1、第十二章第十二章 全等三角形全等三角形 12.3 角的平分线的性质角的平分线的性质 第第2 2课时课时 角的平分线角的平分线 的判定的判定 1 课堂讲解课堂讲解 角的平分线的判定角的平分线的判定 三角形的角平分线三角形的角平分线 2 课时流程课时流程 逐点逐点 导讲练导讲练 课堂课堂 小结小结 作业作业 提升提升 角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两 边的距离相等边的距离相等. O D E P P到到OA的距离的距离 P到到OB的距离的距离 角平分线上的点角平分线上的点 A C B 回顾旧知回顾旧知 1 知识点知识点 角的平分线的判定角的平分线的判定
2、 知知1 1导导 如图，由如图，由 于点于点 D ， 于点于点E，PD= PE ， 可可 以得到什么结论以得到什么结论 ？ OB PE PD OA B A D O P E 到一个角的两边的距离相等到一个角的两边的距离相等 的点，的点， 在这个角的平分线上在这个角的平分线上. 判定方法判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角：角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上的平分线上 书写格式书写格式：如图，：如图，PDOA，PEOB，PDPE, 点点P在在AOB的平分线上的平分线上(或或AOCBOC) 知知1 1讲讲 例例1 如图，如图，BECF，DFAC于点于点F，DEAB于于 点点E
3、，BF和和CE相交于点相交于点D. 求证：求证：AD平分平分BAC. 知知1 1讲讲 （来自教材）（来自教材） 导引：导引：要证要证AD平分平分BAC，已知，已知 条件中有两个垂直条件中有两个垂直，即有即有 点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即 可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证 明明BDE和和CDF全等来完成全等来完成 证明：证明：DFAC于点于点F，DEAB于点于点E， DEBDFC90. 在在BDE和和CDF中，中， BDECDF DEBDFC BECF BDECDF(AAS)， DEDF. 又又D
4、FAC于点于点F，DEAB于点于点E， AD平分平分BAC. 知知1 1讲讲 总总 结结 知知1 1讲讲 证明角平分线的“两种方法”证明角平分线的“两种方法” (1)定义法定义法：应用角平分线的定义：应用角平分线的定义. (2)定理法定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线 上”来判定上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：判定角平分线时，需要满足两个条件： “垂直”和“相等”“垂直”和“相等”. 1 解决课时导入提出的问题解决课时导入提出的问题. 2 在正方形网格中，在正方形网格中，AOB的位置如图所示，到的位置如图所示，到AOB 两边
5、距离相等的点应是两边距离相等的点应是( ) A点点M B点点N C点点P D点点Q 知知1 1练练 A 3如图，在如图，在CD上求一点上求一点P，使它到边，使它到边OA，OB的距的距 离相等，则点离相等，则点P是是( ) A线段线段CD的中点的中点 BCD与过点与过点O作作CD的的 垂线的交点垂线的交点 CCD与与AOB的平分线的交点的平分线的交点 D以上均不对以上均不对 知知1 1练练 C 4 如图，在如图，在ABC中，分别与中，分别与ABC，ACB相邻的相邻的 外角的平分线相交于点外角的平分线相交于点F，连接，连接AF，则下列结论正，则下列结论正 确的是确的是( ) AAF平分平分BC B
6、AF平分平分BAC CAFBC D以上结论都正确以上结论都正确 知知1 1练练 B 5如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABCD， BA和和CD的延长线交于点的延长线交于点E，若点，若点P使得使得S PAB S PCD，则满足此条件的点 ，则满足此条件的点P( ) A有且只有有且只有1个个 B有且只有有且只有2个个 C组成组成E的平分线的平分线 D组成组成E的平分线所在的直线的平分线所在的直线(E点除外点除外) 知知1 1练练 D 2 知识点知识点 三角形的角平分线三角形的角平分线 知知2 2讲讲 如图，如图，ABC的角平分线的角平分线BM， CN相交于点相交于点P.求证：点求证：点
7、P到到 三边三边AB，BC， CA的距离相等的距离相等. 证明：证明：过点过点P作作PD，PE，PF分别垂分别垂 直于直于 AB，BC, CA，垂足分别，垂足分别 为为D, E，F. BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上，上， PD=PE. 同理同理PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到三边到三边AB，BC，CA的距离相等的距离相等. （来自教材）（来自教材） 探究思考：探究思考： 想一想，点想一想，点P在在A的平分线上吗？这说明三角形的平分线上吗？这说明三角形 得三条角平分线有什么关系？得三条角平分线有什么关系？ 知知2 2讲讲 （来自教材）（来自教材） 总总 结结
8、 知知2 2讲讲 三角形的角平分线的交点到三边的距离相等，三角形的角平分线的交点到三边的距离相等， 这个交点叫作三角形的内心这个交点叫作三角形的内心. 1 到到ABC的三条边距离相等的点是的三条边距离相等的点是ABC的的( ) A三条中线的交点三条中线的交点 B三条角平分线的交点三条角平分线的交点 C三条高的交点三条高的交点 D以上均不对以上均不对 知知2 2练练 （来自教材）（来自教材） B 知知2 2练练 2 如图，如图，ABC的三边的三边AB，BC，CA的长分别为的长分别为40， 50，60，其三条角平分线交于点，其三条角平分线交于点O，则，则 S ABO S BCO S CAO _.
9、4 5 6 3 如图，如图，ABC的的ABC的外角的平分线的外角的平分线BD与与 ACB的外角的平分线的外角的平分线CE相相 交于点交于点P.求证：点求证：点P到到 三边三边AB，BC，CA所在直线的距离相等所在直线的距离相等. 知知2 2练练 （来自教材）（来自教材） 知知2 2练练 证明：证明：如图，过点如图，过点P分别作分别作PF，PG，PH垂直于直线垂直于直线 AC，AB，BC，垂足分别为，垂足分别为F，G，H. 因为因为BD是是ABC的的ABC的外角的平分线，点的外角的平分线，点 P在在BD上，上， 所以所以PGPH(角的平分线上角的平分线上 的点到角的两边的距离相等的点到角的两边的
10、距离相等) 同理同理PFPH， 所以所以PGPHPF，即点，即点P到三边到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等所在直线的距离相等 （来自教材）（来自教材） 知知2 2练练 （来自教材）（来自教材） 角的平分线的性质与判定定理的关系：角的平分线的性质与判定定理的关系： (1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备都与距离有关，即垂直的条件都应具备 (2)点在角的平分线上点在角的平分线上 点到这个角两边的距离点到这个角两边的距离 相等相等 (3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就 一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点， 都应在角的平分线上都应在角的平分线上 性质性质 判定定理判定定理 请同学们完成请同学们完成高分突破高分突破的相关习题的相关习题.
