1、空气动力学基础 Northwestern Polytechnical University,XIAN 航天学院空气动力学教学组2课程内容安排2第二章 流体力学基本原理和方程 第三章 不可压理想流体绕物体的流动第四章 高速可压缩流基础知识第五章 一维定常可压缩管内流动第六章 附面层和黏性流动第一章 流体力学基础知识 第七章 绕翼型的低速流动第八章 绕翼型的可压缩流动3课程内容安排3第二章 流体力学基本原理和方程 第三章 不可压理想流体绕物体的流动第四章 高速可压缩流基础知识第五章 一维定常可压缩管内流动第六章 附面层和黏性流动第一章 流体力学基础知识 第七章绕翼型的低速流动第八章绕翼型的可压缩流
2、动第二章 流体力学基本原理和方程42-2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析2-3 旋涡运动旋涡运动2-5 欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分2-1 流场流场2-4 连续方程和流函数连续方程和流函数2-6 能量方程能量方程运动学运动学动力学动力学52-2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析2-3 旋涡运动旋涡运动2-5 欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分2-1 流场流场2-4 连续方程和流函数连续方程和流函数2-6 能量方程能量方程第二章 流体力学基本原理和方程5第二章流体力学基本原理和方程 2-1 流场u 流场及其描述方法6流场流场充满着运动流体的空间。充满着运动流体的空间。
3、流动参数流动参数流体运动特征的物理量：速度、密度、压强。流体运动特征的物理量：速度、密度、压强。当地法当地法描述方法描述方法随体法随体法拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法质点轨迹：质点轨迹：000(,)xy z trr参数分布：参数分布：B=B（x,y,z,t）研究流场各个研究流场各个质点质点的运动参数随时间的变化规律和运动轨迹的运动参数随时间的变化规律和运动轨迹研究流体质点通过研究流体质点通过空间固定点空间固定点时，运动参数随时间的变化规律时，运动参数随时间的变化规律欧拉方法：同时描述所有质点的瞬时参数，直接反映参数的空间分布欧拉方法：同时描述所有质点的瞬时参数，直接反映参数的空间分布第二章
4、流体力学基本原理和方程2-1 流场u流场及其描述方法7(,)x y z t欧拉法：流场中的运动参数是空间点坐标欧拉法：流场中的运动参数是空间点坐标和时间的函数和时间的函数流场中变量流场中变量 分布分布导数导数速度场、压强场、密度场、温度场速度场、压强场、密度场、温度场某流体质点的某流体质点的 随时间的变化，拉格朗日系下的时间导数随时间的变化，拉格朗日系下的时间导数ddtddt在欧拉参系下的表达式（在欧拉参考系下推导）在欧拉参系下的表达式（在欧拉参考系下推导）t),(tzyxtt),(ttzzyyxxtt01lim(,)(,)tdxx yy zz ttx y z tdtt时刻时刻时刻时刻泰勒展开
5、泰勒展开(,)xx yy zz tt0limxyztxyzvvvttxtytztxyz(,)x y z txxyzyz第二章流体力学基本原理和方程2-1 流场u流场及其描述方法8(,)x y z t欧拉法：流场中的运动参数是空间点坐标欧拉法：流场中的运动参数是空间点坐标和时间的函数和时间的函数流场中变量流场中变量 分布分布导数导数速度场、压强场、密度场、温度场速度场、压强场、密度场、温度场某流体质点的某流体质点的 随时间的变化，拉格朗日系下的时间导数随时间的变化，拉格朗日系下的时间导数ddtddt在欧拉参系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导）在欧拉参系下的表达式（在拉格朗日参考系下推导）8zy
6、x,tzyx,000ttzyxztzyxytzyxxtzyx),(),(),(),(000000000000,xyzddtt此时此时 不再是独立变量，而是不再是独立变量，而是 的函数的函数000000000,x y zy z txyzxyzx y txyzx z txxyztxtytztxyzvvvtxyz000000000(,)(,)(,)xx xyz tyy xyz tzz xyz t表示空间固定点处表示空间固定点处的流体质点速度随的流体质点速度随时间的变化率，称时间的变化率，称为为当地加速度当地加速度。是。是由流场中速度随时由流场中速度随时间的变化性引起的。间的变化性引起的。反映了在同一
