1、洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院线性定常系统的综合线性定常系统的综合控制系统的分析和综合是研究控制系统的两大问题。控制系统的分析和综合是研究控制系统的两大问题。线性定常系统分析：在建立的数学模型的基础上线性定常系统分析：在建立的数学模型的基础上分析分析系统的各种性能。系统的各种性能。如：如：能控性、能观性、稳定性等和定量运动规律分析能控性、能观性、稳定性等和定量运动规律分析如如 ：系统运动轨迹、系统的性能品质指标等。：系统运动轨迹、系统的性能品质指标等。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院线性定常系统的综合线性定常系统的综合 分为分为:常规综
2、合和最优综合。常规综合和最优综合。系统综合是系统分析的逆问题。系统综合是系统分析的逆问题。系统综合系统综合首先需要确定关于系统运动形式，或首先需要确定关于系统运动形式，或关于系统关于系统运动动态过程和运动动态过程和目标的某些特征的性能指标函数目标的某些特征的性能指标函数,然后然后据此确定控制规律。据此确定控制规律。线性定常系统综合线性定常系统综合：给定给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数，使系统满足性能指标要求。被控对象，通过设计控制器的结构和参数，使系统满足性能指标要求。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院线性定常系统的综合线性定常系统的综合常规常规综合的性能指标
3、是一类由不等式及等式约束的性能指标凸空间综合的性能指标是一类由不等式及等式约束的性能指标凸空间,一般一般只要求解的控制规律对应的性能指标到达该凸空间即可。只要求解的控制规律对应的性能指标到达该凸空间即可。而而对非优化型性能指标一般存在解析方法求解对非优化型性能指标一般存在解析方法求解控制规律控制规律,如极点配置方法如极点配置方法。对优化型性能指标，需要函数优化理论和泛函理论对优化型性能指标，需要函数优化理论和泛函理论求解求解控制规律。控制规律。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院2024-5-18绪论绪论1236线性反馈控制系统的基本线性反馈控制系统的基本结构结构极点配
4、置极点配置系统解耦系统解耦本本章章主主要要内内容容基于状态观测器的状态反馈基于状态观测器的状态反馈45状态观测器状态观测器MatlabMatlab在系统综合中的应用在系统综合中的应用洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.16.1线性反馈控制系统的基本线性反馈控制系统的基本结构结构控制理论控制理论最基本任务是最基本任务是,对给定的被控系统设计能满足所期望的对给定的被控系统设计能满足所期望的性能指标性能指标的的闭环控制系统闭环控制系统,即寻找反馈控制律。即寻找反馈控制律。在在现代控制理论的状态空间分析方法中现代控制理论的状态空间分析方法中,多考虑采用多考虑采用状态变量状态
5、变量来构成反馈律来构成反馈律,即状态反馈。即状态反馈。在在经典控制理论中经典控制理论中,一般只考虑由系统一般只考虑由系统的出的出变量来构成反馈律变量来构成反馈律,即输出反馈即输出反馈。状态反馈状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈策略和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈策略,其意义分别其意义分别为为将将观测到的状态和输出取作反馈量以构成反馈律观测到的状态和输出取作反馈量以构成反馈律,实现对系统的闭环控制实现对系统的闭环控制,以以达到达到期望的对系统的性能指标要求。期望的对系统的性能指标要求。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.16.1线性反馈控制系统的
6、基本线性反馈控制系统的基本结构结构6.1.1 6.1.1 状态反馈状态反馈线性定常系统方程为：线性定常系统方程为：其中，其中，K K 为为 状态反馈增益矩阵；状态反馈增益矩阵；v v 为为r x1r x1维输入向量。维输入向量。rnuvKx xAxBuyCxDu（1）状态线性反馈控制律状态线性反馈控制律（2）洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.16.1线性反馈控制系统的基本线性反馈控制系统的基本结构结构()()KxABK xBvyCDK xDv：&状态空间表达式状态空间表达式为：为：()KxABK xBvyCx：&状态反馈系统的结构图状态反馈系统的结构图若若 ，则则
