1、20232024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学（参考答案） 2024. 5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案CBABCDAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分题号91011答案BCDABDAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12或 13144，1四、解答题：本题共5小题，共77分15（13分） 【法一】（1）证明：在直棱柱中，面，则面面， 2分 面面，面ABC， 所以面. 4分因为，所以面. 则在面的射影为，在正方形中，有 所以由三垂线定理得： 6分（2）解：直三棱柱的体积为，则. 7分由（1）平面，平面，则，在正方
2、形中，且平面，所以平面.8分设， 在中，过作于，连接.因为OH为BH在面的射影，由三垂线定理得：所以为二面角的平面角. 10分因为RtRt，得， 又在Rt中，得， 12分所以二面角的余弦值为 13分【法二】直三棱柱的体积为：，则. 1分（1）证明：直棱柱，平面，又，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，为轴，建立空间直角坐标系.2分，.， 4分，所以 6分（2），.，设平面的法向量，则取，得. 8分，设面的法向量，则 取，得. 10分设二面角的大小为，则：. 12分因为为锐角，所以二面角余弦值为. 13分 16.（15分）性别阅读合计一般爱好男生101525女生131225合计232750（1）
3、解：2分提出假设：是否喜爱阅读与性别没有关系3分根据列联表的数据，可以求得：，5分所以没有90%的把握认为喜爱阅读与性别有关. 7分（2）随机变服从超几何分布，可能取0，1，2. 8分，. 11分则的分布列为：012所以. 14分 答：抽取男生人数的数学期望为1 15分17.（15分）解：（1）因为函数的定义域为，当时，.要证，只需证：当时，. 1分 令，则，则在单调递增， 3分所以，即. 5分（2）， 6分令，则.所以在单调递增， 8分当时，.则在为增函数，在上无极值点，矛盾. 11分当时，. 由（1）知，则，则使. 14分当时，则在上单调递减；当时，则在上单调递增.因此，在区间上恰有一个极
4、值点，所以的取值范围为. 15分18. （17分）（1）解： F(0，)，设A()，则，1分所以得：，解得或（舍），所以抛物线C的方程为. 4分（2）设直线MN：， M()，N()， 联立，得.所以，. ，则， 5分. 6分因为，即：， 即：，则或，能满足式. 8分则MN：，或MN：，所以定点Q的坐标为或，10分（3）如MN过点，当时， ，但此时M，N重合，则无最小值，所以MN只能过点，此时有最小值. 11分由（2），在中，令得：，=. 13分令，则，.15分当时,，在上为减函数，当时,，在上为增函数， 16分所以当时，有最小值，有最小值. 17分19.（17分）（1）解：第1行最后两数，第2
5、行的最后两数. 1分第（）行的第个数为，第个数为，猜测：. 2分【法一】即证：，3分 因为，5分 只要证明，该式显然成立，所以， 所以每行最后两个数相等.6分【法二】因为； 4分又因为 . 即：.所以每一行的最后两个数相等. 6分（2）第1行所有数之和为，第2行的最后一个数为， 此时结论成立. 7分因为，第（）行的个数之和为：. 10分而第行倒数第二个数为，由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证. 11分（3）当，时，当时，此时显然不成立.猜测：存在正整数k，使得恒成立，k的最大值为3. 12分 下证：当时，恒成立.由（1）知，则，因为. 14分又，当时，.15分当时，所以.综上：存在正整数k，k的最大值为3，使得恒成立. 17分高三数学答案 第8页（共8页）