7、瞬时，反映了在同一瞬时，流体质点沿其速度流体质点沿其速度矢量方向从空间一矢量方向从空间一点转移到另一点速点转移到另一点速度的变化率，称为度的变化率，称为迁移加速度迁移加速度。迁移。迁移加速度是由流场的加速度是由流场的不均匀性引起的。不均匀性引起的。流场中速度分布流场中速度分布流场中某点流体质点的加速度流场中某点流体质点的加速度或或第二章流体力学基本原理和方程2-1 流场u流场及其描述方法9xxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzdvvvvvavvvdttxyzdvvvvvavvvdttxyzdvvvvvavvvdttxyz xyzdvvvdttxyzxyzdavvvdttxyzv
8、vvvv(,)x y z tvv(,)(,)(,)xxyyzzvvx y z tvvx y z tvv x y z t第二章流体力学基本原理和方程2-1 流场u流场及其描述方法10 xyz ijk xyzdvvvdttxyz定常流场定常流场 0t非定常流场非定常流场 0t均匀流场均匀流场 0,0,00orxyz非均匀流场非均匀流场 0000orororxyz ddtt()ddttv流体不可压是指流体质点的密度运动过程中不变，即流体不可压是指流体质点的密度运动过程中不变，即流体均质，则流体均质，则若流体既均质，同时不可压，则若流体既均质，同时不可压，则00ddt0ddt0t0梯度梯度 v xyz
9、vvvtxyz引入哈密顿算子引入哈密顿算子10第二章流体力学基本原理和方程2-1 流场u迹线、流线和流管11流场中运动流体质点在一段时间内所流场中运动流体质点在一段时间内所经过的所有空间点的集合。经过的所有空间点的集合。流线流线各点的流体质点速度与曲线在该各点的流体质点速度与曲线在该点的切线重合的空间曲线点的切线重合的空间曲线迹线迹线拉格朗日法拉格朗日法000()x,y,z,trr欧拉法欧拉法ddd(,)(,)(,)xyzxyzv x y z tv x y z tv x y z t第二章流体力学基本原理和方程2-1 流场12流线流线各点的流体质点速度与曲线在该各点的流体质点速度与曲线在该点的切
10、线重合的空间曲线点的切线重合的空间曲线cos()cos()cos()xyzvdxdsvdydsvdzds,i,j,zvvvvvv流线的微分方程流线的微分方程 xyzdxdydzvvv12u流线（1）流线形状在定常流场中不随时间变化）流线形状在定常流场中不随时间变化（2）定常流场中经过某一点的流线和经过该点的迹线重合定常流场中经过某一点的流线和经过该点的迹线重合（3）一般情况下流线不会相交。一般情况下流线不会相交。但有三种情况例外：但有三种情况例外：1）在速度为零的点上）在速度为零的点上 3）在速度无穷大的点上）在速度无穷大的点上 2）流线相切）流线相切 驻点驻点上下速度不等，但在上下速度不等，
11、但在B点相切点相切O点速度无穷大，流线相交点速度无穷大，流线相交（4）流场中所有流线的集合称流线谱或简称流谱。）流场中所有流线的集合称流线谱或简称流谱。第二章流体力学基本原理和方程2-1 流场13u流线xvaxyvay 例例2-1 2-1 已知二维定常不可压流动的速度分布为已知二维定常不可压流动的速度分布为a为常数。求通过点为常数。求通过点P(2(2，1)1)的流线方程。的流线方程。，dxdyxy 1ln xyC()xyC常数解：解：由流线的微分方程由流线的微分方程积分后可得积分后可得由由P P点坐标点坐标 得得C C2 2。2xy过过P P点的流线为点的流线为可见流线是等边双曲线，以可见流线
12、是等边双曲线，以x x，y y轴为渐近线，轴为渐近线，若以若以x x，y y轴同时当作固壁，且只研究在第一象轴同时当作固壁，且只研究在第一象限的流动，上述流动为直角内的流动。限的流动，上述流动为直角内的流动。第二章流体力学基本原理和方程2-1 流场14u流线流管是由流线构成流管是由流线构成流体不能穿出或穿入流管表面流体不能穿出或穿入流管表面在任意瞬时，流场中的流管类似于在任意瞬时，流场中的流管类似于真实的固体管壁。真实的固体管壁。流场中的流管流场中的流管在流场中取一条不为流线的封闭曲线在流场中取一条不为流线的封闭曲线C C，过曲线，过曲线C C上每一点作流线，上每一点作流线，由这些流线集合构成