7、闭环系统闭环系统的传递函数阵的传递函数阵:0D 1(),):()I()KKABKB CWsC sABKB洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.16.1线性反馈控制系统的基本线性反馈控制系统的基本结构结构(-)xA BHC xBv&状态方程：状态方程：传递函数：传递函数：1(),):()I()HHABHCB CWsC sABHCB输出反馈系统的结构图输出反馈系统的结构图6.1.2 6.1.2 输出反馈输出反馈以以 输出矢量构成输出矢量构成反馈反馈-uv Hyv HCx由由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型状态空间模型可知可知,输
8、出反馈输出反馈其实可以其实可以视为当视为当K=HCK=HC时的时的状态反馈。状态反馈。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.16.1线性反馈控制系统的基本线性反馈控制系统的基本结构结构()xAGC xBuyCx&1(),):()I()GGAGCB CWsC sAGCB状态方程：状态方程：传递函数：传递函数：6.1.3 6.1.3 从输出到状态矢量导数的反馈从输出到状态矢量导数的反馈洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.16.1线性反馈控制系统的基本线性反馈控制系统的基本结构结构 不增加新的状态变量；不增加新的状态变量；开环和闭环同维数；开环和
9、闭环同维数；反馈增益矩阵为常数矩阵反馈增益矩阵为常数矩阵-线性反馈。线性反馈。6.1.4 6.1.4 线性反馈的性质线性反馈的性质三种反馈的共同点：三种反馈的共同点：在复杂的情况下，要引入动态补偿器在复杂的情况下，要引入动态补偿器。动态补偿器动态补偿器以串联或是并联形式引入原系统。以串联或是并联形式引入原系统。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.16.1线性反馈控制系统的基本线性反馈控制系统的基本结构结构6.1.5 6.1.5 闭环系统的能控性和能观性闭环系统的能控性和能观性定理定理1 1 状态反馈的引入状态反馈的引入不改变系统的能控性不改变系统的能控性，但但 可能
10、改变系统的能观测性可能改变系统的能观测性。21 ncMB AB A BABL21 ()()()nckMBABK BABK BABKBL Lk证证 注意到注意到系统系统 和和 的的能控性矩阵分别为能控性矩阵分别为洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院65.165.1线性反馈控制系统的基本线性反馈控制系统的基本结构结构 依此类推，不难看出：依此类推，不难看出：()()ABK BABB KB由由 ，可知：可知：的列向量可以由的列向量可以由 的的列向量的线性组合表示。列向量的线性组合表示。()ABK B()BAB的列向量可以由的列向量可以由 的的列向量的线性组合表示。列向量的线性
11、组合表示。2()ABKB2()B AB A B21 ()()()nBABK BABKBABKBL由由 的的列向量的线性组合表示。列向量的线性组合表示。的列向量的列向量可以可以1 nB ABAB这意味着：这意味着：rankrankcckMM洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.16.1线性反馈控制系统的基本线性反馈控制系统的基本结构结构rankrankcckMM KK于是定理得证。于是定理得证。所以所以系统系统 的的能控性等价于能控性等价于系统系统 的的能控性，能控性，系统系统 也也可看成是由可看成是由系统系统 经过状态反馈经过状态反馈 而而获得的获得的，因此因此，同理
12、有，同理有(I)K,洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.16.1线性反馈控制系统的基本线性反馈控制系统的基本结构结构定理定理 2 2：输出反馈不改变系统的可控性与可观测性：输出反馈不改变系统的可控性与可观测性：输出反馈系统输出反馈系统 为为可控（可观测）的充分必要可控（可观测）的充分必要件是：件是：被被控系统控系统 为为可控（可观测）可控（可观测）定理定理 3 3：输出至：输出至 的反馈不改变系统的能观的反馈不改变系统的能观性性但可能改变原系统的但可能改变原系统的能能 控控性。性。x&洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.16.1线性反馈控
13、制系统的基本线性反馈控制系统的基本结构结构例例1 1 设线性定常系统的状态空间模型设线性定常系统的状态空间模型为：为：12031112xxuyx试试分析该系统的状态反馈闭环系统和输出反馈分析该系统的状态反馈闭环系统和输出反馈闭环系统闭环系统的的状态能状态能控控/能观性。能观性。并设状态反馈阵并设状态反馈阵 K K=3 13 1 和输出反馈和输出反馈 H H=2=2。解：解：1.1.因为开环系统的能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为因为开环系统的能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为nCACnABB24721rankrank21120rankrank开环系统为开环系统为 能控又能观的能控又能观的。洛阳理工
