1、为科学而疯的人为科学而疯的人康托尔康托尔 (18451918) 集合的概念集合的概念 问题提出问题提出 “集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为: 许多的人或物聚在一起许多的人或物聚在一起. 在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言， 我们怎样理解数学中的我们怎样理解数学中的“集合”“集合”？ 知识探究（一）知识探究（一） 考察下列问题：考察下列问题： （1 1）1 12020以内的所有质数；以内的所有质数； （2 2）绝对值小于）绝对值小于3 3的整数；的整数； （3 3 平面上到定点平面
2、上到定点O O的距离等于定长的所有的点；的距离等于定长的所有的点； 思考思考1 1：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象 的全体分别形成一个的全体分别形成一个集合集合，集合中的每个对象都称为，集合中的每个对象都称为元素元素. . 上述上述3 3个集合中的元素分别是什么？个集合中的元素分别是什么？ 思考思考3 3：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中 的元素个数的多少是否有限制？的元素个数的多少是否有限制？ 思考思考2 2：一般地，怎样理解一般地，怎样理解“元素”“元素”与与“集合”“集合”？ 把研究的对象称
3、为把研究的对象称为元素元素，通常用小写拉丁字母，通常用小写拉丁字母a a，b b， c c，表示；表示；把一些元素组成的总体叫做把一些元素组成的总体叫做集合集合，简称集，简称集， 通常用大写拉丁字母通常用大写拉丁字母A A，B B，C C，表示表示. . 知识探究（二）知识探究（二） 任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元 素有什么特征？素有什么特征？ 思考思考1 1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由 此说明什么？此说明什么？ 集合中的元素必须是确定的集合中的元素必须是确定的 思考思考2 2：在一
4、个给定的集合中能否有相同的元素？在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此由此 说明什么？说明什么？ 集合中的元素是不重复出现的集合中的元素是不重复出现的 思考思考3 3：咱班的全体同学组成一个集合，调整座位后这咱班的全体同学组成一个集合，调整座位后这 个集合有没有变化？个集合有没有变化？由此说明什么？由此说明什么？ 集合中的元素是没有顺序的集合中的元素是没有顺序的 知识探究（三）知识探究（三） 思考思考1 1：设集合设集合A A表示“表示“1 12020以内的所有质数”，那以内的所有质数”，那 么么3 3，4 4，5 5，6 6这四个元素哪些在集合这四个元素哪些在集合A A中？哪些不在集合中？
5、哪些不在集合A A 中？中？ 思考思考2 2：对于一个给定的集合对于一个给定的集合A A，那么某元素，那么某元素a a与集合与集合A A 有哪几种可能关系？有哪几种可能关系？ 思考思考3 3：如果元素如果元素a a是集合是集合A A中的元素，我们如何用数中的元素，我们如何用数 学化的语言表达？学化的语言表达？ a a属于集合属于集合A A，记作，记作 aA 思考思考4 4：如果元素如果元素a a不是集合不是集合A A中的元素，我们如何用中的元素，我们如何用 数学化的语言表达？数学化的语言表达？ a a不属于集合不属于集合A A，记作，记作 aA 自然数集（非负整数集）：记作自然数集（非负整数集
6、）：记作 N N 正整数集：记作正整数集：记作 或或 * NN 整数集：记作整数集：记作 Z Z 有理数集：记作有理数集：记作 Q Q 实数集：记作实数集：记作 R R 知识探究（四）知识探究（四） 思考思考1 1：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实所有的自然数，正整数，整数，有理数，实 数能否分别构成集合？数能否分别构成集合？ 思考思考2 2：自然数集，正整数集，整数集，有理数集，自然数集，正整数集，整数集，有理数集， 实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？ 理论迁移理论迁移 1、下列条件、下列条件不能形成不能形成集合的是集合的是( ) A、
