1、三角函数的定义三角函数的定义 三角函数的定义三角函数的定义 cos sin tan cot y r y y x r x x 余弦 正切 余切 正弦 sec csc r x r y 正割 余割 , , ,(, 11,) ,(, 11,) kZ kZ kZ kZ R-1，1 R-1，1 |k +R 2 |kR |k + 2 |k 函数函数 解析式解析式 定义域定义域 值域值域 1、已知角 的终边位于直线 上，试 求角 的六个三角函数值； 3yx 2、求下列各角的六个三角函数值： （1）0 （2） （3） （4） 5 6 7 6 根据根据2-（3）、（）、（4）的结论，你能推断出什么）的结论，你能推
2、断出什么 结论，发现什么规律吗？结论，发现什么规律吗？ 你的记住哦！你的记住哦！ 度 弧 度 0 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 270 0 360 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 sin cos tan cot 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 0 1 0 1、角 的终边上一个点P的坐标为 ， 求 的值； 4 , 30aaa 2sinc
3、os 诱导公式诱导公式 你记住了吗？你记住了吗？ 度 弧 度 0 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 270 0 360 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 sin cos tan cot 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 2 1 2 3 3 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 0 1 0 2）同终边角的同名三角函数值相等. Sin(2k+)= Sin cos(2k+)= cos tan(2k+)=
4、tan 2k是三角函数的周期 诱导公式1 练习：确定下列函数值的符号 1）sin1900的符号是？ 2）cos(-3920)的符号是？ 3)tan(-16500)的符号是？ 3)sin(-21/5）的符号是？ 0 1923 1 sin; 2con(-); 43 3 tan1110 练习：求值 、 、 （） 二、三角函数的诱导公式 1、若是一个正锐角，怎样用表示第一、二、三、四象限角,并研究其终边位置关 系. 一 二 三 四 2k+ - + 2-或- 与终 边相同 与终边 关于y轴 对称 与终边 互为反向 延长线 与终边 关于x轴对 称 2、角2k+ - + 2-或-与角的正弦函数值的关系 Si
5、n(2k+)_?_sin Sin(-)_?_sin Sin(2-)_?_sin Sin(-)_?_sin Sin(+)_?_sin 方法一、利用单位圆研究 - - + 关于x轴对称的角的正弦线互为相 反数 Sin(2k+)=sin Sin(-)=- sin Sin(2-)=-sin Sin(-)=sin Sin(+)=sin 函数名不变，符号看象限 关于y轴对称的角的正弦线 相等 正 弦 诱 导 公 式 cos(2k+)=cos cos(-)=cos cos(2-)=cos cos(-)= - cos cos(+)= - cos 余弦函数的诱导公式 函数名不变，符号看象限 2、研究角/2+与角
6、的正、余弦函数值的关系 在单位圆中，画出角和角 /2+的终边，由终边的位置关系可得 /2+ P1 O M P2 N RtOP1MRtP2ON NP2=OM， ON=-MP1 Sin=MP1,cos=OM Sin(/2+)=NP2; cos(/2+)=ON Sin(/2+)=cos cos(/2+)= -Sin 函数名称变，符号看象限 思考：公式 Sin(/2-)=cos cos(/2-)= Sin的证明方法 所有的诱导公式中的角的取值范围是使公式有意义的任意角，记忆公式时可 将看成锐角，从而确定符号. /2- P1 O M P2 N - 正弦、余弦诱导公式 Sin(2k+)=sin cos(2
