1、洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐线性定常齐次状态方程次状态方程的解的解()()x tAx t齐次状态方程：齐次状态方程：，系统输入为零。，系统输入为零。初始时刻初始时刻t t0 0的的状态有状态有：0()00()e,A t tx txtt则状态方程有唯一解：则状态方程有唯一解：初始时刻初始时刻从从 开始开始：0()e,0Atx tx t则状态方程有解：则状态方程有解：0(0)xx00()x tx0t 3.1.1 3.1.1 齐次状态方程的解齐次状态方程的解洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐
2、次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解（1 1）先考察标量齐次微分方程的幂级数解法先考察标量齐次微分方程的幂级数解法xax230123kkxbbtb tb tb t假设其解为一幂级数假设其解为一幂级数（2 2）常见解法：常见解法：幂级数法幂级数法将（将（2 2）式代入（）式代入（1 1）式）式21212301223()kkkkbb tb tkb ta bbtb tb t洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解方程解：方程解：2 211()(1)(0)e(0)2!kkatx tata ta txxk（3 3）因为
3、因为2 211e12!atk kata ta tk 10221001122!11!kkkbabbaba bbaba bkk而而0(0)bx等式两边等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有的同次幂的系数相等，因此有洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解模仿模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程的解为标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程的解为230123kkxbbtb tb tb t（4 4）21123201223 ()kkkkbb tb tkb tA bb tb tb t将（将（
4、4 4）式代入状态方程式）式代入状态方程式等式两边等式两边t t 同次幂的系数相等，因此有同次幂的系数相等，因此有洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解10221001122!11!kkkbAbbAbA bbAbA bkk而而0(0)bx则线性定常系统齐次状态方程的解为则线性定常系统齐次状态方程的解为2 211()()(0)2!k kx tIAtA tA txk（5 5）记记2 2112!Atk keIAtA tA tkAx()ex(0)tt（6 6）则则洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理
5、工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解2 22224353524112!10001 0102!012!4!3!5!13!5!2!4!cossin sincosAtk keIAtA tA tktttttttttttttttttt解：解：求系统求系统的解。的解。例例1.1.已知已知：0001()(),()10 x tx t x tx00cossin()sincosAtttx te xxtt系统的解系统的解洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解3.1.2 3.1.2 状态转移矩阵状态
6、转移矩阵()x t线性定常系统齐次状态方程的解为线性定常系统齐次状态方程的解为0()0()()A t tx tex t或或()()(0)A tx tex 几何几何意义是：系统从意义是：系统从初始状态初始状态 开始，随着时间的推移，开始，随着时间的推移，由由 转移转移到到 ,再再由由 移移到到 的的形态完全由形态完全由 决定决定。0()A t te2()x t21()A tte10()A tte1()x t0()x t1 1 状态转移矩阵状态转移矩阵的定义的定义洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解xAx 00
7、0()(),0()(),xt x ttxttx ttt 称为状态转移矩阵（矩阵指数函数）称为状态转移矩阵（矩阵指数函数）0()A t te常用常用 表示表示:0()tt的解，又可以表示为：的解，又可以表示为：0()00()(),0A t tAtttetet洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解在在 时，时，已知，已知状态转移轨线状态转移轨线在在 时的状态为时的状态为：0t 1020(0)xxx1()t1t t111121()()(0)xx tt xx 如已知如已知 ，在，在 的状态为的状态为2()t2t t1
8、22222()()(0)xx ttxx 即状态从即状态从 开始，将按开始，将按 或或 转移到转移到 或或 ，在，在状态空间中绘出一条运动轨线。状态空间中绘出一条运动轨线。2()x t1()t2()t(0)x1()x t洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解2 2 状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质102021211020()()()()()()A ttA ttA tttttttteee 性质一：组合性性质一：组合性性质二：性质二：()()I I A t ttte性质三：性质三：11()()AtAtttee
9、()()()=AtAtAtdtAtt AeAee Adt()AtBtA B tABBAe ee性质四：交换性性质四：交换性性质五：性质五：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解12n000000A则有：则有：12000000nttAtteeee3 3 几个特殊矩阵指数函数几个特殊矩阵指数函数(1)(1)若若 为对角矩阵为对角矩阵A洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解m m10000000010000A 则有：则有：2121