13、的管状曲面由这些流线集合构成的管状曲面第二章流体力学基本原理和方程2-1 流场u流管15流量不能穿越流管表面流量不能穿越流管表面()nmdv dv n()nQdv dv n 流量流量是单位时间内穿过指定截面的流体量是单位时间内穿过指定截面的流体量第二章流体力学基本原理和方程2-1 流场体积流量体积流量质量流量质量流量u流量16第二章 流体力学基本原理和方程17172-2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析2-3 旋涡运动旋涡运动2-5 欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分2-1 流场流场2-4 连续方程和流函数连续方程和流函数2-6 能量方程能量方程第二章 流体力学基本原理和方程1818
14、2-2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析2-3 旋涡运动旋涡运动2-5 欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分2-1 流场流场2-4 连续方程和流函数连续方程和流函数2-6 能量方程能量方程第二章流体力学基本原理和方程2-2 流体微团运动的分析u流体微团的运动分析19流体运动：平移运动流体运动：平移运动+旋转运动旋转运动+变形运动变形运动(直线变形直线变形+剪切变形剪切变形)刚体运动：平移运动刚体运动：平移运动+旋转运动旋转运动 质点运动：平移运动质点运动：平移运动取一个矩形流体微团取一个矩形流体微团ABCD，B，D两点的速度可用泰勒级数在两点的速度可用泰勒级数在A点点展开表达，忽略二阶
15、以上小量展开表达，忽略二阶以上小量xBxxxvvvxyByyxvvvxyDyyyvvvyxDxxyvvvyyByyxvvvxxBxxxvvvxB点相对点相对A点在两个方向的速度为点在两个方向的速度为D点相对点相对A点在两个方向的速度为点在两个方向的速度为A点流体微团的分速度点流体微团的分速度yv20 xvyx两边的边长分别为小量两边的边长分别为小量第二章流体力学基本原理和方程2-2 流体微团运动的分析u流体微团的运动分析第二章流体力学基本原理和方程2-2 流体微团运动的分析u流体微团的运动分析21xBxxxvvvxyByyxvvvxxDxxyvvvyyDyyyvvvy平动速度平动速度直线变形速
16、度直线变形速度转动角速度转动角速度21直线变形速度直线变形速度 矩形矩形ABCD的面积相对变化率为的面积相对变化率为推广到三维推广到三维 流体微团体积的相对变化率为三个方向变形率的代数和流体微团体积的相对变化率为三个方向变形率的代数和在在 时间内时间内22dSS dtAB ADAB ADAB AD dtdS dtyxvSvxyxxvxyyvyxxvABABdtxyyvADADdtydVV dtyxzvvvxyzdt第二章流体力学基本原理和方程2-2 流体微团运动的分析u流体微团的运动分析 规定逆时针转动为正规定逆时针转动为正ADAD边的转动角速度为：边的转动角速度为：ABAB边的转动角速度为：
17、边的转动角速度为：相对速度相对速度yxvxxyvy表示表示ABAB边和边和ADAD边绕边绕A A点为瞬时轴的转动点为瞬时轴的转动1/yyxxvvddtxx2/xxyyvvddtyy第二章流体力学基本原理和方程2-2 流体微团运动的分析u流体微团的运动分析2312yxzvvxy12yxzvvxyzz轴转动角速度的平均值定义为微团绕轴转动角速度的平均值定义为微团绕轴轴转动角速度转动角速度xOyz定义微团在定义微团在平面投影中两条互相垂直线绕平面投影中两条互相垂直线绕z两条垂直线在单位时间内的两条垂直线在单位时间内的夹角变化量之半定义为微团夹角变化量之半定义为微团在在 轴上的轴上的角变形率角变形率第
18、二章流体力学基本原理和方程2-2 流体微团运动的分析u流体微团的运动分析24平移运动平移运动旋转运动旋转运动直线变形直线变形剪切变形剪切变形121212yzxxzyyxzvvyzvvzxvvxy121212yzxxzyyxzvvyzvvzxvvxy三维情况，流体微团的转动角速度和角变形率分别为三维情况，流体微团的转动角速度和角变形率分别为第二章流体力学基本原理和方程2-2 流体微团运动的分析,xyzv v vv,xyz,xyz,yxzvvvxyz u流体微团的运动分析25流体微团的运动可以是一种或几种运动的组合。如：流体微团的运动可以是一种或几种运动的组合。如：（1）均速直线运动，流体微团只有