7、大于的所有整数、大于的所有整数 B、高中数学的所有难题、高中数学的所有难题 C、被除余的所有整数、被除余的所有整数 D、函数、函数 图象上所有的点图象上所有的点 B 2、下列条件能形成集合的是、下列条件能形成集合的是( ) A、充分小的负数全体、充分小的负数全体 B、爱好足球的人、爱好足球的人 C、中国的富翁、中国的富翁 D、某公司的全体员工、某公司的全体员工 案例探究案例探究 例例1 1 已知集合已知集合S S满足：满足： ，且当，且当 时时 , , 若若 ，试判断，试判断 是否属于是否属于S S，说明你的理由，说明你的理由. . 1SaS 1 1 S a 2S 1 2 例例2 设集合设集合
8、A=x|x=2k,k Z,B=x|x=2k+1,k Z。若若a A,b B, 试判断试判断a+b与与A,B的关系。的关系。 解：解： 题型题型1： 集合的概念集合的概念 题型题型2： 元素与集合的关系元素与集合的关系 题型题型3： 集合中元素的特征集合中元素的特征 作业：作业： 1 1、 2 2、 预习集合的表示方法。预习集合的表示方法。 集合的表示方法集合的表示方法 列举法列举法：把集合中的元素一一列举出来的：把集合中的元素一一列举出来的 方法方法. 注意注意:（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5） （6）对含有较多元素的集合对含有较多元素的集合，如果构成该集如果构成该集 合的元素具
9、有明显的规律合的元素具有明显的规律，可用列举法表可用列举法表 示示，但是必须把元素间的规律显示清楚后但是必须把元素间的规律显示清楚后， 才能用省略号表示才能用省略号表示. N*= 1,2,3,如 由 实数所组 成的集合用列举法表示为_。 33233 ,xxxxxx 例例1 1请用列举法表示下列集合：请用列举法表示下列集合： （1）小于5的正奇数. (2)能被3整除且大于4小于15的自然 数. （3）方程 的解的集合. 引：用列举法如何表示1到100连续 自然数的平方. 2 90 x 问：解决这类问题的关键 是什么？ 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法. 可分为：（1）文字描
10、述法用文字把元素 所具有的属性描述出来，如自然数 （2）符号描述法用符号把元素所具有 的属性描述出来，即x| P（x）或xA| P（x）等。 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。 例2请用描述法表示下列集合： （4）由适合 的所有解组成集合. （5）1/3,1/2,3/5,2/3,5/7. (6)方程组 的解集. 322 2327 xy xy 2 20 xx 例3用描述法分别表示: (1)抛物线 上的点. (2)抛物线 上点的横坐标. (3)抛物线 上点的纵坐标. 2 xy 2 xy 2 xy 补充练习补充练习 1.方程组 的解集用列举法表示 为_；用描述法表示为 . 2. 用列举法表
11、示为 . 2 5 xy xy ( , )|6,x yxyxN yN 集合之间的关系集合之间的关系 问题提出问题提出 1. 1. 的含义是什么？从子集的关系分析，的含义是什么？从子集的关系分析，A=BA=B可怎样理解可怎样理解？ AB 2.2.若若 ，则集合，则集合A A与与B B一定相等吗？一定相等吗？ AB 3.3.若若 ，则可能有，则可能有A=BA=B，也可能，也可能 . . 当当 ，且，且 时，我们如何进行数学解时，我们如何进行数学解 释？释？ ABAB ABAB 知识探究（一）知识探究（一） 考察下列两组集合：考察下列两组集合： （1 1）集合）集合A=1A=1，2 2，3 3，44与
