1、11.3 11.3 多边形及其内角和多边形及其内角和 第第2 2课时课时 多边形的内多边形的内 角和角和 第十一章第十一章 三角形三角形 1 课堂讲解课堂讲解 多边形的内角和多边形的内角和 多边形的外角和多边形的外角和 多边形内角和与外角和的关系多边形内角和与外角和的关系 2 课时流程课时流程 逐点逐点 导讲练导讲练 课堂课堂 小结小结 作业作业 提升提升 如图，从多边形的一个顶点如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各出发，沿多边形的各 边走过各顶点，再回到点边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向，一，然后转向出发的方向，一 共转过了多少度呢？共转过了多少度呢？ 知知1 1讲讲
2、1 知识点知识点 多边形的内角和多边形的内角和 思考思考 我们知道，三角形的内角和等于我们知道，三角形的内角和等于180，正方形、，正方形、 长方形的内角和都长方形的内角和都 等于等于360.那么，任意一个四边形那么，任意一个四边形 的内角和是否也等于的内角和是否也等于360呢？你能利用呢？你能利用 三角形内角三角形内角 和定理证明四边形的内角和等于和定理证明四边形的内角和等于360吗？吗？ 知知1 1讲讲 任意四边形的内角和等于多少度？任意四边形的内角和等于多少度？ 你是怎样得到的？你是怎样得到的？ A B C D 知知1 1讲讲 A B C D 2180 =360 4180 360 =36
3、0 四边形的内角和是四边形的内角和是360360 3180 180 =360 A B C D A B C D E P 知知1 1讲讲 多边形多边形 的边数的边数 图图 形形 从一个顶点引出从一个顶点引出 的对角线条数的对角线条数 分割出的三分割出的三 角形的个数角形的个数 多边形的多边形的 内角和内角和 3 4 5 6 n (n2)180 4 180 2 180 3 180 1 180 0 1 1 2 2 3 3 4 n3 n2 知知1 1讲讲 一般地，从一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作边形的一个顶点出发，可以作(n 3) 条对角线，它们将条对角线，它们将n边形分为（边形分为（n 2)个
4、三角形，个三角形，n边形边形 的内角和等于的内角和等于180(n 2). 把一个多边形分成几个三角把一个多边形分成几个三角 形，还有其他分法吗？由新形，还有其他分法吗？由新 的分法，能得出多边的分法，能得出多边 形内角形内角 和公式吗？和公式吗？ 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角 有什么关系？有什么关系？ 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，A+C=180, A+B+C+D=(42) 180 =360 B+D=360 (A+C ) =360180=180 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一这就是说，如果四边形的一组对角互
5、补，那么另一 组对角也互补组对角也互补. 例例1 解：解： 知知1 1讲讲 一一个多边形的各内角都等于个多边形的各内角都等于120，它是几边形？，它是几边形？ 知知1 1练练 （来自（来自教材教材） 1 已知正多边形的每个内角都是已知正多边形的每个内角都是156，求这个多边，求这个多边 形的边数形的边数 2 解：解： 设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n，则，则(n2)180 n120，解得，解得n6.所以它是六边形所以它是六边形 解：解： 设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n，由题意得，由题意得(n2)180 156n，解得，解得n15，即这个多边形的边数为，即这个多边形的边数为
6、 15. 若一个多边形的内角和是若一个多边形的内角和是1 260， 则这个多边形的边数是则这个多边形的边数是_ 设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n，由题意知，由题意知， (n2)1801 260，解得，解得n9. 例例2 导引：导引： 9 知知1 1讲讲 总总 结结 (1)已知多边形的内角和求边数已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内的方法：根据多边形内 角和公式列方程：角和公式列方程：(n2)180内角和，解方程内角和，解方程 求出求出n，即得多边形的边数；，即得多边形的边数； (2)已知正多边形每个内角的度数已知正多边形每个内角的度数k求边数求边数n的方法：根据的方法：根据
7、 多边形内角和公式列方程：多边形内角和公式列方程：(n2)180kn，解，解 方程求出方程求出n，即得多边形的边数，即得多边形的边数 知知1 1讲讲 一个多边形的内角和是一个多边形的内角和是360，这个多边形是，这个多边形是( ) A三角形三角形 B四边形四边形 C六边形六边形 D不能确定不能确定 1 知知1 1练练 B 一个多边形的每个内角均为一个多边形的每个内角均为120，则这个多边形，则这个多边形 是是( ) A四边形四边形 B五边形五边形 C六边形六边形 D七边形七边形 2 知知1 1练练 C 知知2 2导导 问题问题1 我们知道，三角形的内角和是我们知道，三角形的内角和是180，三角