19、平动，无转动和变形运动。）均速直线运动，流体微团只有平动，无转动和变形运动。（2）无旋流动，流体微团存在平动、变形运动，但无转动。）无旋流动，流体微团存在平动、变形运动，但无转动。（3）旋转容器内的流体运动，流体微团存在转动，但无平动、无变形运动。）旋转容器内的流体运动，流体微团存在转动，但无平动、无变形运动。微团运动平动线变形（拉伸）角变形角速度（转动）第二章流体力学基本原理和方程2-2 流体微团运动的分析26速度散度标定流体微团在运动速度散度标定流体微团在运动过程中的过程中的相对体积变化率相对体积变化率左、右侧平面流入控制体的体积流量为左、右侧平面流入控制体的体积流量为取空间一固定六面体，
20、中心速度取空间一固定六面体，中心速度 各面上速度用中心点值展开各面上速度用中心点值展开X X轴轴和和xyzv,v,v2xxxvvx2xxxvvx2xxxyzvvx 2xxxyzvvx xxyzvx 27yxzvvvdivxyz vv各速度分量在其分量方向上的方向导数之和各速度分量在其分量方向上的方向导数之和第二章流体力学基本原理和方程2-2 流体微团运动的分析u散 度净流出体积流量净流出体积流量速度散度标定流体微团在运动速度散度标定流体微团在运动过程中的过程中的相对体积变化率相对体积变化率28各速度分量在其分量方向上的方向导数之和各速度分量在其分量方向上的方向导数之和第二章流体力学基本原理和方
21、程2-2 流体微团运动的分析u散 度在体积趋于零时的体积流量在体积趋于零时的体积流量同理可得三个方向上的净流出体积流量同理可得三个方向上的净流出体积流量zyxyyvzyxzzv0limVV体积流出量 体积流入量yxzvvvxyzxxyzvx 单位时间内控制体体积净流出量单位时间内控制体体积净流出量=微团体积相对变化率微团体积相对变化率yxzvvvdivxyz vv全微分的充分必要条件全微分的充分必要条件柱极坐标柱极坐标旋转角速度的两倍旋转角速度的两倍2yyxxzzvvvvvvcurlyzzxxyvijk00yzvvyzxzvvzxyxvvxyxyzv dxv dyv dz(,)x y zxyz
22、dv dxv dyv dzdxdydzxyzrvr1vrzvz第二章流体力学基本原理和方程2-2 流体微团运动的分析u旋度和速度位v无旋运动（流场）无旋运动（流场）有旋运动（流场）有旋运动（流场）速度位（势流）速度位（势流）29例例2-2 2-2 在例在例2-12-1流场中，已知：流场中，已知：求速度位求速度位由速度位公式知由速度位公式知等位线等位线等边双曲线等边双曲线可知流场存在速度位函数可知流场存在速度位函数积分积分积分积分xvaxyvay xvxyvy211()2axfy221()2ayfx 221()2a xy=0yxvvxy3022()a xyC第二章流体力学基本原理和方程2-2 流
23、体微团运动的分析u旋度和速度位直角流动直角流动211()2fyay 221()2fxax解：解：0rv kvr。求流动的速度位函数。（。求流动的速度位函数。（k k为常数）为常数）解：解：假定流场存在速度位，应用速度位公式假定流场存在速度位，应用速度位公式例例2-3 2-3 有一二维流动，其流线族为圆心在原点的一系列同心圆有一二维流动，其流线族为圆心在原点的一系列同心圆0rvr1kvrrrvv 1f 2kfr0r 20fr 1fk第二章流体力学基本原理和方程2-2 流体微团运动的分析点涡流动点涡流动无旋流动无旋流动速度位存在速度位存在31u旋度和速度位第二章 流体力学基本原理和方程32322-
24、2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析2-3 旋涡运动旋涡运动2-5 欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分2-1 流场流场2-4 连续方程和流函数连续方程和流函数2-6 能量方程能量方程第二章 流体力学基本原理和方程33332-2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析2-3 旋涡运动旋涡运动2-5 欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分2-1 流场流场2-4 连续方程和流函数连续方程和流函数2-6 能量方程能量方程龙卷风、船尾的后面、河床的拐龙卷风、船尾的后面、河床的拐弯处以及水管的突然扩大处等，弯处以及水管的突然扩大处等，飞机在飞行时同样也会拖出旋涡。飞机在飞行时同样也会拖出旋涡。流