12、与 （2 2）集合）集合A=0A=0，1 1，2 2，3 3，44与与 | 5BxNx | 5BxNx 思考思考1:1:上述两组集合中，集合上述两组集合中，集合A A与集合与集合B B之间的关系如何？之间的关系如何？ 思考思考2:2:上述两组集合中，集合上述两组集合中，集合A A都是集合都是集合B B的子集，这两个子集关系有什么不同？的子集，这两个子集关系有什么不同？ 思考思考3:3:为了区分这两种不同的子集关系，我们把（为了区分这两种不同的子集关系，我们把（1 1）中的集合）中的集合A A叫做集合叫做集合B B的真子集，的真子集， 那么如何定义集合那么如何定义集合A A是集合是集合B B的真
13、子集？的真子集？ 如果如果 ，但存在元素，但存在元素 且且 ，则称集合，则称集合A A是集合是集合B B的真子集的真子集. . ABxBxA 思考思考4:4:如果集合如果集合A A是集合是集合B B的真子集，我们怎样用符号表示？的真子集，我们怎样用符号表示？ ABBA或 思考思考5:5:若集合若集合A A是集合是集合B B的子集，则集合的子集，则集合A A一定是集合一定是集合B B的真子集吗？若集合的真子集吗？若集合A A是集合是集合B B的的 真子集，则集合真子集，则集合A A一定是集合一定是集合B B的子集吗？的子集吗？ 知识探究（二）知识探究（二） 考察下列集合：考察下列集合： （1 1
14、）x|xx|x是边长相等的直角三角形是边长相等的直角三角形 ； （2 2） ； （3 3） . . 2 |10 xR x | 20 xR x 思考思考1:1:上述三个集合有何共同特点？上述三个集合有何共同特点？ 集合中没有元素集合中没有元素 思考思考2:2:上述三个集合我们称之为空集，那么什么叫做空集？用什么符号表示？上述三个集合我们称之为空集，那么什么叫做空集？用什么符号表示？ 不含任何元素的集合叫做空集，记为不含任何元素的集合叫做空集，记为 思考思考3:3:对于集合对于集合A=1A=1，22，空集是集合，空集是集合A A的子集吗？的子集吗？ 规定：空集是任何集合的子集规定：空集是任何集合的
15、子集 思考思考4:4:空集与集合空集与集合00相等吗？二者之间是什么关系？相等吗？二者之间是什么关系？ 0 思考思考5:5:集合集合a,a,b,a,b,ca,a,b,a,b,c分别有多少个子集？分别有多少个子集？ 思考思考6:6:一般地，集合一般地，集合 共有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？共有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？ 123 , n a a aa 理论迁移理论迁移 例例1 1 已知集合已知集合M M满足满足M 1M 1，2 2，33，且集合，且集合M M中至少含有一个奇数，试写出所有的集合中至少含有一个奇数，试写出所有的集合M.M. 11，33，11，22，1
16、1，33，22，3 3 例例2 2 设集合设集合 ， ，若，若 A BA B，求实数，求实数m m的值的值. . |10Ax mx 1,2B m=0m=0或或 或或- -1 1 1 2 例例3 3 已知集合已知集合 ， , ,若若A BA B，求实数，求实数 的取值范围的取值范围. . 21 |1 3 x Ax |20Bx xa a 1a 例例4 4 已知集合已知集合 ， ，其中，其中 ，设集合，设集合 试试 确定集合确定集合M M中共有多少个元素中共有多少个元素. . ,1Ax ,1,2By ,1,2,9x y( , )|Mx yAB 14个 思考题思考题: :已知集合已知集合A= , B=
17、x|xA= , B=x|x0,0,若若A B,A B,求实数求实数 的取值范围的取值范围. . 2 |10 xR xax a 集合之间的关系集合之间的关系 问题提出问题提出 1.1.集合有哪两种表示方法？集合有哪两种表示方法？ 列举法，描述法列举法，描述法 2.2.元素与集合有哪几种关系？元素与集合有哪几种关系？ 属于、不属于属于、不属于 3.3.集合与集合之间又存在哪些关系？集合与集合之间又存在哪些关系？ 知识探究（一）知识探究（一） 考察下列各组集合：考察下列各组集合： （1 1）A=1A=1，2 2，33与与B=1B=1，2 2，3 3，4 4，55； （2 2）A= A= 与与B= .
