1、【新结构】(鹰潭二模)江西省鹰潭市2024届高三第二次模拟考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集R，则()A. B. C. D. 2.已知，则的虚部为()A. 2iB. C. D. 23.双曲线E：的左、右顶点分别为A，B，曲线E上的一点C关于x轴的对称点为D，若直线AC的斜率为m，直线BD的斜率为n，则()A. 3B. C. D. 4.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是注
2、：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸()A. 6寸B. 4寸C. 3寸D. 2寸5.质数又称素数，我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7，在不超过20的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件A：这两个数都是素数；事件B：这两个数不是孪生素数，则()A. B. C. D. 6.在中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，P是外接圆上一点，则的最大值是()A. 4B. C. 3D. 7.第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会标中“”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制是，正是会
3、议计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，则换算后这个数的末位数字是()A. 1B. 3C. 5D. 78.已知函数，则下列命题不正确的是()A. 有且只有一个极值点B. 在上单调递增C. 存在实数，使得D. 有最小值二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法中，正确的是()A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12B. 两组样本数据，和，的方差分别为，若已知，则C. 已知随机变量X服从正态分布，若，则D. 已知一系列样本点的回归方程为，若
4、样本点与的残差残差=实际值模型预测值相等，则10.已知函数及其导函数的定义域均为R，记若函数与均为偶函数，则下列结论中正确的是()A. B. 函数的图象关于点对称C. D. 11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案如图把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体若图3中每个正方体的棱长为1，则()A. B. 若M为线段CQ上的一个动点，则的最大值为3C. 点P到直线CQ的距离是D. 直线AM与平面所成角正弦值的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知，且，则_13.设数列的前n项和为，N，则
5、_14.已知抛物线C：，定点，M为直线上一点，过M作抛物线C的两条切线MA，MB，A，B是切点，则面积的最小值为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足求证：；求的最小值16.本小题15分如图，三棱柱中，侧面为矩形，底面ABC为等边三角形证明：平面平面ABC；求平面ABC与平面的夹角的余弦值17.本小题15分等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表
6、示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图A材料B材料合计试验成功试验失败合计 单位：次根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；研究人员得到石墨烯后再制作石墨烯发热膜有三个环节：透明基底及UV胶层；石
7、墨烯层；表面封装层第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元试问如何定价单位：万元，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？精确到附：，其中18.本小题17分设椭圆E：经过点，且离心率，直线m：垂直x轴交x轴于T，过T的直线交椭圆E于，两点，连接PA，PB，求椭圆E的方程；设直线PA，PB的斜率分别为，求的值；如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求的值19.本小题17分“让式子丢掉次
8、数”-伯努利不等式，又称贝努利不等式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布伯努利提出，是最早使用“积分”和“极坐标”的数学家之一贝努利不等式表述为：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立证明：当，时，不等式成立，并指明取等号的条件；已知，是大于的实数全部同号，证明：；求证：答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的运算，属于基础题.化简A，B，由交集和补集运算即可求解.【解答】解：或，则，又，则2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了复数的运算及复数概念，共轭复数，属于基础题.先进行复数运算得到，由共轭复数得，从而得虚部.【解答】解：由题意可得，
9、则故其虚部为：3.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程与顶点，考查斜率公式，属于基础题.，设，则，故，结合点C在双曲线上即可求解.【解答】解：由双曲线E的方程可得，设，则，所以，所以因为点C在双曲线E上，所以，即，所以4.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆台体积的有关计算，属于基础题.由圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案.【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸积水深9寸，水面半径为寸，则盆中水的体积为立方寸平地降雨量等于寸故选5.【答案】A【解析】【分析】本题考查条件概率，属于一般题.根据条件概率的计算方法求得正确答案.【
10、解答】解：在不超过20的正整数中，共有20个数，其中素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和19，共4组.所以，所以.6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查向量数量积，属于基础题.由，与同向时取时取最大值.【解答】解：设的外心为O，则当与同向时取等号.7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查八进制数换算成十进制数，属于中档题.利用“8进制”数转化为“十进制”方法转化即可.【解答】解：由进位制的换算方法可知，八进制换算成十进制得：，因为是10的倍数，所以换算后这个数的末位数字即为的末尾数字，由可得，末尾数字为8.【答案】C【解析】【
