1、n8.1 引言引言n8.2 信号的整数因子抽取信号的整数因子抽取n8.3 信号的整数因子内插信号的整数因子内插n8.4 按有理数因子按有理数因子I/D的采样率转换的采样率转换n8.5 整数倍抽取和内插在数字语音系统中的应用整数倍抽取和内插在数字语音系统中的应用 n8.6 采样率转换滤波器的高效实现方法采样率转换滤波器的高效实现方法8.6.1 直接型直接型FIR滤波器结构滤波器结构8.6.2 多相滤波器结构多相滤波器结构n8.7 采样率转换器的采样率转换器的MATLAB实现实现1 前面所讨论的信号处理的各种方法都是把采样率前面所讨论的信号处理的各种方法都是把采样率Fs视为固定值，即在一视为固定值
2、，即在一个数字系统中只有一个采样频率。但在实际系统中，要求一个数字系统能工作个数字系统中只有一个采样频率。但在实际系统中，要求一个数字系统能工作在在“多采样率多采样率”状态。例如：状态。例如：（1）在数字电视系统中，图像采集系统要将标准采集数字电视信号，转换成）在数字电视系统中，图像采集系统要将标准采集数字电视信号，转换成其它标准的数字信号。这就要求数字电视演播室系统在多采样率状态。其它标准的数字信号。这就要求数字电视演播室系统在多采样率状态。（2）在数字电话系统中，传输的信号既有语音信号，又有传真信号，甚至有）在数字电话系统中，传输的信号既有语音信号，又有传真信号，甚至有视频信号。所以，该系
3、统应具有多采样率功能。视频信号。所以，该系统应具有多采样率功能。（3）对一个非平稳随机信号作谱分析或编码时，对不同的信号段，可根据其）对一个非平稳随机信号作谱分析或编码时，对不同的信号段，可根据其频率成分的不同而采用不同的采样率，以达到既满足采样定理。频率成分的不同而采用不同的采样率，以达到既满足采样定理。（4）如果以高采样率采集的数据存在冗余，这时就希望在该数字信号的基础）如果以高采样率采集的数据存在冗余，这时就希望在该数字信号的基础上降低采样速率。上降低采样速率。2一般概念：在满足采样定理的前提下，将以采样率F1采集的数字信号进行D/A转换变成模拟信号；按采样率F2进行A/D变换，从而实现
4、从F1到F2的采样率转换。问题与缺点：问题与缺点：较麻烦，且易使信号受到损伤实际实现方法（本节学习的内容）：实际实现方法（本节学习的内容）：在数字域直接改变采样率。根据采样率转换理论，对采样后的数字信号x(n)直接进行采样率转换，以得到新采样率下的采样数据。采样率转换的分类：采样率转换的分类：“抽取（Decimation）”：降低采样率以去掉多余数据的过程；“插值（Interpolation）”：提高采样率以增加数据的过程。本章主要内容：（1）讨论抽取和插值的一般概念；（2）整数倍抽取和内插在数字语音系统中的应用 （3）讨论几种基本的高效实现方法。本章的内容是语音及图像数据压缩新技术本章的内容
5、是语音及图像数据压缩新技术子带编码的重要理论基础。子带编码的重要理论基础。34设x(n1T1)是连续信号xa(t)的采样序列，采样率F1=1/T1(Hz)，T1称为采样间隔，单位为秒，即 （8.2.1）希望将采样率降低到原来的1/D，D为大于1的整数，称为抽取因子。最简单的方法是对x(n1T1)每D点抽取1点，抽取的样点依次组成新序列y(n2T2)。y(n2T2)的采样间隔为T2，采样率为F2=1/T2(Hz)，T2与T1的关系为 （8.2.2）为了后面叙述方便，我们将上述的抽取系统用图8.2.1(a)表示，x(n)和y(n)分别如图8.2.1（b）和（c）所示。n1和n2分别表示x(n)和y
6、(n)序列的序号。（8.2.3）当n1=n2D时，)()(1111TnxTnxa12DTT 1222)(DTnxTny1122)(TnxTny为了后面叙述方便，我们将上述的抽取系统用图8.2.1(a)表示，x(n)和y(n)分别如图8.2.1（b）和（c）所示。n1和n2分别表示x(n)和y(n)序列的序号。当n1=n2 D时，1222)(DTnxTny1122)(TnxTny5上面直接抽取方法存在的问题：上面直接抽取方法存在的问题：直接每隔D 1个抽取一个样值，相当于降低了采样频率，可能会引起频谱混叠现象。下面讨论抽取过程中可能出现的频谱混叠及改进措施。6如果x(n1T1)是连续信号xa(t