18、 B= . （3 3）A=x|xA=x|x是正三角形是正三角形 与与B=x|xB=x|x是等腰是等腰 三角形三角形. |01xx | 1,x xxR 思考思考1:1:上述各组集合中，集合上述各组集合中，集合A A中的元素与集合中的元素与集合B B有什么关系？有什么关系？ A A中的元素都属于中的元素都属于B B 思考思考2:2:上述各组集合中上述各组集合中A A与与B B有包含关系，我们把集合有包含关系，我们把集合A A叫做集合叫做集合B B的子集的子集. . 一般地，如一般地，如 何定义集合何定义集合A A是集合是集合B B的子集？的子集？ 如果集合如果集合A A中任意一个元素都是集合中任意
19、一个元素都是集合B B中的元素，则称集合中的元素，则称集合A A为集合为集合B B的子集的子集. . 思考思考3:3:如果集合如果集合A A是集合是集合B B的子集，我们怎样用符号表示？的子集，我们怎样用符号表示？ （或（或 ），读作：“），读作：“A A包含于包含于B”B”（或“（或“B B包含包含A”A”） ABBA 思考思考4:4:我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为vennvenn图，那么，集合图，那么，集合A A 是集合是集合B B的子集用图形如何表示？的子集用图形如何表示？ A B 思考思考5:5:如果如果 ，且，且
20、，则集合，则集合A A与集合与集合C C的关系如何？的关系如何？ ABBC AC 思考思考6:6:怎样表述怎样表述 ， ， 两两之间的关系？两两之间的关系？ , a b aa , , , , aa aa baa b 知识探究（二）知识探究（二） 考察下列各组集合：考察下列各组集合： （1 1） 与与 ； （2 2） 与与 ； （3 3） 与与 . . | 33,AxxxZ 2, 1,0 1,2,3B 2 |20Ax xx 1,2B 2 |,Ay yxxR |,By yx xR 思考思考1:1:上述各组集合中，集合上述各组集合中，集合A A与集合与集合B B之间的关系如何？之间的关系如何？ 相等
21、相等 思考思考2:2:上述各组集合中，集合上述各组集合中，集合A A是集合是集合B B的子集吗？集合的子集吗？集合B B是集合是集合A A的子集吗？的子集吗？ 思考思考3 3：从子集的关系分析，在什么条件下集合从子集的关系分析，在什么条件下集合A A与集合与集合B B相等？相等？ ABBA且 理论迁移理论迁移 例例1 1 写出满足写出满足 的所有集的所有集 合合A.A. 1,21,2,3,4A 11，2,12,1，2 2，3,3,1，2，4，11，2 2，3 3，4 4 例例2 2 已知集合已知集合 ， , ,试确定集试确定集 合合A A与与 B B的关系的关系. . 2 |(1) ,0Ay
22、yxx 2 |1,By yxxxR AB 例例3 3 设集合设集合 ， , ,若若 ， 求实数求实数 的值的值. . 2 2,Aa1,2, BaAB a - -1 1或或0 0 例例4 4设集合设集合 ， ， 若若 ，求实数，求实数 的取值范围的取值范围. . | 21Axx |01Bxxa BA a 20a 思考题：思考题：已知集合已知集合A=1A=1，22， , , 若若 ，求实数，求实数 的值的值. . 2 |(1)0Bx xaxa BAa 问题提出问题提出 1.1.对于两个集合对于两个集合A A、B B，二者之间一定具有包含关系吗？试举例说明，二者之间一定具有包含关系吗？试举例说明.
23、. 2.2.两个实数可以进行加、减、乘、除四则运算，那么两个集合是否也可以进行某种运两个实数可以进行加、减、乘、除四则运算，那么两个集合是否也可以进行某种运 算呢？算呢？ 知识探究（一）知识探究（一） 考察下列两组集合：考察下列两组集合： （1 1）A=1A=1，3 3，55，B=1B=1，2 2，3 3，44， C=1C=1，2 2，3 3，4 4，55； （2 2） ， ， . . |02Axx |14Bxx |04Cxx 思考思考1:1:上述两组集合中，集合上述两组集合中，集合A A，B B与集合与集合C C的关系如何？的关系如何？ 思考思考2:2:我们把上述集合我们把上述集合C C称为
24、集合称为集合A A与与B B的并集，一般地，如何定义集合的并集，一般地，如何定义集合A A与与B B的并集？的并集？ 由所有属于集合由所有属于集合A A或属于集合或属于集合B B的元素组成的集合，称为集合的元素组成的集合，称为集合A A与与B B的并集的并集 思考思考3:3:我们用符号“我们用符号“ ”表示集合”表示集合A A与与B B的并集，并读作“的并集，并读作“A A并并B”B”，那么如何用描述法，那么如何用描述法 表示集合表示集合 ？ AB AB |,ABx xAxB或 A B AB 思考思考4:4:如何用如何用vennvenn图表示图表示 ？ 思考思考5:5:集合集合A A、B B与