25、体的两种运动形式：流体的两种运动形式：无旋运动无旋运动=0有旋运动有旋运动0涡线：具有在某瞬时该曲线上微团的旋转角涡线：具有在某瞬时该曲线上微团的旋转角速度向量都和曲线相切的性质。速度向量都和曲线相切的性质。涡线微分方程式涡线微分方程式xyzdxdydz一般情况下一般情况下是坐标和时间的函数。是坐标和时间的函数。在定常流中在定常流中只是坐标的函数。只是坐标的函数。涡管：某瞬时涡管：某瞬时t t，在旋涡场中任取一条非涡线的，在旋涡场中任取一条非涡线的光滑封闭曲线，过该曲线的每一点作涡线，这些光滑封闭曲线，过该曲线的每一点作涡线，这些涡线形成的管状曲面称为涡管涡线形成的管状曲面称为涡管第二章流体力
26、学基本原理和方程2-3 旋涡运动u涡线、涡管及旋涡强度34流场、流线、流量流场、流线、流量涡场、涡线、涡量涡场、涡线、涡量35nddn2nddn旋度则是涡管截面趋于零时的涡管强度。旋度则是涡管截面趋于零时的涡管强度。第二章流体力学基本原理和方程2-3 旋涡运动u涡线、涡管及旋涡强度涡量涡量涡量强度涡量强度任意流动任意流动有旋流动有旋流动旋涡的通量不能穿越涡管表面旋涡的通量不能穿越涡管表面通过任一截面的涡通量通过任一截面的涡通量旋涡强度旋涡强度对流场中速度矢量沿任意一条指定曲线的线积分式对流场中速度矢量沿任意一条指定曲线的线积分式 BAdvsxyzvvvvijkddxdydzsijk()Bxyz
27、Av dxv dyv dz式中式中A，B为指定曲线的端点。为指定曲线的端点。BBAAd 当流场中有速度位存在时，速度矢量沿任意指定曲线的线积分只取决于积分当流场中有速度位存在时，速度矢量沿任意指定曲线的线积分只取决于积分曲线两端曲线两端B和和A速度位值之差，而和积分路径无关。所以在无旋流场中求速速度位值之差，而和积分路径无关。所以在无旋流场中求速度线积分时可以取得最方便的路线进行。度线积分时可以取得最方便的路线进行。无旋流场第二章流体力学基本原理和方程2-3 旋涡运动u速度环量与斯托克斯定理36d vs速度环量取逆时针积分方向为正速度环量取逆时针积分方向为正若积分路径为一闭合曲线，若积分路径为
28、一闭合曲线，速度线积分的值定义为速度环量，即速度线积分的值定义为速度环量，即在无旋流场中，如果速度位是单在无旋流场中，如果速度位是单值函数，则值函数，则0AAd 第二章流体力学基本原理和方程2-3 旋涡运动37u速度环量与斯托克斯定理速度的旋度速度的旋度=yyxxzzvvvvvvcurlyzzxxyvijk其分量形式为：其分量形式为：()()()yzxxxzyyyxzzvvcurlyzvvcurlzxvvcurlxyvvv速度环量速度环量LSdd vss()xyzLLdv dxv dyv dz vsxyzSSddijkss 第二章流体力学基本原理和方程2-3 旋涡运动38数学上的斯托克斯定理数
29、学上的斯托克斯定理yyxxzzsvvvvvvdyzzxxyijksu速度环量与斯托克斯定理旋涡流动的速度位和流函数分别为：旋涡流动的速度位和流函数分别为：20(/)2k r rdk2vr39ndds vs第二章流体力学基本原理和方程2-3 旋涡运动速度环量速度环量旋涡强度旋涡强度点涡强度点涡强度(/2)(/2)lnr 沿空间任一封闭曲线沿空间任一封闭曲线L L上的环上的环量，等于贯穿以此曲线所成的量，等于贯穿以此曲线所成的任意曲面上旋度的面积分任意曲面上旋度的面积分例例2-3的点涡流动的点涡流动/vk r该流动除原点该流动除原点 r=0 外，处处是无旋的。外，处处是无旋的。d vs(/)dk
30、r rdvsu速度环量与斯托克斯定理由旋涡产生的速度称为由旋涡产生的速度称为诱导速度。诱导速度。在不可压流动中，强度为在不可压流动中，强度为的微段长度的微段长度dLdL涡线对周围流场所产生的诱导速度涡线对周围流场所产生的诱导速度dwdw34ddwrL r2sin4dwdLr涡线上的微段长度涡线上的微段长度流场中任意点至微段的距离流场中任意点至微段的距离方向垂直于方向垂直于ONM平面平面旋涡强度旋涡强度第二章流体力学基本原理和方程2-3 旋涡运动u直线涡的诱导速度及毕奥-萨瓦定律40dLdL和和r r的夹角的夹角一段直线涡诱导速度一段直线涡诱导速度2sin4dwdLr2sin4BBAAwdwdL
31、r作作MCh垂直于垂直于AB，由图几何关系，由图几何关系sinFDEFdLsinrddLsinhr2112sin(coscos)44wdhh 212hw4102hw2第二章流体力学基本原理和方程2-3 旋涡运动u直线涡的诱导速度及毕奥-萨瓦定律41定理一定理一：在同一瞬间沿涡线或涡管的旋涡强度不变。：在同一瞬间沿涡线或涡管的旋涡强度不变。定理二定理二：涡线不能在流体中中断；只能在流体边界涡线不能在流体中中断；只能在流体边界上中断或形成闭合圈。上中断或形成闭合圈。定理三定理三：在理想流中，涡的强度不随时间变化，在理想流中，涡的强度不随时间变化，既不会增强也不会削弱或消失。既不会增强也不会削弱或消