14、学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.16.1线性反馈控制系统的基本线性反馈控制系统的基本结构结构2.2.经状态反馈经状态反馈u=u=-Kx+vKx+v后的闭环系统的状态方程为后的闭环系统的状态方程为120()001xABK xBvxv 其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为02rank()rank21012rankrank1()12BABK BnCnC ABK状态反馈状态反馈闭环系统为状态能控但不能观的闭环系统为状态能控但不能观的,即状态反馈即状态反馈可能改变系统的状态能观性。可能改变系统的状态能观性。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理
15、工学院洛阳理工学院6.16.1线性反馈控制系统的基本线性反馈控制系统的基本结构结构120()131xABHC xBvxv 其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为所以输出反馈闭环系统为状态能控又能观的所以输出反馈闭环系统为状态能控又能观的。02rank()rank21312rankrank2()34BABHC BnCnC ABHC3.3.经输出反馈经输出反馈u u=-HyHy+v v 后后的闭环系统的状态方程为的闭环系统的状态方程为洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置 对线性定常系统对线性定常系统,系统的稳定性
16、和各种性能的系统的稳定性和各种性能的品质指标品质指标,在很大在很大程度程度 上上是由闭环系统的极点位置所决定的。是由闭环系统的极点位置所决定的。在在进行系统设计时进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于设法使闭环系统的极点位于s s平面上平面上的一组合理的的一组合理的、具有具有所期望的性能品质指标的极点所期望的性能品质指标的极点,是可以是可以有效地改善系统的性能有效地改善系统的性能品质品质 指标指标的。的。这样的控制系统设计方法称为极点配置。这样的控制系统设计方法称为极点配置。在在经典控制理论的系统综合中经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还是根轨迹法无论采用频率域法还是根轨迹法,都是都
17、是通通 过过改变极点的位置来改善性能指标改变极点的位置来改善性能指标,本质上均属于极点配置方法。本质上均属于极点配置方法。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置6.2.1 6.2.1 状态反馈实现极点配置状态反馈实现极点配置定理定理 1 1 给定系统给定系统0:xAx Buy Cx0(,)A B C完全能控完全能控。u v Kx 通过通过状态反馈状态反馈 任意任意配置极点的充配置极点的充要条件要条件:洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置证证:只就单输入系统的情况证明本定理只就单输入系统
18、的情况证明本定理.充分性充分性（1 1）因给定因给定系统系统 能控，能控，可通过可通过线性变换线性变换 变为变为能控标准形能控标准形 10:cxAxBuxT xyCx 这里，这里，1cT为非奇异的线性变换矩阵为非奇异的线性变换矩阵1111101110110100000,;000101 cccncnATATBTBaaaCCT 1cxT x洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置（2 2）对新的系统方程引入状态反馈）对新的系统方程引入状态反馈 ()KxABK xBvyCx：显然有显然有001111010000()0001nnABKakakak则则
19、闭环系统状态空间闭环系统状态空间表达式为表达式为特征方程为特征方程为12111100()()()0nnnnnsaksak sakuvKx011nKkkk洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置，期望期望的闭环特征方程的闭环特征方程*1*12110()()()0nnnnssssasa sa比较系数比较系数*000*111*000*111*111*111nnnnnnkaakaakaakaakaakaa12111100()()()0nnnnnsaksak sak可知可知3 3）由指定的）由指定的任意任意n n个期望个期望闭环极点闭环极点 ,*12.