25、集合与集合 的关系如何？的关系如何？ 与与 的关系如何？的关系如何？ AB ABBA AABBABABBA 思考思考6:6:集合集合 ， 分别等于什么？分别等于什么？ AAA ,AAAAA 思考思考7:7:若若 ，则，则 等于什么？反之成立吗？等于什么？反之成立吗？ ABAB ABABB 思考思考8 8: :若若 ，则说明什么？，则说明什么？ AB AB 知识探究（二）知识探究（二） 考察下列两组集合：考察下列两组集合： （1 1）A=1A=1，3 3，55，B=1B=1，2 2，3 3，44， C=1C=1，33； （2 2） ， ， |02Axx |14Bxx |12.Cxx 思考思考1:
26、1:上述两组集合中，集合上述两组集合中，集合A A，B B与集合与集合C C的关系如何？的关系如何？ 思考思考2:2:我们把上述集合我们把上述集合C C称为集合称为集合A A与与B B的交集，一般地，如何定义集合的交集，一般地，如何定义集合A A与与B B的交集？的交集？ 由属于集合由属于集合A A且属于集合且属于集合B B的所有元素组成的集合，称为集合的所有元素组成的集合，称为集合A A与与B B的交集的交集 思考思考3:3:我们用符号“我们用符号“ ”表示集合”表示集合A A与与B B的并集，并读作“的并集，并读作“A A交交B”B”，那么如何用描述法，那么如何用描述法 表示集合表示集合
27、？ AB AB |,ABx xAxB且 AB 思考思考4:4:如何用如何用vennvenn图表示图表示 ？ A B 思考思考5:5:集合集合A A、B B与集合与集合 的关系如何？的关系如何？ 与与 的关系如何？的关系如何？ AB ABBA AABBABABBA 思考思考6:6:集合集合 ， 分别等于什么？分别等于什么？ AAA ,AAAA 思考思考7:7:若若 ，则，则 等于什么？反之成立吗？等于什么？反之成立吗？ ABAB ABABA 思考思考8 8: :若若 ，则说明什么？，则说明什么？ AB AB或 集合集合A A与与B B没有公共元素或没有公共元素或 理论迁移理论迁移 例例1 1 写
28、出满足条件写出满足条件 的所有集合的所有集合M.M. 1212 3M ， ， 33，11，33，22，33，11，2 2，33 例例2 2 已知集合已知集合 ， , ,若若 ，求，求 2 |0Ax xax b 2 |0Bx xbxa1AB AB - -1 1，0 0，1 1 例例3 3 设集合设集合 ， （ 为常数），求为常数），求 |12Axx |0Bxxa0a .ABAB和 问题提出问题提出 2.2.对于任意两个集合，是否都可以进行交与对于任意两个集合，是否都可以进行交与 并的运算？并的运算？ 1.1.对于集合对于集合A A，B B， 和和 的含义如何？的含义如何？ AB AB 3.3.两
29、个集合之间的运算除了“并”与“交”以外，还有其他运算吗？两个集合之间的运算除了“并”与“交”以外，还有其他运算吗？ 集合集合x|xx|x是直线是直线 与集合与集合x|xx|x是圆是圆 的交集是什么？的交集是什么？ 知识探究（一）知识探究（一） 思考思考1:1:方程方程 在有理数范围内的解是什么？在实数范围内的解是什么？在有理数范围内的解是什么？在实数范围内的解是什么？ 2 (2)(3)0 xx 2, 3,3 22 思考思考2:2:不等式不等式 在实数范围内的解集是什么？在整数范围内的解集是什么？在实数范围内的解集是什么？在整数范围内的解集是什么？ 013x |14xx 22，3 3，44 思考
30、思考3:3:在不同范围内研究同一个问题，可能有不同的结果在不同范围内研究同一个问题，可能有不同的结果. .我们通常把研究问题前给定的我们通常把研究问题前给定的 范围所对应的集合称为全集，如范围所对应的集合称为全集，如Q Q，R R，Z Z等等. .那么全集的含义如何呢？那么全集的含义如何呢？ 如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称这个集合为全集，通常记作如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称这个集合为全集，通常记作U U 知识探究（二）知识探究（二） 考察下列各组集合：考察下列各组集合： （1 1）U=1U=1，2 2，3 3，4 4，1010， A=1A=1，3 3，5