32、失。第二章流体力学基本原理和方程2-3 旋涡运动u海姆霍兹旋涡定理流流体黏性体黏性旋涡运动旋涡运动流场效应流场效应理想流体理想流体42第二章 流体力学基本原理和方程43432-2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析2-3 旋涡运动旋涡运动2-5 欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分2-1 流场流场2-4 连续方程和流函数连续方程和流函数2-6 能量方程能量方程第二章 流体力学基本原理和方程44442-2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析2-3 旋涡运动旋涡运动2-5 欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分2-1 流场流场2-4 连续方程和流函数连续方程和流函数2-6 能量方程能量方
33、程第二章流体力学基本原理和方程2-4 连续方程和流函数45三大守恒定律三大守恒定律质量守恒动量守恒能量守恒连续方程能量方程动量方程动力学三大方程动力学三大方程推推广广到到流流体体中中45yxzxyzvvvdtxyz dt时间内，流出六面体的总质量为时间内，流出六面体的总质量为：t t时刻六面体内流体的平均密度为时刻六面体内流体的平均密度为，t+dtt+dt时的平均密度为时的平均密度为 ，在在dtdt内由密度的变化使六面体内增加的流体质量为内由密度的变化使六面体内增加的流体质量为dttxyzdtt 流出六面体的总质量流出六面体的总质量=六面体内总质量的减少六面体内总质量的减少0yxzvvvtxy
34、z第二章流体力学基本原理和方程2-4 连续方程和流函数u连续方程=体积流量 密度质量流量46定常可压流体定常可压流体0t0yxzvvvxyz0yxzxyzvvvvvvtxyzxyz全导数全导数矢量表达矢量表达0yxzvvvtxyz()0divtv()0divv0yxzvvvddtxyz470ddt v()0tv第二章流体力学基本原理和方程2-4 连续方程和流函数u连续方程ddt定常不可压缩流体定常不可压缩流体0yxzvvvxyz0div v柱极坐标系下柱极坐标系下10rzrvvvvrrz()0divv0yxzvvvxyz0yxzvvvtxyzconst or0ddt第二章流体力学基本原理和方程
35、2-4 连续方程和流函数u连续方程定常可压缩流体定常可压缩流体连续方程连续方程 质量方程质量方程48二维定常不可压缩流动二维定常不可压缩流动0yxvvxyxydv dyv dxddydxyx xvyyvx 0 xyv dyv dxxydxdyvv第二章流体力学基本原理和方程2-4 连续方程和流函数u流函数x,y称为流函数x,y=C为一条流线491,rvvrr 在二维不可压流场上作一条曲线。求单位在二维不可压流场上作一条曲线。求单位时间，流过单位长度的体积流量时间，流过单位长度的体积流量Q Q法向速度法向速度VnVn：通过微小面积通过微小面积dsds*1 1的流量的流量1nndQv dsv ds
36、 cos(,)cos(,)nxyvvn xvn ycos(,)dyn xdscos(,)dxn yds0yxvvxyxydv dyv dx第二章流体力学基本原理和方程2-4 连续方程和流函数u流函数二维定常不可压缩流动二维定常不可压缩流动x,y称为流函数50第二章流体力学基本原理和方程2-4 连续方程和流函数u流函数二维定常不可压缩流动二维定常不可压缩流动x,y称为流函数51则沿则沿M1，M0截面的总流量截面的总流量0yxvvxyxydv dyv dx1nndQv dsv ds cos(,)cos(,)nxyvvn xvn yxydQv dyv dxdQd11001010()()MMMMQdQ
37、dMM=两条流线所界定的流管流量 两流线流函数之差流函数与速度位的关系流函数与速度位的关系 取速度位梯度与流函数梯度的数性积（点积）取速度位梯度与流函数梯度的数性积（点积）等位线族（等位线族（=C的曲线族）与流线族正交的曲线族）与流线族正交 xyvxyvyx()()gradgradxyxyijijxxyyxyxy0第二章流体力学基本原理和方程2-4 连续方程和流函数u流函数52例例 2-5 2-5 已知一二维均匀直线流动，已知一二维均匀直线流动，vx=A；vy=B。A，B为常数，求流场的流函数及速为常数，求流场的流函数及速 度位。度位。解解:由流函数公式得由流函数公式得xvAyyvBx积分积分
