1、广西南宁市马山县第三高级中学2023-2024学年高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。1（5分）设集合，B（x，y）|yx22x+1，则AB（）AB（1，0），（2，1）C（2，1）D（1，0）2（5分）已知幂函数f（x）（2m1）xn的图象经过点（2，8），下面给出的四个结论：f（x）x3；f（x）为奇函数；f（x）在R上单调递增；f（a2+1）f（1），其中所有正确命题的序号为（）ABCD3（5分）函数f（x）Asin（x+）的图象如图所示，其中A0，0，则下列关于函数f（x）的说法中错误的是（）A在上单调递减BC最小正周期
2、是D对称轴是直线4（5分）在ABC中，点D，E满足与AD交于点P，若，则xy（）ABCD5（5分）已知单位向量，的夹角为60，则在下列向量中，与垂直的是（）AB2+C2D26（5分）已知复数，则（）Az的虚部为iBz的实部为2Cz2D|z|27（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为线段BC，CC1，BB1上的动点（不含端点），异面直线D1D与AF所成角可以为；当G为中点时，存在点E，F使直线A1G与平面AEF平行；当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为；存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等，则上述结论正确的是（）ABCD8（5分）如图正方
3、形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）AB1CD2（1+）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。（多选）9（5分）已知函数f（x）Acos（2x+）1（A0，0），若函数y|f（x）|的部分图象如图所示，函数g（x）Asin（Ax），则下列结论不正确的是（）A将函数yf（x）+1的图象向左平移个单位长度可得到函数g（x）的图象B函数yg（x）的图象关于点对称C函数g（x）在区间上的单调递减区间为D若函数g（x+）（0）为偶函数，则的最小值为（多选）10（5分）设向量，
4、则下列叙述正确的是（）A若k3，则与的夹角为钝角B的最小值为2C与垂直的单位向量只能为D若，则（多选）11（5分）设数，则下列关于复数的说法正确的是（）A|1B+iC1+20D1+20（多选）12（5分）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O1，球O2切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）设图中球O1，球O2的半径分别为4和1，球心距，则（）A椭圆C的中心不在直线O1O2上B|EF|4C直线O1O2与椭圆C所在平面所成的角的
5、正弦值为D椭圆C的离心率为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）设命题p：x0R，x02+ax0+a0若p为假命题，则实数a的取值范围是 14（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB2，AD1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，其中0，1，则的最小值是 15（5分）在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z14+3i，z22a3i（aR）若，则a 16（5分）已知复数z满足，则|z| 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要得文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）设函数f（x）sin2xcos2x1（1）设x，求函数f（x）的最大值
6、和最小值；（2）设函数为偶函数，求的值，并求函数g（x）的单调增区间18（12分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，BD5，CBD60（1）若，求CD的长；（2）若AD2，求cosABD19（12分）已知复数z1a+2+（a1）i，z22+（3a+1）i，aR（1）若复数z1z2在复平面内的对应点落在第二象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是方程x28x+m0的一个根，求实数m的值20（12分）一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4cm2和25cm2求：（1）圆台的高；（2）截得此圆台的圆锥的母线长21（12分）如图所示，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是A
7、D，BC的三等分点（，），设，（1）用，表示，；（2）如果且BAD60，求FEG的余弦值22（12分）已知4kx24kx+k+10是关于x的实系数一元二次方程（1）若a是方程的一个根，且|a|1，求实数k的值；（2）若x1，x2是该方程的两个实根，且kZ，求使的值为整数的所有k的值参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求。1（5分）设集合，B（x，y）|yx22x+1，则AB（）AB（1，0），（2，1）C（2，1）D（1，0）【解答】解：因为，则yx1（x2），联立，解得，所以AB（1，0）故选：D2（5分）已知幂函数f（x）（2m1）
