1、13.4课题学习最短路径问题课题学习最短路径问题学习目标学习目标1.通过通过将实际生活中的最短路径问题转化成数学中抽象的将实际生活中的最短路径问题转化成数学中抽象的几何问题，将几何问题，将“路径和最小路径和最小”问题用数学符号中的点、问题用数学符号中的点、线段等表达，培养学生的模型观念线段等表达，培养学生的模型观念2通过利用轴对称、平移变换解决最短路径的问题，体会通过利用轴对称、平移变换解决最短路径的问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟化归思想图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟化归思想重点难点新知导入新知导入古诗导入同学们，大家有听过同学们，大家有听过“白日登山望烽火白日登山望
2、烽火,黄昏饮马傍交河黄昏饮马傍交河”吗？吗？这是唐代诗人李颀的诗歌作品这是唐代诗人李颀的诗歌作品.如如图，将军每天从家出发，带马去河边喝水图，将军每天从家出发，带马去河边喝水，之后之后返回军营，那么将军怎么走能使得返回军营，那么将军怎么走能使得路程路程最最短？短？情境导入同学们，在我们的生活中经常会有这样的经历，比如绿地里本同学们，在我们的生活中经常会有这样的经历，比如绿地里本来没有路，但是走的人多了，就出现了路，这是为什么呢来没有路，但是走的人多了，就出现了路，这是为什么呢？如果如果用我们的数学知识来解释这种行为，是什么呢？用我们的数学知识来解释这种行为，是什么呢？自主探究自主探究我们尝试通
3、过画图，找到最短路径我们尝试通过画图，找到最短路径1如图，在直线如图，在直线l上求作一点上求作一点C，使得，使得CACB最短最短C是直线是直线l上的一个动点我们不妨先任意画一个点上的一个动点我们不妨先任意画一个点C，连接，连接CA，CB.我们的目标：找到一个点我们的目标：找到一个点C，使得，使得CACB最短同最短同学们可以观察到：当点学们可以观察到：当点C是线段是线段AB和直线和直线l的交点，即点的交点，即点A，C，B共线时，共线时，CACB最短依据：两点之间，线段最短最短依据：两点之间，线段最短接下来，我们用这样的方法，研究数学史上经典的接下来，我们用这样的方法，研究数学史上经典的“将将军饮
4、马问题军饮马问题”2请同学们阅读课本请同学们阅读课本85页问题页问题1，思考以下问题：，思考以下问题：(1)这是一个实际问题，请将实际问题抽象为数学问题这是一个实际问题，请将实际问题抽象为数学问题(2)和我们刚才的问题有什么不同和我们刚才的问题有什么不同？图形语言：把图形语言：把A，B两地看成两个点，把河边两地看成两个点，把河边l近似看成一近似看成一条直线，条直线，C为直线为直线l上的一个动点上的一个动点文字语言：在直线文字语言：在直线l上求作一点上求作一点C，使，使CACB最短最短点点A，B在直线在直线l的同的同侧侧(3)能否通过图形的变换能否通过图形的变换(轴对称、平移等轴对称、平移等)，
5、将问题转化为我们，将问题转化为我们研究过的问题呢？怎么转化？研究过的问题呢？怎么转化？能作法如下：能作法如下：作点作点B关于直线关于直线l的对称点的对称点B；连接连接AB交直线交直线l于点于点C；点点C即为所求的点即为所求的点(4)如何证明这条路径最短如何证明这条路径最短？如图，为了证明点如图，为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点另外任取一点C，连接，连接AC，BC，BC，只需证明，只需证明ACCBACCB即可即可证明：由作图可知，点证明：由作图可知，点B和和B关于直线关于直线l对称，对称，所以直线所以直线l是线段是线段BB的垂直平分线的垂直
6、平分线因为点因为点C和和C在直线在直线l上，所以上，所以BCBC，BCBC.根据根据两点之间，两点之间，线段线段最最短，得短，得ABACBC，所以，所以ACCBACCB)小组讨论小组讨论请同学们阅读课本请同学们阅读课本86页问题页问题2.1你能从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型吗？你能从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型吗？我们可以把河的两岸看成两条平行线我们可以把河的两岸看成两条平行线a和和b，N为直线为直线b上上的一个动点，的一个动点，MN垂直于直线垂直于直线b，交直线，交直线a于点于点M，由此，由此问题可以转化为：当点问题可以转化为：当点N在直线在直线b的什么位置时，的什么位置