20、,n又因为又因为1cuvKT xvKx11cKKT所以所以 洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置1211,00ccccccAAbATATbT bA且对任意且对任意12,kk k，有，有det()det()det()cs IABKsIABT KsIABK采用采用反证法，设反证法，设 不完全不完全能控，能控，则有线性变换则有线性变换 使系统能控性结构分解使系统能控性结构分解必要性。必要性。cT洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置21 00rankrank 0 1130 01BABA B解
21、：解：因为因为例例1 1 给定系统的状态空间表达式为给定系统的状态空间表达式为00011100 0110110 xxuyx求状态反馈增益阵求状态反馈增益阵 K，使反馈后闭环特征值为，使反馈后闭环特征值为 系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律能任意配置闭环特征值。系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律能任意配置闭环特征值。*12,32,13j 洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置1)1)由由3200det()det1102011ssIAsssss得得:0120,1,2.aaa3)3)001122,8,7,2Kaa aa aa2)2)由由*
22、0128,8,4.aaa得得:*12332()()()(2)(13)(13)488sssssjsjsss洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置4)4)22121001 2 1101 1 011 0 0cTAB ABBaaa5)5)11121001110011100121cT6)6)1001872011233121cKKT洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置直接配置算法直接配置算法2 2)计算理想特征多项式计算理想特征多项式1110()()()()nnnf ssak sa k sa k其
23、中其中 :是是反馈矩阵反馈矩阵K K的参数的参数1 1)将将 带入系统，求闭环系统的特征多项式带入系统，求闭环系统的特征多项式*1*12110()()()()nnnnfxssssasa sa01,nkk01,nKkkuv BK 3)3)列列方程组方程组 并求解并求解 *(),1,iia ka in洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置10()(1)(2)G ss ss0100001002311000 xxuyx例例2 2 给定系统的传递函数为给定系统的传递函数为解：解：因为传函中没有零点极点相消，所以系统能控能观。因为传函中没有零点极点相消
24、，所以系统能控能观。其能控标准其能控标准I I型为：型为：求状态反馈增益求状态反馈增益阵阵，使反馈后闭环特征值为，使反馈后闭环特征值为 *12,32,1j 洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置比较各项对应系数，可得到：比较各项对应系数，可得到：0124,4,1kkk32210()det I()(3)(2)fABKkkk*32()(2)(1)(1)464fjj 加入状态反馈矩阵加入状态反馈矩阵 ,闭环特征多项式为：闭环特征多项式为：根据给定极点，期望多项式为：根据给定极点，期望多项式为：012 Kkkk4 4 1K 反馈增益矩阵：反馈增益矩
25、阵：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置()()fIABK小结：小结：求解状态反馈阵求解状态反馈阵K K的步骤：的步骤：1)1)检验检验系统系统的能控的能控性性2)2)计算计算3 3）由期望极点求反馈阵）由期望极点求反馈阵K K*12*()()()()()()()()nffffIABK洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置注：注：极点位置的确定，须考虑它们对系统性能的主导影响及与零点分布的关极点位置的确定，须考虑它们对系统性能的主导影响及与零点分布的关系。还要兼顾抗干扰性和抗噪性。系。