8、xn的图象经过点（2，8），下面给出的四个结论：f（x）x3；f（x）为奇函数；f（x）在R上单调递增；f（a2+1）f（1），其中所有正确命题的序号为（）ABCD【解答】解：对于：由幂函数的定义可知2m11，解得m1，将点（2，8）代入函数f（x）xn得2n8，解得n3，所以f（x）x3，故错误；对于：因为定义域为R，且f（x）（x）3x3f（x），所以f（x）为奇函数，故正确；对于：由幂函数的图象可知，f（x）在R上单调递增，故正确；对于：因为a2+11，且f（x）在R上单调递增，所以f（a2+1）f（1），故错误，综上可知，正确，错误故选：B3（5分）函数f（x）Asin（x+）的图象如
9、图所示，其中A0，0，则下列关于函数f（x）的说法中错误的是（）A在上单调递减BC最小正周期是D对称轴是直线【解答】解：由图象易知：A2，可得2，故C内容正确；由，kZ，又，所以，故B内容正确；因为，可得，所以函数在不是减函数，故A错；由，kZ即为函数的对称轴，故D对故选：A4（5分）在ABC中，点D，E满足与AD交于点P，若，则xy（）ABCD【解答】解：因为P在AD上，故，所以存在唯一实数，使得，又，故D为BC的中点，所以，所以；同理存在，使得，又，所以，所以，所以，所以，所以故选：C5（5分）已知单位向量，的夹角为60，则在下列向量中，与垂直的是（）AB2+C2D2【解答】解：单位向量|
10、1，11cos60，对于A，（+2）+2+2，所以（+2）与不垂直；对于B，（2+）2+2+12，所以（2+）与不垂直；对于C，（2）22，所以（2）与不垂直；对于D，（2）2210，所以（2）与垂直故选：D6（5分）已知复数，则（）Az的虚部为iBz的实部为2Cz2D|z|2【解答】解：（2i）2+i，z的实部是2，虚部是1，故选：B7（5分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为线段BC，CC1，BB1上的动点（不含端点），异面直线D1D与AF所成角可以为；当G为中点时，存在点E，F使直线A1G与平面AEF平行；当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为
11、；存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等，则上述结论正确的是（）ABCD【解答】解：对于，D1DA1A，D1D与AF的夹角即为A1A与AF的夹角A1AF，又当F与C重合时，A1AF取得最大值为，当F与点C1重合时，A1AF取得最小值，设其为，则，故；又点F不能与C，C1重合，故，故错误；对于，当G为B1B中点时，存在E，F分别为BC，C1C的中点，满足A1G平面AEF，证明如下：取B1C1的中点为M，连接A1M，MG，显然A1MAE，又AE面AEF，A1M面AEF，A1M平面AEF，又MGBC1EF，EF面AEF，MG面AEF，MG平面AEF，又A1MMGM，A1M，MG面A1MG，平面
12、A1MG平面AEF，又A1G平面A1MG，A1G平面AEF，故正确；对于，连接AD1，D1F，AE，EFBC1AD1，平面AEFD1即为平面AEF截正方体所得截面又，该截面为等腰梯形，又，截面面积，故正确；对于，连接GC，取其中点为H，要使得点G到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离，只需EF经过GC的中点，可知当点E、F分别为所在棱的中点时，不存在这样的点G满足要求，故错误故选：C8（5分）如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）AB1CD2（1+）【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB，对应
13、原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积为：122故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分。（多选）9（5分）已知函数f（x）Acos（2x+）1（A0，0），若函数y|f（x）|的部分图象如图所示，函数g（x）Asin（Ax），则下列结论不正确的是（）A将函数yf（x）+1的图象向左平移个单位长度可得到函数g（x）的图象B函数yg（x）的图象关于点对称C函数g（x）在区间上的单调递减区间为D若函数g（x+）（0）为偶函数，则的最小值为【解答】解：由图象可知，解得A2，所以f（x）2cos（2x+
14、）1，又因为|f（0）|2cos1|2，得舍）或，因为0，可得，所以，函数yf（x）+1的图象向左平移个单位长度，则g（x），故A正确；对于B，令，解得x，kZ，当k1时，x，故yg（x）的图象关于点对称，故B正确；对于C，函数g（x）的递减区间为，故函数g（x）在区间上的单调递减区间为，故C错误；对于D，函数g（x+）（0）为偶函数，即为偶函数，易得为最小值，故D错误故选：CD（多选）10（5分）设向量，则下列叙述正确的是（）A若k3，则与的夹角为钝角B的最小值为2C与垂直的单位向量只能为D若，则【解答】解：对于A，当k3时，所以，所以与的夹角为钝角，所以A正确；对于B，所以的最小值为2，所
15、以B正确；对于C，与垂直的向量可以为（1，1），则与垂直的单位向量为或，所以C不正确；对于D，若，又，则，解得k2或2，所以D不正确故选：AB（多选）11（5分）设数，则下列关于复数的说法正确的是（）A|1B+iC1+20D1+20【解答】解：，|，故A正确；B错误；2，1+2，故C正确，D错误故选：AC（多选）12（5分）如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O1，球O2切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）设图中球O1，球
16、O2的半径分别为4和1，球心距，则（）A椭圆C的中心不在直线O1O2上B|EF|4C直线O1O2与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为D椭圆C的离心率为【解答】解：依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球O1，球O2的截面大圆，如图，点A，B分别为圆O1，O2与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段MN是椭圆长轴，可知椭圆C的中心（即线段MN的中点）不在直线O1O2上，故A正确；椭圆长轴长2a|MN|MF|+|FN|MF|+|ME|MB|+|MA|AB|，过O2作O2DO1A于D，连O2B，显然四边形ABO2D为矩形，又，则，过O2