7、)的采样信号，且 11 111 11 1()()()()j taaajjnnFT xtXjx t edtFT x nTX ex nT e 72(rad/s)f f为模拟频率变量，1为数字频率。1112FfTksaajjkTjxTeX1111)(1112/(rad/s)saT，亦称为采样频率。为了对抽样前后的频谱进行比较，作图时均以模拟角频率为自变量（横坐标），为此按（8.2.6）式将写成的函数为1 12 2(),()()ax t x nTy nT和及其频谱如图所示8111111()()|1()j TjTasakX eX exjjkT9由图8.2.3可见，直接抽取确实产生频谱混叠，所以随意对进行
8、抽取是不行的。只有在抽取后仍能满足采样定理时才能恢复出原来的信号，否则就必须另外采取措施。通常采取的措施是抗混叠滤波。所谓抗混叠滤波，就是在抽取之前先对信号进行低通滤波，把信号的频带限制在 以下。对应的数字频率为这种抽取系统框图如图8.2.4所示。所以，在理想情况下，抗混叠低通滤波器的频率响应为 21/2/2sasaD 11112saTTDTDDj1,(e)0,DHD 图8.2.4中各点的信号在时域和频域中的示意图如图8.2.5所示。这种办法虽然把 中的高频部分损失掉了，但由于抽取后避免了混叠，所以在 中完好无损地保留了 中的低频部分，可以从中恢复出 的低频部分。)(11Tnx10)(11Tn
9、x)(2jeY)(11Tnx11抽取前后的频域关系：抽取前后的频域关系：经过数学推导，可以得到如下频域关系式：1012)(1)(DkkWzXDzY1221011221()(8.2.14),DjkjDkY eXeDTT 21221 jjjDzezeWe令，则112/1/12jj Tj TDDzeeez式中，所以，省去下标得到11/01()()8.2.1 6DDkkYzXzWD（）12)(2jeY)(1jeX)(2jeY)(1jeX1211/2sasaDDT（8.2.14）式就是与是的D个平移样本之和，相邻的平移样本在频率轴上相差2/D，在模拟频率轴上相差如图8.2.7和图8.2.8所示。的关系式
10、，图8.2.7 产生混叠失真图8.2.8 未产生混叠失真1整数倍内插的概念与内插方法整数I倍内插是在已知的相邻两个原采样点之间插入I 1个新采样值点。由于这I 1个采样值并非已知的值，所以关键问题是如何求出这I 1个采样值。从理论上讲，可以对已知的采样序列 进行D/A转换，得到原来的模拟信号xa(t)，然后再对xa(t)进行较高采样率的采样得到 ，这里 （8.3.1）式中I为大于1的整数，称为内插因子。上述过程可用图8.3.1表示。但这样的插入方法是不经济的，且易对信号产生损伤。实际工作中采用下述内插方法。13)(11Tnx)(22Tny21ITT 实际工作中采用下述内插方法 整数内插是先在已
11、知采样序列的相邻两个样点之间等间隔插入I 1个0值点，然后进行低通滤波，即可求得I倍内插的结果。这种内插方案,如图8.3.2所示。图8.3.3中I=3 14图8.3.2 零值内插方案原理框图图8.3.3 内插过程时域波形 2整数倍内插的频域解释上述的零值内插方案中 的频谱关系是怎样的？回答这一问题的过程就是解释为什么经低通滤波就能得出采样率升高I倍的。这样才能提出对图8.3.2中低通滤波器的技术要求。为了回答上面的问题，设 为模拟信号xa(t)的采样序列，并假定xa(t)及其傅里叶变换如图8.3.4所示。151 12222()()()x nTv n Ty n T、及)(11Tnx图8.3.4