26、还要兼顾抗干扰性和抗噪性。(1)(1)对于对于SISOSISO系统，状态反馈不会移动系统的零点。状态反馈不改变系统的系统，状态反馈不会移动系统的零点。状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的公因子维数，但是闭环传递函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的公因子被对消所致。被对消所致。(2)(2)若系统是不完全能控的，可进行系统能控性结构分解若系统是不完全能控的，可进行系统能控性结构分解(3)(3)1111121222200 xxAAbuxxA其中其中，的特征值不能任意配置。的特征值不能任意配置。22A洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院
27、6.2 6.2 极点配置极点配置6.2.2 6.2.2 输出反馈实现极点配置输出反馈实现极点配置定理定理 2 2 对完全能控的单输入单输出系统，不能通过输对完全能控的单输入单输出系统，不能通过输 出线性出线性反馈反馈实现实现 极点极点任意配置。任意配置。定理定理 3 3 对完全能控的单输入单输出系统，通过带对完全能控的单输入单输出系统，通过带动态补偿器动态补偿器的的输出反馈输出反馈 实现极点任意配置的充要条件：实现极点任意配置的充要条件：1.1.系统能观；系统能观；2.2.动态补偿器的维数动态补偿器的维数n-1n-1。注：注：1.1.如果如果不要求任意配置极点，补偿器的阶次可以降低；不要求任意
28、配置极点，补偿器的阶次可以降低；2.2.闭环系统闭环系统的零点：串联连接时的零点：串联连接时-系统零点系统零点+补偿器零点补偿器零点 并联并联连接时连接时-系统零点系统零点+补偿器极点补偿器极点洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置 系统完全能观。系统完全能观。6.2.3 6.2.3 输出输出到状态到状态微分反馈实现极点配置微分反馈实现极点配置定理定理 4 4 对系统对系统 采用从输出到状态微分的线性反馈来采用从输出到状态微分的线性反馈来实现实现闭环系统闭环系统极点、极点、的的任意配置的充要条件是：任意配置的充要条件是：和状态反馈的求解很类
29、似，当系统的维数比较低时和状态反馈的求解很类似，当系统的维数比较低时，只要，只要系统能观测系统能观测，也也可以不用化成能观标准型，直接可以不用化成能观标准型，直接比较比较特征多项式的系数来确定特征多项式的系数来确定反馈反馈 矩阵矩阵G G。系统维数高时，化为能观标准系统维数高时，化为能观标准II II型处理。型处理。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置10rankrank201CCA解：解：因为因为求反馈增益阵求反馈增益阵G G，使极点配置在，使极点配置在：5 5，8.8.系统是状态完全能观。系统是状态完全能观。例例3 3 给定系统的状态
30、空间表达式为给定系统的状态空间表达式为0110 1001 10 xxuyx洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.2 6.2 极点配置极点配置比较各项对应系数，可得到：比较各项对应系数，可得到：01gGg201()det I-()(1)fAGCgg *2()(5)(8)1340f加入反馈矩阵加入反馈矩阵 ,系统的闭环特征多项式为系统的闭环特征多项式为根据给定极点，期望多项式为：根据给定极点，期望多项式为：1339G 洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.3 6.3 系统解耦系统解耦耦合是生产过程控制系统普遍存在的一种现象。耦合是生产过程控制系统
31、普遍存在的一种现象。在一个在一个MIMOMIMO系统中系统中,每一个输入都受多个输出的影响每一个输入都受多个输出的影响,每个每个输出受输出受多多 输入的输入的控制控制,当一个控制量的变化必然会当一个控制量的变化必然会波及波及其它量的变化其它量的变化,这种这种现象现象 称为称为耦合耦合。所谓解耦所谓解耦,就是消除系统间耦合关联作用就是消除系统间耦合关联作用.如果一个输入量只受一个输出量影响如果一个输入量只受一个输出量影响,即一个输出仅即一个输出仅受一受一个输入控制个输入控制,这样这样的系统称为无耦合系统。的系统称为无耦合系统。6.3.1 6.3.1 解耦的定义解耦的定义洛阳理工学院洛阳理工学院第
32、第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.3 6.3 系统解耦系统解耦11()0()0()mmWsW sWs 在许多工程问题中在许多工程问题中,特别是过程控制中特别是过程控制中,解耦控制解耦控制有着重要有着重要的意义的意义。目前目前许多在航天许多在航天,发电发电,化工等方面的化工等方面的控制系统控制系统难于投入运行难于投入运行,不少不少是是 因耦合因耦合的原因造成的原因造成,因此解耦因此解耦问题的问题的研究十分重要。研究十分重要。若一个若一个m m维输入维输入u u和一个和一个m m维输出维输出y y的动力学系统的动力学系统,其传递函数矩阵其传递函数矩阵是一个对角线有理多项式是一个对角线有理多项式
