1、13.3.2.1等边三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定13.3等腰三角形等腰三角形13.3.2等边三角形等边三角形学习目标学习目标1.1.通过学生自主探究，通过学生自主探究，掌握等边三角形的性质与判定掌握等边三角形的性质与判定，感受数学的严谨性，发展，感受数学的严谨性，发展学生推理能力学生推理能力.2.2.经历经历“猜想猜想验证验证总结归纳总结归纳应用拓展应用拓展”的探究过程，采用自主探索与合作的探究过程，采用自主探索与合作交流相结合的方式，亲历交流相结合的方式，亲历“做数学做数学”的过程，培养探究数学问题的能力的过程，培养探究数学问题的能力.3.3.通过练习，通过练习，灵活运用等边三角
2、形的性质与判定解决相关的几何问题灵活运用等边三角形的性质与判定解决相关的几何问题，培养学生，培养学生分析问题、解决问题的能力分析问题、解决问题的能力.重点难点旧知回顾三角形按边是如何分类的？三角形按边是如何分类的？等边三角形是特殊的等腰三角形等边三角形是特殊的等腰三角形你从中发现了哪个公共的几何图形？你从中发现了哪个公共的几何图形？它有什么特殊它有什么特殊性性？你能用圆规画出一个等边三角形吗？请同学们动手画一画你能用圆规画出一个等边三角形吗？请同学们动手画一画.和同桌的对比一下，你们画出的三角形一样吗？和同桌的对比一下，你们画出的三角形一样吗？再画出一个等腰三角形，请你比较这两个三角形，有什么
3、区别再画出一个等腰三角形，请你比较这两个三角形，有什么区别和联系？和联系？有有4 4根木条，根木条，长度分别为长度分别为10 cm10 cm，10 cm10 cm，10 cm10 cm，6 cm.6 cm.想制作一个三角形的相框，你能帮老师设计出几种形状的三角想制作一个三角形的相框，你能帮老师设计出几种形状的三角形呢？形呢？自主探究自主探究1.请同学们阅读课本请同学们阅读课本79页思考并回答相应的问题页思考并回答相应的问题.（针对角：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等针对角：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于于 60；针对；针对“三线合一三线合一”：等边三角形每条边上的中
4、线、高和等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合；轴对称性；等边三角形是轴对称所对角的平分线都相互重合；轴对称性；等边三角形是轴对称图形，有图形，有 3 条对称轴，一个三角形满足三个内角都相等是等边条对称轴，一个三角形满足三个内角都相等是等边三角形三角形）2 2.请同学们根据请同学们根据“等边三角形的三个内角都相等，并且每一等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于个角都等于6060”写出已知、求证，画出图形，完成证明写出已知、求证，画出图形，完成证明.如图，已知：在如图，已知：在ABC中，中，ABACBC，求证：求证：ABC60.证明：证明：ABAC，BC.(等边对等角等边
5、对等角)同理，可得同理，可得AC.ABC.ABC180，ABC603.如何证明如何证明“等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合都相互重合”.（借助等腰三角形（借助等腰三角形“三线合一三线合一”的性质推理可证）的性质推理可证）小组讨论小组讨论1.请同学们思考：请同学们思考：（1）一个三角形满足什么条件是等边三角形？）一个三角形满足什么条件是等边三角形？（2）一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？）一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？（从边看：三条边都相等从边看：三条边都相等；从角看：三个角都相等从角看：三个角都相等）（有一个角是（
6、有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）的等腰三角形是等边三角形）2.请同学们对请同学们对1题（题（1）（）（2）得出的结论进行证明）得出的结论进行证明.证明三条边都相等的三角形是等边三角形，可由等边三角形的证明三条边都相等的三角形是等边三角形，可由等边三角形的定义得到；定义得到；证明三个角都相等的三角形是等边三角形证明三个角都相等的三角形是等边三角形已知：在已知：在ABC中，中，ABC.求证：求证：ABC是等边三角形是等边三角形证明：证明：AB，BC，BCAC，ACAB.(等角对等边等角对等边)ABBCAC.ABC是等边三角形是等边三角形证明有一个角是证明有一个角是60的等腰三角形是等边三角