10、1121!1012!0000001mmAttm mtttmttmeet约旦矩阵约旦矩阵 mm若若 A A 为为 （2 2）线性变化变为约旦标准型线性变化变为约旦标准型1210000000nttAtteeeTTe洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解则有：则有：1210000000nttAtteeeTTe(3)(3)若若A A为为能通过线性变化变为约旦标准型能通过线性变化变为约旦标准型则有：则有：cossinsincosAtttteett-A(4)(4)若若-A洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛
11、阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解3.1.3 3.1.3 状态转移矩阵的计算状态转移矩阵的计算(1)(1)定义法：定义法：按照定义直接计算，适合于计算机实现按照定义直接计算，适合于计算机实现2 211()2!Atk kteIAtA tA tk洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解23232323231001010111012323232!3!37126 775231 3322Atetttttttttttttt解：解：,求求 。例例1 1 已知：已知：0123AAte洛阳
12、理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解(2)(2)变换变换A A为约旦标准型法：为约旦标准型法：则有则有 n n 个个互异的特征值互异的特征值设设A A具有具有12,n.a满足满足T其中其中11,.nT ATdiag1210000000nttAtteeeTTe洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解解解:1)1)特征值特征值12-11202+3 1,2IA 01-2-3A试计算矩阵指数函数。试计算矩阵指数函数。例例1 1 已知矩阵
13、已知矩阵 2)2)计算特征向量，求取相应的变化矩阵计算特征向量，求取相应的变化矩阵-1121122211TT，则有：则有：122222212110022200112 222ttAttttttttttteeeTTeeeeeeeeee洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解-1-21-1!-2!0ntttnttAtttteteenteeeTTntee.b设设A A 具有具有 n n 个个重特征值重特征值 则有则有洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性
14、定常齐次状态方程的解解解:1)1)计算特征根及特征向量，构造变换矩阵：计算特征根及特征向量，构造变换矩阵：2123 (1)(2)1111,0,2114IAppp 010001254A,试试计算矩阵计算矩阵指数函数指数函数.例例2 2 已知矩阵已知矩阵 2)2)构造构造变换矩阵变换矩阵3)3)计算矩阵指数函数计算矩阵指数函数11222222222111025210200231 114001212322 43410121122244388ttAtTATtttttttttttttttttttttttttteteeTeTeeteeteeeteeeeteeeteeteeeteeeteee232tttte
15、ee1111252102,231114121TT洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解111()()()(0)()()(0)()(0)x tAx tsX sxAX sX ssIAxx tLsIAx(3)(3)拉氏变换法：拉氏变换法：11()AtteLsIA有：有：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解例例3.3.用用LaplaceLaplace变换法计算矩阵指数：变换法计算矩阵指数：0112323sAsIAs13112323
16、11212 21212ssIAss sssssssssss解：解：1222221111212221212122 222AtttttttttsssseLsssseeeeeeee洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.1 3.1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解例例4.4.用用LaplaceLaplace变换法计算矩阵指数：变换法计算矩阵指数：3222A132 22 3212212321212 2212 12ssIAsssIAsssssssssssss解：解：n则有：则有：122224/31/32/32/312122/32/31/34/31212412233
17、33 22143333AtttttttttsssseLsssseeeeeeee 洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.2 3.2 线性线性定定常非常非齐齐次状态方程的次状态方程的解解 x tAx tBu t()0()(0)()tAtA tx te xeBud考虑系考虑系统在控制输入作用下的运动：统在控制输入作用下的运动：当初始当初始时刻时刻 ，初始状态初始状态为为 ，其解为：，其解为：0()x t00t00()()00()()(),tA t tA ttx tex teBudtt当初始时刻当初始时刻 ，初始状态为，初始状态为 ，其解为：其解为：0()x t0t3.2.1
18、 3.2.1 非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.2 3.2 线性定常非齐次状态方程的解线性定常非齐次状态方程的解()()(),(0),0 x tAx tBu txt()()()()AtAtAtdex tex tAx teBu tdt 证明：证明：两边积分得：两边积分得：00()()ttAAdexdeBudd将将 左左乘乘 后后求导得：求导得：()x tAte洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.2 3.2 线性定常非齐次状态方程的解线性定常非齐次状态方程的解0()(0)I()tAtAex txeBud(
19、)0()(0)(),0tAtA tx te xeBudt更一般的形式为：更一般的形式为：00()()00()()(),tA t tA ttx tex teBudtt系统系统的动态响应由两部分组成的动态响应由两部分组成：一部分一部分是由初始状态引起的系统自由运动，叫做零输入响应是由初始状态引起的系统自由运动，叫做零输入响应；一部分一部分是由控制输入所产生的受控运动，叫做零状态响应。是由控制输入所产生的受控运动，叫做零状态响应。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.2 3.2 线性定常非齐次状态方程的解线性定常非齐次状态方程的解n注：注：1 1 系统的运动系统的运动 包括