38、1()Ayf x2()Bxfy 解的同解的同一性一性1()f xBx 2()fyAyAyBx流函数流函数由速度位公式得由速度位公式得xvAxyvBy积分积分 1()Axf y2()Byfx解的同解的同一性一性 1()f yBy2()fxAxAxBy速度位速度位第二章流体力学基本原理和方程2-4 连续方程和流函数53u流函数流线的斜率为：流线的斜率为：sdyBdxA等位线的斜率为等位线的斜率为pdyAdxB 1spdydydxdx 有正交性有正交性54AyBxAxBy流函数流函数速度位速度位第二章流体力学基本原理和方程2-4 连续方程和流函数u流函数例例 2-5 2-5 已知一二维均匀直线流动，
39、已知一二维均匀直线流动，vx=A；vy=B。A，B为常数，求流场的流函数及速为常数，求流场的流函数及速 度位。度位。解解:例例 2-6 2-6 设二维不可压流动中设二维不可压流动中 ，。求满足质量守恒定律所要求的。求满足质量守恒定律所要求的 的的表达式及流函数和速度位。表达式及流函数和速度位。()rvf r0v()f r解解:10rzrvvvvrrz10rrdvvdrr积分得积分得rkvr在极坐标系中在极坐标系中1rvrvr 积分得积分得 1kfr 2f比较系数得比较系数得k常数常数k由通过半径为由通过半径为r的圆周的体积流量求出的圆周的体积流量求出22rQrvk2Qk体积流量：体积流量：得得
40、该流场的流线族为所有通过坐标原点的直线组成，即流线在原点处相交。该流场的流线族为所有通过坐标原点的直线组成，即流线在原点处相交。2Q第二章流体力学基本原理和方程2-4 连续方程和流函数55u流函数2rQvrr10vr积分得积分得 1ln2Qrf 2fr由解的同由解的同一性可得一性可得 10f 2ln2Qfrrln2Qr流场的等位线族是由一系列圆心在原点的同流场的等位线族是由一系列圆心在原点的同心圆组成。心圆组成。流线族与等位线族是互相正交的。流线族与等位线族是互相正交的。第二章流体力学基本原理和方程2-4 连续方程和流函数56u流函数例例 2-6 2-6 设二维不可压流动中设二维不可压流动中
41、，。求满足质量守恒定律所要求的。求满足质量守恒定律所要求的 的的表达式及流函数和速度位。表达式及流函数和速度位。()rvf r0v()f r解解:第二章 流体力学基本原理和方程57572-2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析2-3 旋涡运动旋涡运动2-5 欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分2-1 流场流场2-4 连续方程和流函数连续方程和流函数2-6 能量方程能量方程第二章 流体力学基本原理和方程58582-2 流体微团运动的分析流体微团运动的分析2-3 旋涡运动旋涡运动2-5 欧拉运动方程及其积分欧拉运动方程及其积分2-1 流场流场2-4 连续方程和流函数连续方程和流函数2-6 能
42、量方程能量方程在理想流体中，应用牛顿第二定律建立的在理想流体中，应用牛顿第二定律建立的流体微团力和加速度之间的微分关系式流体微团力和加速度之间的微分关系式微团单位体积上的力：表面力和质量力微团单位体积上的力：表面力和质量力 ddtvF2xppx左侧表面：左侧表面：2xyzppx 右侧表面：右侧表面：2xyzppx 2xxppX X方向合力方向合力5922xxyzyzxyzpppppxxx 第二章流体力学基本原理和方程2-5 欧拉运动方程及其积分u欧拉方程微团六面体中心点坐标微团六面体中心点坐标 压强为压强为p,x y z在理想流体中，应用牛顿第二定律建立的在理想流体中，应用牛顿第二定律建立的流
43、体微团力和加速度之间的微分关系式流体微团力和加速度之间的微分关系式微团单位体积上的力：表面力和质量力微团单位体积上的力：表面力和质量力 ddtvF第二章流体力学基本原理和方程2-5 欧拉运动方程及其积分u欧拉方程60设设X，Y，Z表示的彻体力（质量力）在表示的彻体力（质量力）在x，y，z轴上的投影流体的质量轴上的投影流体的质量xyz 质量力质量力表面力表面力加速度加速度x质量质量X轴方向的关系式轴方向的关系式22xxyzyzxyzpppppxxx xxyzxyzxyzdvpXxdt 1xdvpXxdt111xyzdvpXxdtdvpYydtdvpZzdt欧拉运动方程：欧拉运动方程：直角坐标系直