7、时，AMMNNB最小最小2能否通过图形的变换能否通过图形的变换(轴对称、平移等轴对称、平移等)，将问题转化为我，将问题转化为我们研究过的问题呢？怎么转化？们研究过的问题呢？怎么转化？将将AM沿与河岸垂直的方向平移，点沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点移动到点N，点，点A移动到点移动到点A，则，则AAMN，AMNBANNB.这样，这样，问题就转化为：当点问题就转化为：当点N在直线在直线b的什么位置时，的什么位置时，ANNB最小最小3利用已学知识，你能确定桥利用已学知识，你能确定桥MN的位置吗？的位置吗？在你的数学模型中画图说明在你的数学模型中画图说明如图，在点如图，在点N处造桥处造桥MN，所得
8、路径最短为了证明点，所得路径最短为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点上另外任意取一点N，过点，过点N作作NMa，垂足为，垂足为M，连接，连接AM，AN，NB，在，在ANB中，因为中，因为ABANBN，所以所以ANBNMNAMBNMN，所以所以AMMNBNAMMNBN小组展示提疑惑提疑惑：你有什么疑惑？你有什么疑惑？知识讲解知识讲解知识点知识点1 1：最短路径问题：最短路径问题(重点重点)问题问题作法作法最小值最小值类型一类型一在直线在直线 l上上找一找一 点点P,使使 PA+PB最小最小连接连接AB，与直线，与直线 l的的交点即为点交点即为
9、点 PPA+PB的最小的最小值为值为AB的长的长类型二类型二在在直线直线l上上找一找一 点点P,使使 PA+PB最小最小作点作点 A 关于关于直线直线l的的对称点对称点A,连接连接AB,与直线与直线 l的的交点即交点即为为点点 PPA+PB 的最小的最小值为值为AB 的长的长最短路径的求解原理：最短路径的求解原理：两点之间，线段最短两点之间，线段最短注：(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段和的最小值：连接两点，与直线的交点即为所求；(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段和的最小值：作其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点，与这条直线的交点即为所求解决解决“造桥选址造桥选址”
10、问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应线段相等，把未知的线段转移到一条直线上，再结合线段相等，把未知的线段转移到一条直线上，再结合“两点之间，两点之间，线段最短线段最短”解决问题解决问题知识点知识点2 2：“造桥选址造桥选址”问题问题(难点难点)典例精讲典例精讲题型题型一一 最短路径问题最短路径问题例例1：已知线段：已知线段AB及直线及直线l，在直线，在直线l上确定一点上确定一点P，使，使PAPB最最小下面作图正确的是小下面作图正确的是()B例例2：如图，在：如图，在ABC中，中，ABAC，AD，CE是是ABC的两条的两条中线，点中线，点P是是AD
11、上的一个动点，则线段上的一个动点，则线段_的长度等于的长度等于BPEP的最小值的最小值CE例例3：如图，河岸：如图，河岸CP，DQ，ER，FS互相平行，互相平行，CD和和EF是与河是与河岸垂直的两座桥，岸垂直的两座桥，A，B两点表示村庄两点表示村庄，折线，折线ACDEFB是是A，B两两村的最短路程若村的最短路程若ACP70，则，则BFS的度数为的度数为()A100B110C120D130B题型题型二二 造造桥选址问题桥选址问题本节课研究了什么问题？解决了几个问题？主要用到了什么数学知本节课研究了什么问题？解决了几个问题？主要用到了什么数学知识？识？同学们同学们，我们这节课的问题看似很难，实际上
12、还是利用转化思想，我们这节课的问题看似很难，实际上还是利用转化思想，转化为我们之前学过的知识，课后希望大家再回顾一下转化为我们之前学过的知识，课后希望大家再回顾一下研究了最短路径问题和造桥选址问题解决了两个问研究了最短路径问题和造桥选址问题解决了两个问题主要用到两点之间，线段最短和连接直线外一点与直题主要用到两点之间，线段最短和连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短线上各点的所有线段中，垂线段最短课堂小结课堂小结教材习题：完成课本教材习题：完成课本93页复习题页复习题15题题作业本作业：完成对应练习作业本作业：完成对应练习实践性作业：请你在家里找一个类似如图所实践性作业：请你在家里找一个类似如图所示的长方体盒子，试着示的长方体盒子，试着计算计算从从点点A到点到点B的最短距离的最短距离