20、两个部分。一部分是输入向量为零时，包括两个部分。一部分是输入向量为零时，初始状态初始状态 引起引起的，即相当于的，即相当于自由运动自由运动。2 2 第二部第二部 分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强制运动强制运动。正是正是 由于由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适当的第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适当的输输 入向量入向量 ，使，使 的的形态满足期望的要求。形态满足期望的要求。()x t()u t()x t洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.2 3.2 线性定常非齐次状态方程的解线性
21、定常非齐次状态方程的解例例1 1 线性定常系统的状态方程为线性定常系统的状态方程为11220101,(0)()1()2310 xxuxu ttxx 解：解：在前例中已经求得在前例中已经求得22A222eeee()e2e2ee2etttttttttt02222()2()()2()()2()()2()0()()(0)()()12 022202 1()1222 ttttttttttttttttttx tt xtBudeeeeeeeeeeeedeeee 2222112 2222tttttttteeeeeeee洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.2 3.2 线性定常非齐次状态
22、方程的解线性定常非齐次状态方程的解3.2.3 3.2.3 拉拉氏变换氏变换法求解法求解11 ()(0)()()()()(0)()()()(0)()()sX sxAX sBU ssIA X sxBU sX ssIAxsIABU s将将两端取拉氏变换：两端取拉氏变换：用到卷积定理用到卷积定理10()()()()tsIABU sLtBud则则0()()(0)()()tx tt xtBud xAxBu对上式取拉氏反对上式取拉氏反变换变换，洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院2.3 2.3 线性线性定常系统非齐次方程的解定常系统非齐次方程的解例例2 2 线性定常系统的状态方程为线
23、性定常系统的状态方程为11220101,(0)()1()2310 xxuxu ttxx 解：解：在前例中已经求得在前例中已经求得13112123 11 22321212sssssssIAsss sssss11222222()(0)1232 122234ttttttttttttLsIAxeeeeeeeeeeee 12112111(1)(2)()()221(1)(2)tttts sseeLsIABU seess1111222222()()(0)()()1113232 22223423ttttttttttttx tLsIAxLsIABU seeeeeeeeeeee洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章
24、洛阳理工学院洛阳理工学院3.2 3.2 线性定常非齐次状态方程的解线性定常非齐次状态方程的解系统状态方程的解系统状态方程的解 00()()00()()(),tA t tA ttx tex teBudtt(1)(1)x x(t t)是由初值引起的零输入解和控制所产生的零状态解的叠加和。是由初值引起的零输入解和控制所产生的零状态解的叠加和。(2)2)解的结构显示了从解的结构显示了从x(t0)x(t0)到到x(t)x(t)的一种变换关系。的一种变换关系。0()0,A t tet t 其中：其中：称为称为状态转移矩阵状态转移矩阵。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.2 3.
25、2 线性定常非齐次状态方程的解线性定常非齐次状态方程的解系统方程：系统方程：1122010001xxuxx 1(0)1x ()1()u tt练习：练习：求下面线性定常系统的解。求下面线性定常系统的解。初始条件：初始条件：输入条件：输入条件：洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.3 3.3 线性定线性定常离散系统状态方程常离散系统状态方程的解的解3.3.1 3.3.1 线性连续系统的时间离散化线性连续系统的时间离散化典型典型的线性离散系统是由的线性离散系统是由采样采样器、保持器、保持器器、离散、离散时间控制时间控制装装置置和和连续时间连续时间受控对象组成受控对象组成，如
26、图所示如图所示：离散化问题，就是基于一定的采样方离散化问题，就是基于一定的采样方式和保持方式，由系统的连续时间状式和保持方式，由系统的连续时间状态空间描述推导出相应的离散时间状态空间描述推导出相应的离散时间状态空间描述，并对两者的系数矩阵建态空间描述，并对两者的系数矩阵建立对应的关系式。对连续时间线性系立对应的关系式。对连续时间线性系统的时间离散系统，随着采样方式和统的时间离散系统，随着采样方式和保持方式的不同，通常其状态空间描保持方式的不同，通常其状态空间描述也不同。一般地，采样器的采样方述也不同。一般地，采样器的采样方式常取以常数为周期的等间隔采样，式常取以常数为周期的等间隔采样，且采样脉
27、冲宽度远小于采样周期，采且采样脉冲宽度远小于采样周期，采样周期的选择须满足香农采样定理。样周期的选择须满足香农采样定理。保持方式采用零阶保持方式。保持方式采用零阶保持方式。洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.3 3.3 线性定线性定常离散系统状态方程常离散系统状态方程的解的解定理定理3.1 3.1 给定线性连续定常系统给定线性连续定常系统000()()(),(),()()()x tAx tBu tx txtty tCx tDu t离散时间状态空间描述为离散时间状态空间描述为0(1)()(),(0),0,1,2,.()()()x kGx kHu kxxky kCx k
28、Du k0()(),()(),()(),t kTt kTt kTTAtAtx kx tu ku ty ky tGeHe dt B对应关系对应关系洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.3 3.3 线性定线性定常离散系统状态方程常离散系统状态方程的解的解例例 给定线性连续定常系统如下，设采样周期给定线性连续定常系统如下，设采样周期T=0.1,T=0.1,试将其离散化。试将其离散化。101()()(),0111x tx tu tt 解：解：连续系统的状态转移矩阵连续系统的状态转移矩阵为为0()tAtttetetee0.1T0.10.1TTTTTTTT001.10500=0.