7、k+)=cos Sin(-)=- sin cos(-)=cos Sin(2-)=-sin cos(2-)=cos Sin(-)=sin cos(-)= - cos Sin(+)=sin cos(+)= - cos = tan(2k+)=tan = tan(-)= - tan = tan(2-)= - tan = tan(-)= - tan = tan(+)= tan =正切诱导公式 Sin(/2+)=cos cos(/2+)= -Sin Sin(/2-)=cos cos(/2-)= Sin = = tan(/2+)= -cot tan(/2-)=cot 常用的正弦、余弦、正切诱导公式 1、同终
8、边诱导公式 Sin(2k+)=sin cos(2k+)=cos tan(2k+)=tan 2、负角诱导公式 Sin(-)=- sin cos(-)=cos tan(-)= - tan 3、四象限诱导公式 Sin(2-)=-sin cos(2-)=cos tan(2-)= - tan 4、二象限诱导公式 Sin(-)=sin cos(- )= - cos tan(-)= - tan 5、三象限诱导公式 Sin(+)=sin cos(+)= - cos tan(+)= tan 视为锐角，函数名不变，符号看象限 7、钝角互余诱导公式 Sin(/2+)=cos cos(/2+)= -Sin tan(/
9、2+)= -cot 6、锐角互余诱导公式 Sin(/2-)=cos cos(/2-)= Sin tan(/2-)=cot 视为锐角，函数名称变互余，符号看象限 1、熟记诱导公式的规律； 2、注意符号 例：求值 1）sin(-16500) 2) sin(-150015/) 3) sin(-7/4） 方法步骤：负角化为正角，正角化为锐角. 例：化简 )sin()3sin()sin( )3sin()2sin( cos(2)cos(3) 1 cos()cos(3)cos() 例 化简 （） tan(2)tan(3) 2 tan()tan(3)tan() （ ） 课外练习课外练习 （3）已知 ，求 的值
10、 （2）已知 ，求 的值 （1）已知 ，求 的值 2 1 cos 9tan 3 3 6 cos 6 5 cos 3 2 3 cos 2 3 cos 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质 三角函数的图象三角函数的图象 作图作图 描点法：描点法：确定函数的定义域；确定函数的定义域；化简、整理函数的解化简、整理函数的解 析式；析式；讨论函数的主要性质；讨论函数的主要性质；列表、描点、成图列表、描点、成图. 变换法：由基本函数的图象变换得到，变换一般有平移、变换法：由基本函数的图象变换得到，变换一般有平移、 伸缩、对称等变换伸缩、对称等变换. 识图识图 看左右、上下的分布范围，变化趋势，对称性，看
11、左右、上下的分布范围，变化趋势，对称性， 特殊点的位置等，注意图象与函数解析式中的参数的关系特殊点的位置等，注意图象与函数解析式中的参数的关系. 用图用图 图象是函数性质的直观解释，是探求解题途径获图象是函数性质的直观解释，是探求解题途径获 得问题结果的重要工具得问题结果的重要工具. (1)平移变换平移变换 (2)周期变换周期变换 (3)振幅变换振幅变换 的图象的图象变换变换 函数函数 ) sin( j j w w x A y 复习点拨复习点拨 三角函数的图象及其变换不仅内容丰富三角函数的图象及其变换不仅内容丰富, 而且寓一般函数的图象及其变换于特殊之中而且寓一般函数的图象及其变换于特殊之中,
12、 是考查学生直观思维、理性思维以及数形结是考查学生直观思维、理性思维以及数形结 合与应用能力的重要内容合与应用能力的重要内容. 三角函数的性质三角函数的性质 函数函数 定义域定义域 值域值域 周期周期 cosyx sinyx tanyx R R , 2 x xkkZ 2 2 1,1 R 1,1 三角函数的性质三角函数的性质 函数函数 奇偶性奇偶性 单调区间单调区间 奇函数奇函数 偶函数偶函数 奇函数奇函数 cosyx sinyx tanyx 2,2() 22 kkkZ 增 3 2,2() 22 kkkZ 减 2,2()kkkZ增 2,2()kkkZ减 ,() 22 kkkZ （）增 三角函数的
13、性质三角函数的性质 函数函数 对称轴对称轴 对称中心对称中心 无无 cosyx sinyx tanyx 第四章第四章 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质 (,0)() 2 k kZ (,0)() 2 k kZ (,0)() 2 k kZ () 2 xkkZ ()xkkZ 三角函数的性质三角函数的性质 方法主线方法主线 （1）求三角函数定义域）求三角函数定义域 一般函数的定义域的规律一般函数的定义域的规律 三角函数本身的特有属性三角函数本身的特有属性 将所给的三角函数转化为一个角的一个函数，将所给的三角函数转化为一个角的一个函数， 利用基本函数的值域来求解利用基本函数的值域来求解. 例例