33、矩阵：矩阵：则称该多变量系统是解耦的则称该多变量系统是解耦的。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.3 6.3 系统解耦系统解耦 实现解耦有两种方法实现解耦有两种方法:前馈补偿器解耦前馈补偿器解耦 状态反馈解耦状态反馈解耦后者虽然不增加系统的维数后者虽然不增加系统的维数,但利用它实现解耦的条件比补偿器解耦但利用它实现解耦的条件比补偿器解耦相相 对对苛刻。苛刻。前者方法简单前者方法简单,只需要在待解耦的系统前面串联一个前馈补偿器，使得只需要在待解耦的系统前面串联一个前馈补偿器，使得传递函数矩阵成为对角阵。但将使系统维数增加传递函数矩阵成为对角阵。但将使系统维数增加;洛阳
34、理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.3 6.3 系统解耦系统解耦Wo(s)Wo(s)为原系统的传递函数阵为原系统的传递函数阵,WdWd(s)(s)为补偿的传递函数矩阵为补偿的传递函数矩阵,即解耦控制器。即解耦控制器。6.3.2 6.3.2 前馈补偿器解耦前馈补偿器解耦下图所示的为前馈补偿器解耦下图所示的为前馈补偿器解耦框图：框图：1()()()OdW sWs W s根据串联组合系统，整个系统的传递函数为根据串联组合系统，整个系统的传递函数为 W(sW(s)：串联补偿器的传递函数阵为：串联补偿器的传递函数阵为：1122()0()()()()0()odnnW sW sW s
35、 W sWsWs洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.3 6.3 系统解耦系统解耦其中：其中：u,yu,y为为m m维向量维向量,x,x为为n n维向量维向量,A,A为为n nn n方阵方阵,B B为为n nm m矩阵矩阵,C,C为为m mn n矩阵矩阵。6.3.2 6.3.2 状态反馈状态反馈解耦解耦所谓状态反馈解耦所谓状态反馈解耦,即通过对系统设计状态反馈律即通过对系统设计状态反馈律,构造状态反馈闭环控构造状态反馈闭环控制系统制系统,使得闭环系统的输入输出间实现解耦。使得闭环系统的输入输出间实现解耦。对给定的被控系统的状态空间模型对给定的被控系统的状态空间模型为为
36、xAxBuyCx洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.3 6.3 系统解耦系统解耦使得使得闭环系统的输入输出实现完全解耦。闭环系统的输入输出实现完全解耦。这里：这里：K K是一个是一个m mn n的实数状态反馈矩阵的实数状态反馈矩阵,F F是一个是一个m mm m的实常数非奇异矩阵的实常数非奇异矩阵,v v是是m m维的外部输入向量维的外部输入向量。uFvKx对上述系统对上述系统,构造如下状态反馈控制律构造如下状态反馈控制律:洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.3 6.3 系统解耦系统解耦 将状态反馈解耦控制律作用在状态空间模型上将状态反馈
37、解耦控制律作用在状态空间模型上,可得如下闭环控制系可得如下闭环控制系 统状态空间模型统状态空间模型 状态反馈解耦问题的目标是如何设计选取矩阵状态反馈解耦问题的目标是如何设计选取矩阵K K与与F,F,从而使闭环系统从而使闭环系统 是解耦的。是解耦的。对于该解耦控制问题对于该解耦控制问题,有如下完全状态反馈解耦控制律存在的条件。有如下完全状态反馈解耦控制律存在的条件。()xABK xBFvyCx洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.36.3系统解耦系统解耦 ,(1,2,)iCim111222+1+1111+1222 mmmdddddddddmmmC AC A BC AC
38、AC A BC ADEDBLDAC AC A BC A,(1,2,)idim1.id定义0 (0,1,.,1)liC A Blm是系统输出矩阵是系统输出矩阵C C中第中第i i行向量行向量。2 2 矩阵矩阵D E L D E L 2.1 2.1 状态反馈解耦中的几个特征量状态反馈解耦中的几个特征量 是从是从0 0到到n-1n-1之间的一个最小正整数之间的一个最小正整数,且满足不等式且满足不等式洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.3 6.3 系统解耦系统解耦其中：其中：是系统输出矩阵是系统输出矩阵C C中第中第i i行向量行向量,是从是从 0 0到到n-1n-1之间的