29、1105 1.1050.1110.105001 =110.1105T+11TAtAttteGeeeeeeHe dt Bdtteeeeee 对应关系对应关系1122(1)()1.10500.105(1)()(1)()0.11051.1050.1105x kx kx ku kx kx k洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.3 3.3 线性定线性定常离散系统状态方程常离散系统状态方程的解的解3.3.2 3.3.2 离散系统状态空间方程的解离散系统状态空间方程的解1 1 迭代法迭代法-递递推的数值解法推的数值解法 思路：利用给定或上一采样时刻状态值，迭代确定下一采样时刻的状
30、态。思路：利用给定或上一采样时刻状态值，迭代确定下一采样时刻的状态。0(1)()(),(0),0,1,2,.x kGx kHu kxxk例例 给定的线性离散系统状态方程为：给定的线性离散系统状态方程为：111222(1)()(0)1011(),=(1)()(0)1111xkxkxu kxkxkx 其中：其中：计算状态变量在采样时刻计算状态变量在采样时刻 的值。的值。1,0,2,4,.()=1,1,3,5,.ku kk1,2,3k 洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.3 3.3 线性定线性定常离散系统状态方程常离散系统状态方程的解的解解：解：12(0)1011(0),
31、(0),(0)1,=(0)1111xABux 0k 12(1)10112(1)11113 xx 12(1)1012(1),(1),(1)1,=(1)1113xABux 1k 12(2)10211(2)11314xx 12(2)1011(2),(2),(2)1,=(2)1114xABux 2k 12(3)10112(3)11415xx 洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.3 3.3 线性定线性定常离散系统状态方程常离散系统状态方程的解的解3.3.2 3.3.2 离散系统状态空间方程的解离散系统状态空间方程的解2 Z2 Z变换法变换法对方程求取对方程求取z z变换：变换
32、：0(1)()(),(0),0,1,2,.x kAx kBu kxxk则有则有()(0)()()zX zzxGX zHU z取取z z反变换：反变换：离散系统状态转移矩阵离散系统状态转移矩阵 -11()(kZzIGz）11()(0)()X zzIGzxzIGHU z）1111()(0)()x kZzIGz xZzIGHU z）洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.3 3.3 线性定线性定常离散系统状态方程常离散系统状态方程的解的解例例 给定的线性离散系统状态方程为：给定的线性离散系统状态方程为：12(0)0111(1)()(),=(0)0.16111xx kx ku
33、kx 其中：其中：计算状态变量的值。计算状态变量的值。()=1,1,2,3,.u kk 解：解：110(0.161101 0.16(0.2)(0.8)zzIAzzzzz）1122 ()(0)()172225(2)6918(0.2)(0.8)(1)0.20.81 3.417.67(1.84)6918(0.2)(0.8)(1)0.20.81X zzIGzxzIGHU zzzzz zzzzzzzzzzzzzzzzzzz）洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.3 3.3 线性定线性定常离散系统状态方程常离散系统状态方程的解的解所以：所以：1172225(0.2)(0.8)69
34、18()()3.417.67(0.2)(0.8)6918kkkkx kZX z当当11221122(0)(1)10(0),(1),(0)(1)11.84(2)(3)2.840.16(2),(3).(2)(3)0.841.386xxxxxxxxxxxx()=1,1,2,3,.u kk 洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院3.4 3.4 基于基于MatlabMatlab求解状态空间表达式求解状态空间表达式3.4.1 3.4.1 计算状态转移矩阵计算状态转移矩阵()()()()eAt 3*exp2*2*exp3*,exp2*6exp3*6*exp3*6*e()(xp2*3*exp3*2*exp2),()()*tttttttt例例 已知系统方程如下，求状态转移矩阵。已知系统方程如下，求状态转移矩阵。syms 0 1;-6-5;exp(*)tAeAtm A t010()()()001x tx tu t 解：解：运行结果运行结果洛阳理工学院洛阳理工学院第第 3章章洛阳理工学院洛阳理工学院本本 章章 小小 结结线性定常齐次方程的解线性定常齐次方程的解矩阵指数函数矩阵指数函数 线性线性定定常常非非齐齐次状态方程次状态方程的解的解00()()00()()(),tA t tA ttx tex teBudtt