12、模拟信号及其频谱示意图 按照内插的概念：且满足 T2=T1/I所以，及其傅里叶变换应该如图8.3.5所示。均为周期函数，若二者都用模拟频率表示，则，周期为 ；，周期为 161 11 12222()(),()()aax nTx nTy n Tx n T1 122()()x nTy n T和)()(21jjeYeX、)()(11TjjeXeX11/2Tsa)()(22TjjeYeY1122)/(2/2sasaIITT图8.3.5下面分析图8.3.2中的频谱，最后讨论为了得到满足插值要求的（如图8.3.5所示），对 的技术要求。17)(22Tny)(22Tnh，其它，当0,2,0)(21222IIn
13、ITnxTnv22 22 2221 21 1211112222/211 1/()()()()()()(8.3.3)jjnj T nnnj TnIj TnnI nnj TjV ev n T ev n T enxT ex nT eIX eX e )(2jeV)(1jeX上式表明和的频谱相同，如图8.3.6所示。图8.3.6112/saT，22112/2/(/)sasaTTII 图8.3.6中，。镜像频谱及其滤波器：与图8.3.5中的 相比较，图8.3.6中的 多出了从 的部分，通常将这部分频谱称为镜像频谱。由此可见，要想从 得到如图8.3.5（b）所示的 ，就必须滤除这些镜像频谱。所以，要求滤波器
14、 的理想低通幅频特性如图8.3.7所示。实际工作中 ，所以允许有一定的过渡带，可用线性相位FIR滤波器实现。根据其功能，将称为镜像滤波器。18)(2jeV)(2jeY121sasasa/2到/2)(2jeV)(2jeY)(22Tnhcsa21图8.3.7将理想镜像滤波器的阻带截止频率换算成数字频率为所以，理想情况下，镜像滤波器的频率响应特性为 （8.3.4）式中，C为定标系数。因此输出频谱为 （8.3.5）定标系数C的作用是，在 时，确保输出序列 。为了计算简单，取m=0来求解C的值。因为 ，所以,由此得出，定标系数C=I。1911212saTTT II=22j2,0(e)0,CIHI jj(
15、e),0(e)0,yyIyyCXIYI 0,2,3,mIII()()y mx m I22/jj22/1(0)eded22IIICyYX21I1j11(0)(e)d(0)(0)2CCyXxxII3内插器的输入、输出关系（1）时域输入、输出关系由图8.3.2有1222222()()()(8.3.6)ny n Tv mT h n TmT，其它及，0)()(2111112ITTInmTnxTImxmTv1221 1221 1()()(8.3.7)ny n Tx nT h n TnT222()()()(8.3.8)jjjY eV eH e)()(12jjeXeV所以由（8.3.3）式知道，所以，因为内插
16、器时域输入、输出关系。（2）频域输入、输出关系)()()()()(22212jIjjjjeHeXeHeXeY复频域输入与输出的关系：由图8.3.2可知：21222()()()(8.3.10)YzVzHz2222112222212211 122()()()()(8.3.11)nnnnInInV zV n T znnxTznInIIx nT zX z，为 的整数倍即时222()()()(8.3.12)IY zX zH z2z()()()(8.3.13)IY zX zH z（8.3.12）式中所有变量都为，所以可去掉下标得到所以1、按有理数因子I/D采样率转换的一般原理由按整数因子I内插和整数因子D
17、抽取的原理，显然，可以用图8.4.1所示方案实现有理数因子I/D采样率转换。图8.4.1 按有理数因子I/D的采样率转换方法 图8.4.2按有理数因子I/D采样率转换的实用原理方框图应当注意，先内插后抽取才能最大限度地保留输入序列的频谱成分。用 分别表示输入序列和输出序列的采样频率，则 另外，图中镜像滤波器和抗混叠滤波器级联，而且工作在相同的采样频率，因此完全可以将它们合成为一个等效滤波器，所以，按有理数因子I/D采样率转换的实用原理方框图如图8.4.2所示。理想情况下，和 均为理想低通滤波器，所以，的等效滤波器仍是理想低通滤波器，其等效带宽应当是 和 中最小的带宽。因此，的频率响应为 （8.