14、求下列函数的值域：求下列函数的值域： ; （2）求三角函数值域的常用方）求三角函数值域的常用方 法法 ) 3 cos(2)(xxf 化为二次函数通过配方法求值域化为二次函数通过配方法求值域 例例 y= (“元”的范围元”的范围 ) 换元法换元法 例例 y= (“元元”的范围的范围) 利用基本不等式求值域利用基本不等式求值域 注：会求值域当然最值可求注：会求值域当然最值可求 x xx cos1 sin2sin （2）求三角函数值域的常用方法）求三角函数值域的常用方法 xxxxcossincossin cos1x （3）三角函数的奇偶性、单调性和周期性都是）三角函数的奇偶性、单调性和周期性都是 对
15、最简形式的三角函数而言的对最简形式的三角函数而言的. （化简、换元（化简、换元 基本三角函数性质基本三角函数性质 、复合、复合 函数性质以及数形结合，注意先分析后判断函数性质以及数形结合，注意先分析后判断 ） 如如 1.求周期：求周期： ； 2.判断奇偶性判断奇偶性： . )2 2 5 cos()(xxf xxy2cos)2 3 sin( 已知函数已知函数 求求f(x)的最小正周期；的最小正周期； 求求f(x)的最大值与最小值，并指出的最大值与最小值，并指出x的取值；的取值； 求求f(x)的单调区间的单调区间. xxxxxxfcossinsin3) 3 sin(cos2)( 2 化简、换元化简
16、、换元 基本三角函数性质基本三角函数性质 、复合函、复合函 数性质以及数形结合，注意先分析后判断数性质以及数形结合，注意先分析后判断 . . 的单调增区间是的单调增区间是2x)2x) 4 4 sin(sin(y y函数函数（2）（2） 的单调增区间是的单调增区间是) ) 3 3 2 2 x x 2cos(2cos(y y函数函数（1）（1）1.1. 基础训练题基础训练题 Z)Z)(k(k 3 3 2 2 ,4k,4k 3 3 4 4 答案：4k答案：4k Z)Z)(k(k 8 8 7 7 k k , , 8 8 3 3 答案：k答案：k ) ) 3 3 sin(-2xsin(-2xD.yD.y
17、) ) 3 3 sin(-2xsin(-2xC.yC.y 3 3 sin(-2xsin(-2xB.yB.y) ) 3 3 sin(-2xsin(-2xA.yA.y ).).（图象对应的解析式为图象对应的解析式为 函数函数轴的对称变换，则所得轴的对称变换，则所得再将所得图象作关于y再将所得图象作关于y 个单位长度，个单位长度， 3 3 平移平移sin2x的图象向右sin2x的图象向右2.先将函数y2.先将函数y 22 ).). 3 3 2 2 2x2xsin(sin(再对称变换为y再对称变换为y )，)， 3 3 2 2 sin(2xsin(2x，得y，得y 3 3 sin2x的图象右移sin2
18、x的图象右移提示：y提示：y D ) ) 6 6 sin(2xsin(2xD.yD.y) ) 3 3 sin(2xsin(2xC.yC.y ) ) 6 6 sin(2xsin(2xB.yB.y) ) 6 6 2 2 x x sin(sin(A.yA.y ）.）.为（为（则此函数的一个解析式则此函数的一个解析式 ， 3 3 图象的一条对称轴是x图象的一条对称轴是x3.函数周期为3.函数周期为 ，其，其 1.1.) ) 3 3 2，又f(2，又f(提示：由题设知提示：由题设知 D 3.若函数若函数 图象上每一个点的纵坐标保图象上每一个点的纵坐标保 持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后持不变，横坐标
19、伸长到原来的两倍，然后 再将整个图象沿再将整个图象沿 轴向右平移轴向右平移 个单位，个单位， 同时向下平移同时向下平移3个单位，恰好得到个单位，恰好得到 的图象，则的图象，则 ( )f x x 2 1 sin 2 yx ( )f x 11 sin(2) 3cos23 222 xx 解：解： 例题评析例题评析 例例1 已知函数已知函数 （1）作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；）作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）指出该函数图象的对称中心与对称轴方程）指出该函数图象的对称中心与对称轴方程. ,cossin 22 33 22 3xx y 分析：分析： （1 1）先化简解析式；（