7、形的等腰三角形是等边三角形已知：在已知：在ABC中，中，ABAC，有一个内角的度数为，有一个内角的度数为60.求证：求证：ABC是等边三角形是等边三角形证明：当顶角证明：当顶角A60时，时，ABAC，BC(18060)260.ABC60.ABC是等边三角形是等边三角形当底角当底角B60(或或C60)时时，ABAC，CB60.A180(6060)60.ABC60.ABC是等边三角形是等边三角形3.请同学们完成课本请同学们完成课本80页例页例4.知识讲解知识讲解三边都相等三边都相等的三角形叫做的三角形叫做等边三角形等边三角形，也叫，也叫正三角形正三角形.1.1.定义：定义：知识点知识点1 1等边三
8、角形的定义及性质（重难点）等边三角形的定义及性质（重难点）（1 1）等边三角形的）等边三角形的三个内角都相等三个内角都相等，并且每一个角都，并且每一个角都等于等于6060.（2 2）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合线都相互重合.（3 3）等边三角形是）等边三角形是轴对称图形轴对称图形，它有，它有3 3条条对称轴，分别对称轴，分别为三边的垂直平分线为三边的垂直平分线.2.2.性质性质：注：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形注：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形1.三个角都相等的三角形
9、是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形.2.有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形.3.证明等边三角形的思维导图：证明等边三角形的思维导图：知识点知识点2 2等边三角形的判定（重难点）等边三角形的判定（重难点）注：注：1.在等腰三角形中，只要有一个角是在等腰三角形中，只要有一个角是60，无论这个角是，无论这个角是顶角还是底角，都能判定为等边三角形顶角还是底角，都能判定为等边三角形2解决几何证明题的思路：解决几何证明题的思路：典例精讲典例精讲【题型一】等边三角形的性质【题型一】等边三角形的性质 例例1：如图，等边三角形：如图，等边三角形ABC的两条角平分线
10、的两条角平分线BD和和CE交于点交于点O，则则BOC的度数为的度数为()A.60 B.90 C.120 D.150C例例2：如图，等边三角形：如图，等边三角形ABC的边长如图所示，那么的边长如图所示，那么y_3点拨：因为三角形点拨：因为三角形ABC是等边三角形，所以是等边三角形，所以ABBCAC，即即2x36x2y1，解方程，解方程2x36x，可得，可得x1.所以所以6x5.所以所以2y15，解得，解得y3.例例3：如图所示，在等边三角形：如图所示，在等边三角形ABC中，中，D是是AC的中点，连接的中点，连接BD，过点过点D作作DFBC，垂足为，垂足为F，E是是BC延长线上的一点，且延长线上的
11、一点，且CECD，求证：，求证：BFEF.证明：证明：CECD，ECDE.在等边三角形在等边三角形ABC中，中，D是是AC的中点，的中点，DCB60，BDAC.DBC906030.BCDECDE，E60230.DBCE.BDED.DFBC，BFEF.【题型二】等边三角形的判定【题型二】等边三角形的判定 例例4：下列四个说法中，正确的是（下列四个说法中，正确的是（）三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角等于三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角等于60的三角形是等边三角形；有一个角是的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等的等腰三角形是等边三角形；有两个角相等的等腰三角形是等
12、边三角形边三角形；有两个角相等的等腰三角形是等边三角形.A.0个个 B.1个个 C.2个个 D.3个个C C例例5：如图，在：如图，在ABC中，中，ABAC，D为为AC的中点，的中点，DEAB，DFBC，垂足分别为，垂足分别为E，F，且，且DEDF.求证：求证：ABC是等边三角是等边三角形形课堂小结课堂小结1.1.本节课我们从哪些方面对等边三角形进行了研究本节课我们从哪些方面对等边三角形进行了研究?2 2.与等腰三角形相比，等边三角形有哪些特殊的性质与等腰三角形相比，等边三角形有哪些特殊的性质?共有几共有几种判定方法种判定方法?（从等边三角形的性质和判定角度进行研究）（从等边三角形的性质和判定角度进行研究）（每一个内角都等于（每一个内角都等于6060，等边三角形每条边上的中线、，等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合高和所对角的平分线都相互重合.三种判定方法）三种判定方法）课堂小结课堂小结【教材习题教材习题】完成课本完成课本83页习题页习题12,14题题.【作业本作业作业本作业】完成相应练习完成相应练习.