18、4.1）221/1/xxyyFTFT和()yxFI D F()Ih l()Dhl()h l()h lj/,0min,(e)0,min,yyyI DIDHID()Ih l()Dhl2、输出序列的时域表达式、输出序列的时域表达式 23零值内插器的输出序列为(),0,2,3,()0,x l IlIIIv l其他线性滤波器输出序列为 ()()()()()kkw lh lk v kh lkI x k 整数因子D抽取器最后输出序列为，其时域表达式为()y m()()()()(8.4.4)ky mw Dmh DmkI x k 如果线性滤波器用FIR滤波器实现，则可以根据式（8.4.4）计算输出序列 除了前面
19、采样率变换技术，在实际工作中还会遇到任意因子采样率转换（为任意有限数）。有兴趣的读者请参考文献24。【24】宗孔德。多抽样率信号处理。北京：清华大学出版社,1996。()y myxFF24()x t1()x nT()x t2()y mT1()x nT(j)FT()Xx t11jj1(e)(e)FT()TXXx nT22jj2(e)(e)FT()TYXy mT1122,TT1()x nTsa111/HzFT2()y nTsa221/HzFTsa1sa1122/rad/sFT sa2sa2222/rad/sFT (),x t1()x nT2()y mT本节对信号时域和频域的表示方法和描述符号:为模
20、拟信号，表示对的采样序列，是对进行采样率转换（内插或抽取）后的序列。其中，数字频率与模拟频率的关系为的采样频率记为的采样频率记为 和在数字语音系统中的应用原理，本节全部以模拟角频率为自变量（横坐标），并采用上面定义的符号，来绘制应用系统中各信号的频谱曲线。设并定义为了通过观察比较的频谱关系，理解采样率转换在数字语音系统中，语音信号的采样过程如图在数字语音系统中，语音信号的采样过程如图8.5.1所示。所示。25图8.5.1 语音信号的一般采样过程示意图 存在的问题存在的问题:()h t1、对预滤波器 的技术要求太高（要求 过渡带宽度为0，即理想低通滤波器）。因而是难以设计与实现的。2、显然，在接
21、收端D/A变换过程中同样 会遇到此问题。3、如果简单地将采样率提高到Fs=16kHz，则 预滤波器就容易实现（允许有4 kHz的过渡 带），但使采集信号的数据量加大一倍，传输带宽也加大一倍，极大地浪费带宽。26 采用整数因子抽取与整数因子内插来改进的A/D转换方案，既解决上述问题，又不增加数据量和传输带宽。解决问题的思路：解决问题的思路：改进的改进的A/D转换方案转换方案：工作原理：见下页图解1、用较高的采样率进行A/DC，如采样率sa111/=16 kHzFT2、在数字域抗混叠滤波，按因子D=2抽取，把采样率降至8 kHz。这样，允许模拟预滤波器这样，允许模拟预滤波器g(t)的过渡带为的过渡
22、带为，4 kHz 12 kHzf27112 3/2TT28改进的改进的D/A转换方案转换方案：111(),()0,v nTtnTv ttnT1()v nTD A对进行理想变换，得到 说明：这种D/A转换器难以实现，实际中常用零阶保持型D/A转换器代替，但其频响特性不理想，会引入幅频失真，这种失真可在数字域进行预处理补偿。对模拟低通滤波器对模拟低通滤波器()g t要求要求：p1/2T112 3/2TT132 T阻 带：通带边缘频率：过渡带：由于模拟低通滤波器的过渡带较宽，由于模拟低通滤波器的过渡带较宽，所以设计与实现较容易所以设计与实现较容易！问题的提出：问题的提出：高效实现的原则：高效实现的原
23、则：在多采样率系统中，总是设法把乘法运算安排在在多采样率系统中，总是设法把乘法运算安排在低采样率一侧低采样率一侧，以使每秒钟内，以使每秒钟内的的乘法次数最少乘法次数最少。采样率转换基本方案存在的问题及解决途径：采样率转换基本方案存在的问题及解决途径：在前面介绍的二种采样率转换方案（见图）中，滤波器的在前面介绍的二种采样率转换方案（见图）中，滤波器的卷积运算均在采样率较卷积运算均在采样率较高的一侧。高的一侧。因此，必须对多采样率系统的网络结构进行研究，以便得到乘法次数最少因此，必须对多采样率系统的网络结构进行研究，以便得到乘法次数最少的的高效实现结构。高效实现结构。教学内容：教学内容：本节只介绍
24、本节只介绍FIR直接实现和多相结构，其它两种高效实现结构（多级实现和时变网直接实现和多相结构，其它两种高效实现结构（多级实现和时变网络）请参阅其他文献。络）请参阅其他文献。这是因为用这是因为用FIR结构实现多采样率系统具有很大的优越性。结构实现多采样率系统具有很大的优越性。FIR结构绝对稳定且结构绝对稳定且很容易做成线性相位，特别是容易实现高效结构。所以在多采样率系统的实现中绝大很容易做成线性相位，特别是容易实现高效结构。所以在多采样率系统的实现中绝大多数采用多数采用FIR滤波器。滤波器。291整数倍抽取器的整数倍抽取器的FIR直接实现直接实现 30整数（整数（D）倍抽取器框图如图）倍抽取器框