20、）先化简解析式；（2 2）y=sinxy=sinx图象图象 的对称中心为的对称中心为_ _ _，对称轴方程，对称轴方程 为为_._. )(),(Zkk0 )(Zkkx 2 例例1 已知函数已知函数 （1）作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；）作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）指出该函数图象的对称中心与对称轴方程）指出该函数图象的对称中心与对称轴方程. ,cossin 22 33 22 3xx y 解：解： （1） 周期为周期为 由由“五点五点 法”列出右表：法”列出右表： ),sin( 32 1 3 xy 4T 32 x 3 5 x 0 y 0 3 2 2 30 3 8
21、3 3 11 2 3 0 3 14 2 3 2 3 5 3 8 3 11 3 14 x y .)( );(), ).(,)( 为图象的对称轴方程得令 故图象的对称中心是（ 得令 Zkkxkx Zkk Zkkxkx 3 5 2 232 1 0 3 2 2 3 2 2 32 1 2 3 2 3 5 3 8 3 11 3 14 x y 例例 已知函数已知函数 （）当函数取最大值时，求自变量的集合；（）当函数取最大值时，求自变量的集合； （）该函数的图象可由（）该函数的图象可由 的图象经过的图象经过 怎样的变换而得到？怎样的变换而得到？ （）设函数（）设函数 的图象与已知函数的图象关的图象与已知函数的
22、图象关 于原点对称，求于原点对称，求 的表达式的表达式 .,cossincosRxxxxy1 2 3 2 2 1 )(sinRxxy )(xgy )(xgy （）当函数取最大值时，求自变量的集合；（）当函数取最大值时，求自变量的集合； .)sin( 4 5 6 2 2 1 1 xy）（解： , 2 2 6 2 kxy取最大值时，当 .,| Zkkxx 6 （）该函数的图象可由（）该函数的图象可由y=sinx的图象经过的图象经过 怎样的变换而得到？怎样的变换而得到？ 位个单 6 图象上各点向左平移 )sin( sin 6 2 xy xy的图象）将解：（ 不变纵缩短坐标倍， 2 1 到原来的各点横
23、坐标 )sin( 6 2 xy 倍，横坐标不变的各点纵坐标缩短到原来 2 1 )sin( 6 2 2 1 xy 位个单 4 5 图象向上平移 . 4 5 ) 6 2sin( 2 1 的图象 xy .)sin()( .)(sin ),( )(),)( 4 5 6 2 2 1 4 5 6 2 2 1 3 xxgy xy yx xgyyx 在已知函数的图象，即则 图象上任意一点，是设（解： （）设函数（）设函数y=g(x)的图象与已知函数的图象的图象与已知函数的图象 关于原点对称，求关于原点对称，求y=g(x)的表达式的表达式 给出图象求给出图象求 的解析式的解析式 难点：难点： 的确定的确定 基本
24、方法基本方法 寻找特殊点（如零值点、最值点等）代入解析式，寻找特殊点（如零值点、最值点等）代入解析式， 转化为简单的三角方程求解转化为简单的三角方程求解 的值；的值； 图象变换法：探求已知图象可由哪个基本函数的图图象变换法：探求已知图象可由哪个基本函数的图 象变换而来，通常由特殊点的间距确定周期象变换而来，通常由特殊点的间距确定周期T，进而确，进而确 定定 的值的值. BxAy)sin(jw ,w j ,w j w 例例3 已知函数已知函数 的一段图象如下图，求此函数的表达式的一段图象如下图，求此函数的表达式. , 0, 0()sin(wjwABxAy x 1 13 y 2 5 1 33 2
25、2)sin( xy ) 2 j 练练1.（1）将函数）将函数f(x)的图象记为的图象记为 ，将，将 上上 每一点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的每一点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 倍得曲线倍得曲线 ，再将，再将 向左平移向左平移 个单位得个单位得 到曲线到曲线 ，又将，又将 关于轴对称得到曲线关于轴对称得到曲线 ： 则则f(x)= . 3 3 C C 3 3 C C 2 2 C C 2 2 C C 1 1 C C 1 1 C C ,sin x 2 2 1 1 y y 4 4 C C 2 2 （2）如果函数）如果函数y=sin2x+acos2x的图象关的图象关 于直线于直线 对称，那么对称，