44、角坐标系中理想流体的运动微分方程中理想流体的运动微分方程欧拉方程组既可用到理想可压流，也可以应用到理想不可压流。欧拉方程组既可用到理想可压流，也可以应用到理想不可压流。微分式规定了气流里压强的变化与速度的变化及彻体力的关系。微分式规定了气流里压强的变化与速度的变化及彻体力的关系。61111xxxxxyzyyyyxyzzzzzxyzvvvvpXvvvxtxyzvvvvpYvvvytxyzvvvvpZvvvztxyz纳维纳维-斯托克斯方程斯托克斯方程正加速度将产生负压强梯度；流速下降的过程对应于压强上升。正加速度将产生负压强梯度；流速下降的过程对应于压强上升。第二章流体力学基本原理和方程2-5 欧
45、拉运动方程及其积分u欧拉方程+黏性黏性力力第二章流体力学基本原理和方程2-5 欧拉运动方程及其积分u欧拉方程621yxxxxzxyzyzvvvvvvpXvvvvvxtxyzxx欧拉运动微分方程组其它形式欧拉运动微分方程组其它形式1yyxxxxzzxyzyzvvvvvvvvpXvvvvvxtxxxyxzx222222xyzvvvvxx212xzyyzvpvXvvxxtzy62222121212xzyyzyxzzxzyxxyvpvXvvxxtvpvYvvyytvpvZvvzzt欧拉运动微分方程组式其它形式欧拉运动微分方程组式其它形式:第二章流体力学基本原理和方程2-5 欧拉运动方程及其积分u欧拉方
46、程63无旋流中的积分无旋流中的积分222121212xyzvUpvdxdxdxdxxxtxvUpvdydydydyyytyvUpvdzdzdzdzzztz旋度为零旋度为零UXxUYyUZz分别乘以分别乘以dxdx，dydy，dzdz考虑重力考虑重力U U的影响的影响642102xvpvXxxt第二章流体力学基本原理和方程2-5 欧拉运动方程及其积分u伯努利方程利用利用xvttx 求和得求和得 2112dd vdpdUt无旋流中的积分无旋流中的积分222121212xyzvUpvdxdxdxdxxxtxvUpvdydydydyyytyvUpvdzdzdzdzzztz第二章流体力学基本原理和方程2
47、-5 欧拉运动方程及其积分u伯努利方程65UUUdxdydzxyzxt 1pppdxdydzxyz/tttdxdydzxyz 222/2/2/2vvvdxdydzxyz利用利用xvttx 求和得求和得 2112dd vdpdUt积分得积分得 2()2dpvUf tt此积分称为拉格朗日积分，可用于可此积分称为拉格朗日积分，可用于可压缩非定常位流。压缩非定常位流。无旋流中的积分无旋流中的积分222121212xyzvUpvdxdxdxdxxxtxvUpvdydydydyyytyvUpvdzdzdzdzzztz第二章流体力学基本原理和方程2-5 欧拉运动方程及其积分u伯努利方程66xt（1）对不可压
48、缩流体，）对不可压缩流体，为常数。为常数。2()2pvUf tt不可压伯努利方程为：不可压伯努利方程为：（2）对不可压定常流体，）对不可压定常流体，0,()f tCt22pvUC不可压定常流伯努利方程为：不可压定常流伯努利方程为：212vpUC空气的绕流问题中，重力可以略去空气的绕流问题中，重力可以略去212pvCC为总压为总压2012ppv无旋流中的积分无旋流中的积分672()2dpvUf tt压力能压力能动能动能位能位能机械能机械能总压：驻点处压强总压：驻点处压强静压静压动压动压第二章流体力学基本原理和方程2-5 欧拉运动方程及其积分u伯努利方程例例2-7 2-7 用文德利管测流量。用文德
49、利管测流量。解解:已知已知A1和和A2的面积。的面积。假定文德利管是水平放置，则管道中流体假定文德利管是水平放置，则管道中流体的流动不受重力的影响，按伯努利方程的流动不受重力的影响，按伯努利方程2211221122pvpv用连续方程用连续方程2121AvvA代上式得代上式得22212212()/(1/)/vppAAm s322/Qv Ams体积流量是体积流量是第二章流体力学基本原理和方程2-5 欧拉运动方程及其积分u伯努利方程68例例2-8 2-8 在海平面上，有低速直匀流在海平面上，有低速直匀流v流过一个翼型，远前方直匀流的静压流过一个翼型，远前方直匀流的静压已知已知A,B,CA,B,C三点
50、的速度分别是：三点的速度分别是：2101200/ppN m100/vm s,流速：流速：空气在海平面的密度空气在海平面的密度 。求求A,B,CA,B,C三点的压强。三点的压强。0Av 150/Bvm s50/Cvm s 31.225kg/m解解:流动是无旋的，伯努利常数在全场上通用。根据远前方条件得流动是无旋的，伯努利常数在全场上通用。根据远前方条件得2201.225101200100107325(/)2pN m22001107325(/)2AAppvpN m2201107325 0.6125 2250093544/2BBppvN m2201107325 1531 105790/2CCppvN