8、，三角 形的外角和是形的外角和是360得出三角形的外角和是得出三角形的外角和是360 有多种方法如图，你有多种方法如图，你 能说说怎样由外角与相能说说怎样由外角与相 邻内角互补的关系邻内角互补的关系 得出这个结论吗？得出这个结论吗？ 2 知识点知识点 三角形的外角和三角形的外角和 B C D E F 1 2 3 知知2 2导导 由由 1BAE180，2 CBF180， 3 ACD180， 得得 123BAECBFACD 540 由由 123180，得，得 BAECBFACD 540180 360 知知2 2导导 问题问题2 如图，你能仿照上面的方法求四边形的外如图，你能仿照上面的方法求四边形的
9、外 角和吗？角和吗？ B C 1 2 3 D 4 知知2 2导导 由由 BAD +1 =180， ABC +2 =180， BCD +3 =180， ADC +4 =180， 得得BAD + 1 + ABC +2 +BCD +3 +ADC +4 =1804 由由BAD +ABC +BCD +ADC =1802， 得得1 +2 +3 +4 =1804 1802 =360 知知2 2导导 问题问题3 五边形的外角和等于多少度？六边形呢？五边形的外角和等于多少度？六边形呢？ 仿照上面的方法试一试仿照上面的方法试一试 类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边
10、 形的外角和是形的外角和是360，六边形的外角和是，六边形的外角和是360(解解 答过程略答过程略) 知知2 2导导 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这 些外角的些外角的 和叫做六边形的外角和和叫做六边形的外角和.六边形的外角六边形的外角 和等于多少？和等于多少？ 例例3 考虑以下问题：考虑以下问题： （1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么任何一个外角同与它相邻的内角有什么 关系？关系？ （2）六边形的六边形的6个外角加上与它们相邻的内个外角加上与它们相邻的内 角，所得总和是多少？角，所得总和是多少？ （3）上述总和与六边形的内角和、外角和有
11、上述总和与六边形的内角和、外角和有 什么关系？什么关系？ 联系这些问题，考虑外角和的求法联系这些问题，考虑外角和的求法. 六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180.因此六因此六 边形边形 的的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6180. 这个总和就是六边形的外角和加上内角和这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和所以外角和等于总和 减去内角减去内角 和，即外角和等于和，即外角和等于 6180 (6 2) 180=2180 =360 . 分析：分析： 解：解： 知知2 2导导 思
12、考：思考： 如果将例如果将例2中六边形换为中六边形换为n边形边形(n是不小于是不小于3的的 任意整数），可以任意整数），可以 得到同样结果吗？得到同样结果吗？ 知知2 2导导 知知2 2导导 归归 纳纳 由上面的思考可以得到：由上面的思考可以得到： 多边形的外角和等于多边形的外角和等于360. 你也可以像以下这样理解为什么多边形的外你也可以像以下这样理解为什么多边形的外 角和等角和等 于于360. 如图如图11.3-12,从多边形的一个顶点从多边形的一个顶点A出发，出发， 沿多边形沿多边形 的各边走过各顶点，再回到点的各边走过各顶点，再回到点A，然后，然后 转向出发时的方向转向出发时的方向.
13、在行程中所转的各个角的和，在行程中所转的各个角的和， 就就 是多边形的外角和是多边形的外角和.由于走了一周，由于走了一周， 所转的各所转的各 个角的和等于一个周角，个角的和等于一个周角， 所以多边形的外角和等所以多边形的外角和等 于于 360. 知知2 2讲讲 图图 11.3-12 已知四边形的四个外角度数比为已知四边形的四个外角度数比为1234，求各外角的度数，求各外角的度数 由四边形外角和定理和各外角之间的比例关系可求出各外角由四边形外角和定理和各外角之间的比例关系可求出各外角 设四边形的最小外角为设四边形的最小外角为x，则其他三个外角分别为，则其他三个外角分别为2x， 3x，4x.根据四
14、边形外角和等于根据四边形外角和等于360，得，得x2x3x 4x360. 所以所以x36，2x72，3x108，4x144. 所以四边形各外角的度数分别为所以四边形各外角的度数分别为36，72，108，144. 例例4 导引：导引： 解：解： 知知2 2讲讲 总总 结结 知知2 2讲讲 (1)用多边形外角和定理求内用多边形外角和定理求内(外外)角或求正多边形的边数角或求正多边形的边数，一般可，一般可 利用利用方程思想方程思想通过列方程解决，都是列出外角和的字母表达式：通过列方程解决，都是列出外角和的字母表达式： 各个外角的和各个外角的和(如本例如本例)或边数或边数正多边形每个外角的度数，再正多边形每个外角的度数，再 说明它们等于说明它们等于360，即可求出；，即可求出； (2)由于多边形的外角和等于由于多边形的外角和等于360，因此有些正多边形的内角问，因此有些正多边形的内角问 题也可以转化为外角问题来解决题也可以转化为外角问题来解决. 通过本节课的探究与学习，你有哪些收获与体会？通过本节课的探究与学习，你有哪些收获与体会？ 多边形内角和定理及外角和定理的内容、推导和应用。多边形内角和定理及外角和定理的内容、推导和应用。 体会数学中的类比和转化的数学思想。体会数学中的类比和转化的数学思想。 请同学们完成请同学们完成高分突破高分突破的相关习题的相关习题.