26、那么a= . 8 x-1 练练2. 已知已知 的图象在的图象在y轴上的截距为轴上的截距为1，它在，它在y轴右侧的第一个最轴右侧的第一个最 大值点和最小值点分别大值点和最小值点分别 为为 和和 （1）求）求f(x)的解析式；的解析式； （2）指出函数的周期、振幅、初相；）指出函数的周期、振幅、初相； ) 2 , 0, 0)(sin()( jwjwAxAxf ),(2 0 x).2,3( 0 x ). 63 1 sin(2)() 1 ( xxf . 6 , 2,6)2( jAT 练练2. 已知已知 的图象在的图象在y轴上的截距为轴上的截距为1，它在，它在y轴右侧的第一个最轴右侧的第一个最 大值点和
27、最小值点分别大值点和最小值点分别 为为 和和 （3）说明此函数的图象是由）说明此函数的图象是由y=sinx, 上的图象上的图象 经过怎样的变换得到的？经过怎样的变换得到的？ ) 2 , 0, 0)(sin()( jwjwAxAxf ),(2 0 x).2,3( 0 x Rx ). 63 1 sin(2)() 1 ( xxf . 6 , 2,6)2( jAT 向量的加法 问题探究问题探究 O B A 湖面上有三个景点湖面上有三个景点O O，A A，B B， 如图。如图。 经过两次位移后的合位经过两次位移后的合位 移是移是 从景点从景点A A送至景点送至景点B B的位的位 移是移是 从景点从景点O
28、 O送至景点送至景点A A的位移的位移 是是 AB OA OB 向量向量 ， ， 三者之间有什么关系？三者之间有什么关系？ OAABOB O A B 向量的加法：向量的加法： 向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则 a ,O已知向量 和在平面内任取一点 ,作abOAa ,.则向量叫做 与 的和,记作 + 即ABbOBaba b .+a bOAABOB 求两个向量和的运算叫做求两个向量和的运算叫做向量的加法向量的加法 O b a b A B 练练 习习1 1.1.在所给的在所给的ABCABC中写出所有的向量；中写出所有的向量； C A B 写出上述向量中满足的和的关系；写出上述向量中满足的和的
29、关系； AB ACCB BA CABC ABBCACACCBAB BCCABA BAACBC CAABCBCBBACA 0ABBCCA0ACCBBA 思考：思考： 如果平面内有如果平面内有n n个向量依次首尾连接成一条封闭曲线，那么这个向量依次首尾连接成一条封闭曲线，那么这n n个向个向 量的和是什么？量的和是什么？ 0 向量加法的运算法则向量加法的运算法则 . . 对于零向量和任一向量对于零向量和任一向量 ，有，有 a 对于相反向量，有对于相反向量，有 加法交换律加法交换律 00aaa ()() 0aaaa 加法结合律加法结合律 abba O A B C a b b a ab 向量加法的向量
30、加法的平行四边形法则平行四边形法则 O A B C a b c ab bc abc ()()abcabc ab 例例1.1.已知已知O O为正六边形为正六边形ABCDEFABCDEF的中心，的中心， 如图：如图： OA OC BCFEAD OAFE 向量的平行四边形法则得向量的平行四边形法则得 作出下列向量作出下列向量 O A B C D E F OA OCOB BCFE 与与 是相反向量。故是相反向量。故 OAFE0OAFE 例例2.2.在长江南岸某渡口处，江水以在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h12.5km/h 的速度向东流，渡船的速度为的速度向东流，渡船的速度为25km/h.25
31、km/h.渡船渡船 要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 设设 表示水流的速度，表示水流的速度， AB A B C D 解：解： AD 表示渡船的速度，表示渡船的速度， AC 表示渡船实际垂直过江的速度表示渡船实际垂直过江的速度. 因为因为 ABADAC 所以四边形所以四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 在在RtACD中中 ACD=90 所以所以CAD=30 | | 12.5DCAB| 25AD 答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西3030o o 练习练习2 5 D 2.2.矩形矩形ABCDABCD中，中，