31、5，7 7，99，B=2B=2，4 4，6 6，8,108,10； （2 2）U=x|xU=x|x是师大附中是师大附中07050705班的同学班的同学 ， A=x|xA=x|x是师大附中是师大附中07050705班的男同班的男同 学学 ， B=x|xB=x|x是师大附中是师大附中07050705班的女同学班的女同学 ； （3 3）U= U= ，A= A= ， B= .B= . |03xx |01xx |13xx 思考思考1:1:在上述各组集合中，集合在上述各组集合中，集合U U，A A，B B三者之间有哪些关系？三者之间有哪些关系？ 思考思考2:2:在上述各组集合中，把集合在上述各组集合中，把
32、集合U U看成全集，我们称集合看成全集，我们称集合B B为集合为集合A A相对于全集相对于全集U U的补集的补集. . 一般地，集合一般地，集合A A相对于全集相对于全集U U的补集是由哪些元素组成的？的补集是由哪些元素组成的？ 由全集由全集U U中不属于集合中不属于集合A A的所有元素组成的的所有元素组成的 思考思考3:3:怎样定义“补集”？用什么符号表示集合怎样定义“补集”？用什么符号表示集合A A相对于全集相对于全集U U的补集？的补集？ 对于一个集合对于一个集合A A，由全集，由全集U U中不属于集合中不属于集合A A的所有元素组成的集合，称为集合的所有元素组成的集合，称为集合A A相
33、对于全相对于全 集集U U的补集的补集. .记作记作 . . U A 思考思考4:4:如何用描述法表示集合如何用描述法表示集合A A相对于全集相对于全集U U的补集？如何用的补集？如何用vennvenn图表示图表示 ？ U A |, U Ax xUxA且 A U U U A 思考思考5:5:集合集合 , , , , , , , , , ,分别等于分别等于 什么？什么？ U UU () UU A痧() U AA () U AA 思考思考6:6:若若 ，则，则 等于什么？若等于什么？若 ，则，则 与与 的关系如何？的关系如何？ U AB U B AB U B U A 理论迁移理论迁移 例例1 1
34、设全集设全集U= U= ，A=1,2,3,4A=1,2,3,4，B=3,4,5,6,7B=3,4,5,6,7， 求求 ， . . * |9xNx () U AB) U AB（ =1=1，2 2，5 5，6 6，7 7，88； =3=3，4 4，5 5，6 6，7 7，8. 8. () U AB ) U AB（ 例例2 2已知全集已知全集U=RU=R，集合，集合 ， , ,求求 . . |1| 2Ax x |24Bxx ) U AB（ |23xx 例例3 3 设全集设全集 ，已知，已知 , , , , , ,求集合求集合A A、B.B. |7,Ux xxN )1,6 U AB （()2,3 U
35、AB ()0,5 U AB 1，6 A B 2，3 0，5 U 4 , 7 例例4 4 设全集设全集U=1U=1，2 2，3 3，4 4，55，集合，集合 已知已知 ，求实数，求实数 的值的值. . 2 |50,Ax xxa 2 |120,Bx xbx ()1,3,4,5 U AB , a b 6,7ab 函数 问题提出 1什么叫函数？用什么符号表示函数？ 2. 什么是函数的定义域？值域？ 4. 上述集合还有更简单的表示方法吗？ ( )1 |f xx3.函数 的定义域、值域如何？分 别怎样表示？ 知识探究（一） 思考1：设a，b是两个实数，且ab，介于这两个 数之间的实数x用不等式表示有哪几种
36、可能情况？ ,axb axb axb axb 思考2：满足上述每个不等式的实数x的集合可看 成一个区间，为了区分，它们分别叫什么名称？ 思考3：如果把满足不等式的实数x的集合用符号 a，b）表示，那么满足其它三个不等式的实数x的 集合可分别用什么符号表示？ 上述知识内容总结成下表： 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. ( a, b 半开半闭区间 x|axb a, b ) 半开半闭区间 x|axb a b ( a, b ) 开区间 x|ax0,对 应关系f：正方形面积，那么从集合A到集 合B的对应是否是函数？为什么？ 2.函数是“两个数集A、B间的一种确定的对 应关系”，如果集合A、B不都是
37、数集，这种 对应关系又怎样解释呢？ 知识探究（一） 考察下列两个对应： A B 图1 图2 A B 思考1:上述两个对应有何共同特点？ 集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯 一确定的元素和它对应. 思考2:我们把具有上述特点的对应叫做映 射，那么如何定义映射？ 设A、B是两个非空的集合，如果按某一个 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到 集合B的一个映射. 其中集合A中的元素x称为原象，在集合B 中与x对应的元素y称为象. 思考3:下图中的对应是不是映射？为什么？ A B 图1 A B 图2 思考4:
