,0) B ， 1(0,0, 3) C，
22、 11 ( 1,3,0)AB ， 11 (1,0, 3)BC ， 设平面 111 ABC的法向量为( , , )nx y z， 11 11 30 30 n ABxy n BCxz ，令3x ，则( 3, 1, 1)n . 又知 1 (0, 2 3,0)AB . 设直线 1 AB与平面 111 ABC所成角为，则 1 1 2 35 sin 552 3 | n AB nAB ， 所以直线 1 AB与平面 111 ABC所成角的正弦值 5 5 . 21.解： （1）当2a时， 2(1) ( )ln 1 x f xx x ，定义域为(0,). 22 222 4121(1) ( )0 (1)(1)(1)
23、 xxx fx xxx xx x . 函数( )f x的单调递减区间为(0,)，无单调递增区间. （2） (1) ( )ln 1 a x f xx x ， 2 22 212(1)1 ( ) (1)(1) axa x fx xxx x ，(1)0f，(1)1 2 a f ， 由(1)10 2 a f 可得2a.当2a时， 222 2(1)121(1)0 xa xxxx . 即( )0fx，所以函数( )f x在(1,)上单调递减，所以( )(1)0f xf.满足题意; 当2a时，(1)0 f ， 2 41 (2 )0 2 (21) a fa aa ， 所以存在 0 (1,2 )xa，使得 0 0
24、fx， 且易知( )f x在 0 1,x上单调递增，在 0, x 上单调递减， 即 0 (1)0f xf，不合题意，舍去. 综上所述，实数a的取值范围为(,2. 22 解： （1）由题焦点,0 2 p F ，准线2x， 因为以F为圆心，|PF为半径的圆与C的准线相切， 所以| 1 2 p rPFp ，解得2p ， 所以抛物线C的方程为 2 4yx. （2）由题设 11 ,A x y， 22 ,B x y，易知直线l的斜率存在，记为k，则设直线: l ykxm，与 2 4yx 联立得 2 440kyym， 得 12 4 yy k ， 12 4m yy k ， 则 22 2 12 121212 2 142 2 444 yym xxyyy y kk ， 222 12 12 2 44 yym x x k ， 12 1212 164 OAOB yyk kk xxyym ， 21121212 12 121212 24 QAOB xkxmx kxmkx xm xxyy kk xxx xx xm . 又知tan OA k，tan OB k， 4 4 tantan tan()tan1 4 1 tantan14 1 OB OAOB kk m k kk m ， 解得44mk，所以直线:44(4)4l ykxkk x，恒过定点4,4.