32、 ， . .则则 | 3AB| 4BC |ABAD . 3 3.已知已知 表示向东走表示向东走5 km5 km， 表示向北走表示向北走 5km5km，则，则 表示表示 _ _ ab 3 ab 向北偏东向北偏东6060 方向走方向走10km10km |3AB | 1BC 4.4.在矩形在矩形ABCDABCD中，中， ， 。则向量。则向量 的长度的长度 等于等于 ( )( ) ABADAC A.2 B. C.3 D.4 2 3 A 6.6.如图如图D D、E E、F F分别为分别为ABCABC的边的边ABAB、BCBC、CACA的中点，则下列等式正确的是的中点，则下列等式正确的是 ( )( ) F
33、DDAAF 0FDDEFE DEDAEB A. B. C. D. D A B C D DEDADF E F 5.5.在在 ABCDABCD中，中， 等于等于 ( )( ) BCDCBA A. B. C. D. BC DAABAC 7. 7. ， ， 为非零向量，且为非零向量，且 平分平分 与与 的夹角，的夹角， 则则( )( ) abababa b B A B C D 如何表示向量如何表示向量 ？ BD A. B. C. D.以上都不对以上都不对 = ab = |a|b ab 8.8.如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中中， ABa 记记 ， ADb () BDab 小小 结
34、结 1 1、向量加法的三角形法则与平行四边形法则、向量加法的三角形法则与平行四边形法则 向量加法的物理意义向量加法的物理意义力力( (或位移或位移) )的合成的合成 2、若干个向量相加法、若干个向量相加法将其首与尾顺次相接，将其首与尾顺次相接， 最后的和只考虑起点和终点。最后的和只考虑起点和终点。 平面向量基本定理平面向量基本定理 平面向量基本定理平面向量基本定理 设设 、 是同一平面内的两个不平是同一平面内的两个不平 1 e 2 e 行的向量，行的向量，a 是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量， 1 e 2 e 我们研究我们研究 a 与与 、 之间的关系。之间的关系。 1 e a
35、2 e 研究研究 OC = OM + ON = 2 1 OA + OB 1 1 e 2 e 2 即即 a = + . 1 e a 1 e A 2 e O a C B 2 e N M M N 平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一对实数 、 使 2 1 平行的向量，那么对于这一平面内的任 如果 、 是同一平面内的两个不 1 e 2 e 1 1 e a = + 2 e 2 示这一平面内所有向量的一组基底。 我们把不共线的向量 、 叫做表 1 e 2 e （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） 思考 E F F A N B a M O C N M M O C N a E 思考 (2)若基
36、底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ 2 1 （可以不同，也可以相同） O C F M N a E E A B N OC = 2OB + ON OC = 2OA + OE OC = OF + OE 特别的，若特别的，若 a = 0 ，则有且只有，则有且只有 ： 可使可使 0 = 1 1 e 2 e 2 + . 2 1 = = 0 ？若若 与与 中只有一中只有一 个为零，情况会个为零，情况会 是怎样？是怎样？ 2 1 特别的，若特别的，若a与与 （ ）共线，则有）共线，则有 =0（ =0），使得），使得: a = + . 1 2 1 e 2 2 e 2 e 1 1 e 已知向量 求
37、做向量-2.5 +3 例3： 、 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e 2 e 1 5.2 e 2 3e O A B C 1 e O A B C ? M MDMCMBMAbabADaAB ABCD 、表示、，用，且 ，的两条对角线相交于点如图所示，平行四边形 例4 D C B A M 例 ABCD中，E、F分别是DC和AB 的中点，试判断AE,CF是否平行？ F B A D C E F B A D C E E、F分别是DC和AB的中点, AE= AD+ DE = b+ a 2 1 2 1 CF= CB+ BF = -b - a AE= - CF AE与CF共线，又无公共点 AE,CF平行.