38、在我们的生活中处处有映射，你能举 一个实例吗？ 知识探究（二） 思考1:函数一定是映射吗？映射一定是函数 吗？ 思考2:映射有哪几种对应形式？ 一对一，多对一 思考3:设集合A=N，B=x|x是非负偶数，你 能给出一个对应关系f，使从集合A到集合B的 对应是一个映射吗？并指出其对应形式. 思考4:图1是从集合A到集合B的一个映射吗？图2 是从集合B到集合A的一个映射吗？ A B 图1 A B 图2 思考5:有人说映射有“三性”，即“有序性”， “存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？ “唯一性”：对于集合A中的任何一个元 素，在集合B中和它对应的元素是唯一的. “有序性”：映射是有方向的，
39、A到B的映 射与B到A的映射往往不是同一个映射； “存在性”：对于集合A中的任何一个元素， 集合B中都存在元素和它对应； 理论迁移 例1 试判断下面给出的对应是否为从集合A到集合 B的映射？ （1）集合A=P|P是数轴上的点，集合B=R，对应 关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）集合A=P|P是平面直角坐标系中的点，集 合B=(x,y)|xR,yR，对应关系f：平面直角 坐标系中的点与它的坐标对应； （3）集合A=x|x是三角形,集合B=x|x是圆， 对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）集合A=x|x是师大附中的班级，集合 B=x|x是师大附中的学生，对应关系f：每
40、一个班级都对应班里的学生; （5）集合A=1,2,3,4, B=3，4，5，6，7， 8，9，对应关系f：x2x+1 例2 已知集合A=a,b，集合B=c,d,e. （1）试建立一个从集合A到集合B的映射？ （2）一共可建立多少个从集合A到集合B的 映射？ 例3 下列对应关系f是否为从集合A到集合B的 函数？ 2 2 (1), |0,:|; (2),:; (3),:; (4),:3. AR By yfxx AR BR fxx AZ BR fxx AZ BZ fxx 2 2 (1), |0,:|; (2),:; (3),:; (4),:3. AR By yfxx AR BR fxx AZ BR
41、fxx AZ BZ fxx 2 2 (1), |0,:|; (2),:; (3),:; (4),:3. AR By yfxx AR BR fxx AZ BR fxx AZ BZ fxx 函数的表示法 问题提出 1.从集合与对应的观点分析，函数的定义 是什么？ 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的 对应关系f，使对于集A中的任意一个数x，在 集B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么 就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数， 记作y=f(x),xA. 2.函数有哪几种常用的表示法？ 3.在日常生活中，我们会遇到许多函数问题，如 何选择适当的方式来表示问题中的函数关系呢？ （1）解析法：用
42、数学表达式表示两个变量之间 的对应关系； （2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应 关系； （3）列表法：用表格表示两个变量之间的对应 关系. 知识探究（一） 某种笔记本的单价是5元，买x (x1，2， 3，4，5)个笔记本需要y元试用适当的方 式表示函数y=f(x) 思考1:该函数用解析法怎样表示？ 5 ,1,2,3,4,5yx x 思考2:该函数用列表法怎样表示？ 笔记本数笔记本数 x x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 钱数钱数 y y 5 5 1010 1515 2020 2525 思考3:该函数用图象法怎样表示？ 思考4:上述三种表示法各有什么特点？ y O x 5 4 3 2 1 5 10 20 25 15 知识探究（二） 下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六 次数学测试的成绩及班级平均分表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王