17、作O2CO1E交O1E延长线于C，显然四边形CEFO2为矩形，椭圆焦距，故B错误；所以直线O1O2与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C正确；所以椭圆的离心率，故D正确故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）设命题p：x0R，x02+ax0+a0若p为假命题，则实数a的取值范围是 （0，4）【解答】解：因为命题p：x0R，x02+ax0+a0为假命题，则xR，x2+ax+a0为真命题，所以a24a0，解得0a4，故答案为：（0，4）14（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB2，AD1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，其中0，1，则的最小值是 2【
18、解答】解：因为，0，1，所以，故，所以1+4（1）+（1）（+1）2+6，因为当0，1时，（+1）2+6在0，1上单调递减，所以当1时，取得最小值2故答案为：215（5分）在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z14+3i，z22a3i（aR）若，则a【解答】解：因为z14+3i，z22a3i（aR），所以，因为，所以8a9，即故答案为：16（5分）已知复数z满足，则|z|1【解答】解：由，得1zizi，z，则|z|故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要得文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）设函数f（x）sin2xcos2x1（1）设x，求函数f
19、（x）的最大值和最小值；（2）设函数为偶函数，求的值，并求函数g（x）的单调增区间【解答】解：函数f（x）sin2xcos2x12sin（2x）1，由于x，所以，故；故函数f（x）的最大值为1，最小值为3（2）函数g（x）f（x+）+4m为偶函数，所以2k（kZ），整理得（kZ），由于0，故；此时g（x）cos2x+4m1，令+2k2x2k，整理得（kZ），故函数的单调递增区间为（kZ）18（12分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，BD5，CBD60（1）若，求CD的长；（2）若AD2，求cosABD【解答】解：（1）在BCD中，BD5，CBD60，由正弦定理得，则CD10；（2）因为ADB
20、C，所以ADBCBD60，在ABD中，AD2，BD5，由余弦定理得：AB2BD2+AD22BDADcosADB19，解得，所以19（12分）已知复数z1a+2+（a1）i，z22+（3a+1）i，aR（1）若复数z1z2在复平面内的对应点落在第二象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是方程x28x+m0的一个根，求实数m的值【解答】解：（1）复数z1a+2+（a1）i，z22+（3a+1）i，则z1z2a（2a+2）i，复数z1z2在复平面内的对应点落在第二象限，则，解得a1，故实数a的取值范围为（，1）（2）虚数z1是方程x28x+m0的一个根，则也是方程x28x+m0的一个根，故，解得
21、a2，m1720（12分）一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4cm2和25cm2求：（1）圆台的高；（2）截得此圆台的圆锥的母线长【解答】解：（1）圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，如图所示；由已知可得上底半径O1A2cm，下底半径OB5cm；又腰长为12 cm，所以圆台的高为AM3（cm）；（2）设截得此圆台的圆锥母线长为l，则由SAO1SBO可得，解得l20，所以截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm21（12分）如图所示，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点（，），设，（1）用，表示，；（2）如果且BAD60，求FEG的余弦值【解答】解：（1
22、）点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点（，），；，（2）且BAD60，故FEG的余弦值为22（12分）已知4kx24kx+k+10是关于x的实系数一元二次方程（1）若a是方程的一个根，且|a|1，求实数k的值；（2）若x1，x2是该方程的两个实根，且kZ，求使的值为整数的所有k的值【解答】解：（1）因为4kx24kx+k+10是关于x的实系数一元二次方程，所以k0，因为a是方程4kx24kx+k+10的一个根，且|a|1，当aR时，则a1或a1，若a1，代入方程得4k4k+k+10，解得k1；若a1，代入方程得4k+4k+k+10，解得；当a为虚数时，不妨设az，则也是方程4kx24kx+k+10的一个根，故，又因为|a|1，即|z|1，故，所以，解得，又（4k）244k（k+1）16k0，得k0，所以；综上：k1或或（2）由韦达定理可知，x1+x21，k0，所以，因为为整数，kZ，所以k+1必为4的因式，则k+1的值可能为4，2，1，1，2，4，则实数k的值可能为5，3，2，0，1，3，又因为x1，x2是该方程的两个实根，所以（4k）244k（k+1）16k0，则k0，所以k的所有取值为5，3，2