39、一个最小正整数之间的一个最小正整数,且满足不等式且满足不等式,(1,2,)iCim1212mdddmC A BC A BEC A B,(1,2,)idim0(,)A B C0 (0,1,.,1)liCABlm 2.2 2.2 状态反馈解耦条件状态反馈解耦条件对被控系统对被控系统 ，能采用状态反馈完全，能采用状态反馈完全解耦的解耦的充分必要条件为充分必要条件为：如下如下定义的矩阵定义的矩阵E E是非奇异矩阵。是非奇异矩阵。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.3 6.3 系统解耦系统解耦定理定理 若系统若系统 是状态反馈能解耦的是状态反馈能解耦的,则闭环系则闭环系统统0
40、(,)A B C是一个积分型解耦系统。是一个积分型解耦系统。状态反馈矩阵：状态反馈矩阵：输入变换矩阵：输入变换矩阵：闭环传递函数：闭环传递函数：1KE L1211111,11000()()0mddK FdssWsC sIABKBFs1FE()pppxA xB vABK xBFvyC xCx2.3 2.3 积分积分型型 解耦系统解耦系统洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.3 6.3 系统解耦系统解耦例例1 1 设系统的状态空间模型为：设系统的状态空间模型为：试用状态反馈把系统变成积分型解耦系统。试用状态反馈把系统变成积分型解耦系统。000100010012301110
41、001xxuyx洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.3 6.3 系统解耦系统解耦系统存在耦合现象系统存在耦合现象.21311(1)(2)(1)(2)()()1(1)(2)(1)(2)sss ssssG sC sIABsssss解解 给定系统的传递函数矩阵为给定系统的传递函数矩阵为 1 23+-2x1x2y1y2u1u3x 23xx系统的状态图如图所示系统的状态图如图所示:洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院5.4 5.4 系统解耦系统解耦由由 知知1210 01C BC B121211221111221001001123ddddC BC A
42、BEC BC A BC AC ALC AC A1100110,12301KE LFE 120dd 由于由于E E是非奇异阵是非奇异阵,所以系统可以解耦所以系统可以解耦。因此因此,状态反馈状态反馈解耦矩阵解耦矩阵为：为：有有洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.3 6.3 系统解耦系统解耦此时闭环系统状态方程和输出方程为：此时闭环系统状态方程和输出方程为：00110()001()00()00001110()()001x tx tv ty tx t传递函数为传递函数为:1101100110()0100001100001ssW ssss洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛
43、阳理工学院洛阳理工学院6.3 6.3 系统解耦系统解耦 积分型解耦系统的闭环极点全是零积分型解耦系统的闭环极点全是零,显然系统是不稳定的显然系统是不稳定的,所以这种解耦方法不令人满意。所以这种解耦方法不令人满意。不过可以对完全解耦的每个不过可以对完全解耦的每个SISOSISO子系统单独设计一个状态反馈律子系统单独设计一个状态反馈律 将每个解耦的子系统的极点配置到所需要的位置上去。将每个解耦的子系统的极点配置到所需要的位置上去。1u2u1y2y11110()10mddsW ss洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.4 6.4 状态观测器状态观测器 利用状态反馈能任意配置
44、闭环系统的极点及有效改善系统性能，利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能，然而系统的状态变量并不都能用物理方法测量，有些状态变量甚然而系统的状态变量并不都能用物理方法测量，有些状态变量甚 至根本无法检测；至根本无法检测；因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题-状态观测状态观测 或称为状态重构；或称为状态重构；并用这个重构状态代替原系统实际状态并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈。实现状态反馈。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.4 6.4 状态观测器状态观测器系统系统能产生一个输出能产