11、分析】本题考查函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性与极值最值，属于较难题.由得：，令，则函数可以看作为函数与函数的复合函数，因为为增函数，所以函数即函数与函数的单调性一致，所以利用导数判断的单调性与极值最值即可解决问题.【解答】解：由得：，令，则函数可以看作为函数与函数的复合函数，因为为增函数，所以与单调性一致，由得，列表如下：x-0+z单调递减极小值单调递增由表知，在上单调递减，在上单调递增，在时，取得极小值最小值，在上单调递增，故B正确；在时，取得唯一极值极小值，也是最小值，即 A、D都正确，同时函数的值域为所以存在实数，使得，C错误.故选9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查百分
12、位数、方差的计算，考查正态分布及回归线性方程，考查残差的计算，属于中档题.根据百分位数的计算可判断A；根据方差的计算可判断B；由，得，根据正态分布的对称性可判断C；根据残差的定义可判断【解答】解：对于A，故第40百分位数为，故A错误；对于B，因为，所以，所以，同理可得：，故，故B正确;对于C，则，即，由正态分布的性质可得，故C正确；对于D，经验回归方程为，且样本点与的残差相等，则，所以，D错误.10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查函数对称性，函数周期性，复合函数的导数，属于较难题.利用与均为偶函数，得到的对称性以及的对称性，进而得到的特殊点的值以及的周期性，再对照选项逐一判断即可.【解
13、答】解：对于选项A，因为为偶函数，可得：，即，即，选项A正确;对于选项B，因为为偶函数，所以为奇函数，且，则的图象关于点对称，选项B正确;对于选项C，为偶函数，其导函数为奇函数，可得：，即，得，所以，即，则，可知的周期为4，选项C错误;对于选项D，因为为奇函数，将代入，得，得，因为为偶函数，可得：关于对称，由且关于对称，知，又的周期为4，可得，选项C中有等式，即，则有成立，选项D正确;11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查空间向量的线性运算、直线与平面所成角的向量求法、空间向量运算的坐标表示、点线距离的向量求法，属于中档题.根据空间向量线性运算法则判断选项A，以为坐标原点建立空间直角坐标系
14、，利用空间向量坐标的相关公式计算，即可分别判断选项B，C，【解答】解：对于A项，因为，所以，故 A项错误；对于B项，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，设点，使，则，故，则，因，则时，即点M与点Q重合时，取得最大值3，故B项正确；对于C项，因，则，故得：，则点P到直线CQ的距离为：，故C项错误；对于D项，取平面的法向量，则，由，且知，D项正确.故选：12.【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数求值问题，属于基础题.利用同角三角函数的基本关系式及两角差的余弦公式即可求解.【解答】解：由，得，因为，所以，所以13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查数列的通项公式，Sn与an的关系，属于
15、中档题.由题意得，由累乘法求【解答】解：由于，所以，即，所以当时，因为，所以，当时等式也成立，故答案为.14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线中的面积问题，属于一般题.设，且，即，设，联立方程结合韦达定理，再通过计算即可求解.【解答】解：设，且，即，直线AB恒过定点，设，联立得，即15.【答案】解：由知，即，即，得证.由知，当且仅当时，取最小值【解析】本题考查了二倍角公式、两角和与差的正弦公式、基本不等式，属于中档题.通过三角恒等变换化简得即得；利用诱导公式，结合基本不等式即得.16.【答案】解：取BC，的中点为O，M，连接OM，AO，由于侧面为矩形，所以
16、，由于底面ABC为等边三角形，所以，AO，平面AOM，所以平面AOM，由于，故四边形为平行四边形，故平面AOM，故，又O是BC中点，所以，由于，O是BC中点，所以，又且，所以，由于，故为的平面角，由于，所以，故平面平面由于，OA，OB两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，取，则，由于平面ABC的法向量为，故，故平面ABC与平面的夹角的余弦值为【解析】本题考查面面垂直的判定和平面与平面所成角的向量求法，属于中档题.先证，即可证平面平面ABC；建立空间直角坐标系，求出平面和平面ABC的法向量，根据平面与平面所成角向量求法可得.17.【答案】解：根据题中所给等高堆积条形
17、图，得列联表如下：A材料B材料合计试验成功453075试验失败52025合计5050100计算可得，依据的独立性检验，有的把握认为试验的结果与材料有关.设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为X万元.易知X的可能取值为0，则X的分布列为X0P修复费用X的，所以石墨烯发热膜的定价至少为万元，才能实现预期的利润目标.【解析】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题.先完成列联表，再计算，对照临界值表，可得结论；易知X的可能取值为0，得出对应概率，可得X的分布列和数学期望，可得结果.18.【答案】解：由题意知：，解得，所以椭圆E的方程为易知，设直线的方程为，由直线过
18、知，联立方程得，变形得：，即，设直线PA，PB的倾斜角分别为，则，在中，在中，所以由知，即，故【解析】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于较难题.根据条件求出a，b，即可得椭圆方程；设直线的方程为，由直线过知，联立直线与椭圆方程，即可求的值；设直线PA，PB的倾斜角分别为，则，求出，由知，代入计算即可.19.【答案】证明：当时，；当时，；当时，我们需证设，注意到，令得令，则，所以单调递增当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增所以在处取得极小值，即恒成立，综上所述，当，时，不等式成立，取等条件是，1，或当时，原不等式即，显然成立当时，构造数列：，则，若，由上式易得，即；若，则，所以，故，即此时也成立所以当时，由于，所以，故原不等式成立要证，只需证，由知又，所以，故【解析】本题以伯努利不等式为载体，考查导数的运用以及不等式的证明，考查等比数列的求和，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.当时，；当时，；当时，我们需证，利用导数证明即可；当时，显然成立，当时，构造数列：，根据数列的单调性证明即可；要证，只需证，由的结论结合等比数列的求和公式即可证明.