38、解：设AB= a,AD= b. 总结： 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 （1）实数对1、 的存在性和唯一性 （）基底的不唯一性 （）定理的拓展性 、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题 例5、 如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的 中点. 请大家动手, 在图中确定一组基底，将其他向量用这组 基底表示出来。 A N M C D B 解析： BC = BD + DC = MN = DN-DM 2 1 =(AN-AD)- DC (ADAB)+DC A N M C D B DC = AB = 2 1 2 1
39、 1 e 设AB = ,AD = ,则有： 1 e 2 e 4 1 = - . 2 e 1 e 1 e 2 e 1 e 2 1 = - + = 2 1 4 1 = - - 2 e 1 e 1 e 2 e 2 1 1 e - + 评析评析 能够在具体问题中适当地选取 基底，使其他向量能够用基底来表 示，再利用有关知识解决问题。 设 a、b是两个不共线的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a b,若A、B、D三点共线，求k的值。 A、B、D三点共线 解： AB与BD共线，则存在实数 使得AB = BD. 使得AB = BD. 思考思考 k = 8 . =
40、a 4b 由于BD = CD CB =(2a b) (a +3b) 则需 2a + kb = (a 4b ) 由向量相等的条件得 2 = k = 4 则需 2a + kb = (a 4b ) 2 - = 0 k 4 = 0 此处可另解： k = 8 . 即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0 本题在解决过程中用到了两向量共线的充要条件这一定理，并借助平面向量的 基本定理减少变量，除此之外，还用待定系数法列方程，通过消元解方程组。这些 知识和考虑问题的方法都必须切实掌握好。 评析评析 2. 在实际问题中的指导意义在于找到表示一个平面所有向量的一组基底 （不共线向量 与 ），从而将问题转化
41、为关于 、 的相应运算。 1 e 2 e 1 e 2 e 1.平面向量基本定理可以联系物理学中的力的分解模型来理解，它说明在同一 平面内任一向量都可以表示为不共线向量的线性组合，该定理是平面向量坐标表 示的基础，其本质是一个向量在其他两个向量上的分解。 课堂总结课堂总结 思考思考 在梯形在梯形ABCD中，中，E、F分别时分别时AB、CD 的中点，用向量的方法证明：的中点，用向量的方法证明： EF/AD/BC,且且EF = (AD+BC) 2 1 一、巩固旧知一、巩固旧知 问题：问题：回忆一下，如何用向量的长度、夹角反回忆一下，如何用向量的长度、夹角反 映数量积？又如何用数量积、长度来反映数量积
42、？又如何用数量积、长度来反 映夹角？向量的运算律有哪些？映夹角？向量的运算律有哪些？ 答案答案： ba ba baba cos,cos 运算律有：运算律有： )()().(2bababa abba. 1 cbcacba ).(3 参考答案：参考答案：1；1；0；0. 二、新课讲授二、新课讲授 问题问题1 1： ),(),( 2211 yxbyxa已知已知 怎样用怎样用 ba, 的坐标表示的坐标表示 呢？请同学们看下呢？请同学们看下 列问题列问题. ba 设设x轴上单位向量为轴上单位向量为 ，Y轴上单位向量为轴上单位向量为 请计算下列式子：请计算下列式子： i j = ii = jj = ji
43、= ij 问题2：推导出 的坐标公式. ba jyixbjyixa 2211 , 答案：答案： 2 211221 2 21 jyyjiyxjiyxixx 2121 yyxx )()( 2211 jyixjyixba 这就是向量的数量积的坐标表示，类似可得：这就是向量的数量积的坐标表示，类似可得： ., 2 2 2 2 2 1 2 1 yxbyxa 若设若设 ),( 11 yxA 则则 这就是这就是A、B两点间的距离公式两点间的距离公式. ),( 22 yxB ,)()( 2 12 2 12 yyxxAB 问题问题3：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量 平行和垂直的坐标表示式平行和垂直的坐标表示式. （1） 答案：答案： 2 2 2 2 2 1