45、生一个输出 渐近于渐近于 ，即：，即：6.4.1 6.4.1 状态观测器的定义状态观测器的定义状态变量不能直接检测。状态变量不能直接检测。0:(,)A B C系统系统的输入和输出为输入量重构一个系统，的输入和输出为输入量重构一个系统，以以 xx的一个状态观测器。的一个状态观测器。是是00lim0txx洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.4 6.4 状态观测器状态观测器1.1.系统系统注：注：2.2.为为满足满足 的输入和输出为输入量；的输入和输出为输入量；0lim0,txx以以0 xx4.4.在结构上要尽量在结构上要尽量简单，尽可能简单，尽可能低的低的维数便于维数便
46、于物理实现。物理实现。必须完全能观，或是不能观子系统是渐近稳定必须完全能观，或是不能观子系统是渐近稳定；3.3.的输出的输出 应以足够快的速度渐近于应以足够快的速度渐近于 ；洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.4 6.4 状态观测器状态观测器（1 1）系统方程为系统方程为（2 2）重构一个系统，该系统的各参数与原系统相同重构一个系统，该系统的各参数与原系统相同（1 1）式减去（）式减去（2 2）式）式（3 3）状态观测器的存在条件状态观测器的存在条件0()(0)xAxBuyCxx txxAxBuyCx()()xxA xxyyC xx洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章
47、章洛阳理工学院洛阳理工学院6.4 6.4 状态观测器状态观测器()()()xAxBuG yyAxBuGC xxAGC xBuGy 当两个系统的初始状态完全一致，参数也完全一致当两个系统的初始状态完全一致，参数也完全一致，则，则 。但是但是实际系统总会有一些差别，因此实际系统总会有一些差别，因此实际上实际上 。xxxx 当当 时时，也也不为零，可以引入信号不为零，可以引入信号 来校正来校正 系统系统（2 2），就），就成为了状态观测器成为了状态观测器：xxyy()yy其中，其中，为为 维反馈维反馈矩阵。矩阵。nmG（4）洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.4 6.4
48、状态观测器状态观测器由由(5)式可知，如果适当选择式可知，如果适当选择G 矩阵，使矩阵，使(A-GC)的所有特征值具有负实部的所有特征值具有负实部，则：则：(4)系统就是系统就是(1)系统的状态观测器，系统的状态观测器，就是重构的就是重构的状态状态 。lim()lim()ttx tx t 问题的实质：就是构造一个新的系统问题的实质：就是构造一个新的系统 (或者说装置或者说装置)，利用原系统中可，利用原系统中可直接直接 测量测量的输入量的输入量u u和输出量和输出量y y 作为它的输入信号，并使其输出信号满足：作为它的输入信号，并使其输出信号满足：（1 1）式减去（）式减去（4 4）式）式()(
49、)()xxAxBuAGC xBuGyAGCxx xlim()0txx（5 5）洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.4 6.4 状态观测器状态观测器全维状态观测器全维状态观测器 维数等于原系统维数维数等于原系统维数降维降维状态观测器状态观测器 维数小于原系统维数维数小于原系统维数定理定理1 1 系统的状态观测器存在的充分必要条件是：系统的状态观测器存在的充分必要条件是：不能观的子系统是渐近稳定的。不能观的子系统是渐近稳定的。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.4 6.4 状态观测器状态观测器()()()xAxBuG yyAxBuGC xxx
50、AGC xBuGy状态观测器方程：状态观测器方程：6.4.2 6.4.2 状态观测器的设计方法状态观测器的设计方法 定理定理 2 2 若线性定常系统完全能观，则其状态变量若线性定常系统完全能观，则其状态变量x x可可由由输入输入 u u 和和 输出量输出量y y进行重构进行重构。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.4 6.4 状态观测器状态观测器()()()xAxBuG yyAxBuGC xxxAGC xBuGy全维状态全维状态观测器观测器洛阳理工学院洛阳理工学院第第 6章章洛阳理工学院洛阳理工学院6.4 6.4 状态观测器状态观测器定理定理 3 3 系统的状态观测