25、图如图8.2.4所示。抗混叠低通滤波器所示。抗混叠低通滤波器用用FIR结构时，抽取器的时域输入、输出关系为（设结构时，抽取器的时域输入、输出关系为（设h(n1T1)长度为长度为N）11 111122210()()(),()()Nrv nTh rT x nr Ty n Tv n DT)(11Tnv)(11Tnv)(22Tny)(11Tnv 滤波器用滤波器用FIR直接型结构时，实现网络结直接型结构时，实现网络结构如图构如图8.6.1（a）所示。）所示。最后将最后将每隔每隔D 1个取一个作为输出个取一个作为输出即即中有（中有（D 1）/D的样值都被舍弃了。的样值都被舍弃了。的的N次乘法和次乘法和N
26、1次加法在一个次加法在一个所以这种结构是一种低效实现结构，而且要求所以这种结构是一种低效实现结构，而且要求计算每一个计算每一个T1时间内完成。时间内完成。图8.6.1（a）图8.6.1（b）为了得到相应的高效为了得到相应的高效FIR直接实现，对图直接实现，对图8.6.1（a）进行等效变换。）进行等效变换。显然，将图8.6.1（a）中的D移在N条乘法器支路中的乘法器之前，如图8.6.1（b）所示，所得与原结构输出相同，即图8.6.1（a）与图8.6.1（b）是等效的。图8.6.1（b）中各条支路里的D同时在 时开通，此刻开始计算N个支路的N次乘法和最后的N 1次加法，得到一个输出样值：由于在 到
27、来之前所有的D同时关闭，直到 时，N个D才又同时开通，再开始计算下一个输出序列样值 。改进效果：改进效果：将乘法运算移到低采样率一侧，使乘法运算速度要求降低到原来的将乘法运算移到低采样率一侧，使乘法运算速度要求降低到原来的1/D，即原来要在一个，即原来要在一个T1时间内完成的运算，现在只要在时间内完成的运算，现在只要在DT1时间之内时间之内完成就可以了。当然，也使计算量减少到原来的完成就可以了。当然，也使计算量减少到原来的1/D。故称之为高效结构。故称之为高效结构。31Dnn21222121()()()y n Ty n DTv n DT11(1)x nT12(1)nnD22(1)y nT 应当
28、说明，图应当说明，图8.6.1（b）中将）中将D放在放在h(0)，h(T1)，h(N 1)T1之前，减之前，减少了运算量，但这并不是把抗混叠滤波放到了抽取之后，而是与原来的滤波作用少了运算量，但这并不是把抗混叠滤波放到了抽取之后，而是与原来的滤波作用等效。对此作如下解释：等效。对此作如下解释：滤波滤波和和抽取抽取的作用次序在的作用次序在FIR实现结构实现结构中体现在滤波器中体现在滤波器输入端输入端及及延迟链延迟链上所加上所加的信号序列，如果所加信号是抽取以前的信号，则是先滤波后抽取，反之是先抽的信号序列，如果所加信号是抽取以前的信号，则是先滤波后抽取，反之是先抽取后滤波。图取后滤波。图8.6.
29、1（b）中，所有）中，所有D均安排在均安排在延迟链延迟链之后，即滤波器延迟链上各之后，即滤波器延迟链上各点的信号仍然是原序列点的信号仍然是原序列x(n1T1)，x(n1 1)T1，x(n1 N+1)T1，而不是抽，而不是抽取过的信号。取过的信号。每当每当D开通时，进入左侧的信号是未抽取的原信号，即输出的与图开通时，进入左侧的信号是未抽取的原信号，即输出的与图8.6.1（a）中抽选的输出信号相同，而两次开通之间所阻挡的信号恰好就是图中抽选的输出信号相同，而两次开通之间所阻挡的信号恰好就是图8.6.1（a）中将）中将来要舍弃的部分，所以计算结果是正确的。但绝对不能将来要舍弃的部分，所以计算结果是正
30、确的。但绝对不能将D提前到延迟链之前，提前到延迟链之前，那样才是真正的先抽取后滤波器，会产生严重的混叠现象。那样才是真正的先抽取后滤波器，会产生严重的混叠现象。32线性相位的FIR滤波器：对线性相位的FIR滤波器，实现时可用FIR线性相位结构，这样又可以使乘法计算量减少一半。根据线性相位时域特性：可画出抽取器FIR结构的线性相位形式如图8.6.2所示。3311()(1)h nTh Nn T 图8.6.22整数倍内插器的整数倍内插器的FIR直接实现直接实现34整数倍内插系统框图如图8.3.2所示。镜像滤波器 采用FIR结构，)(22TnhI倍内插器的FIR直接实现结构如图8.6.3所示。图8.3
31、.2图8.6.3 图8.6.3中乘法是在高采样率一侧进行的，不是高效结构，应设法将乘法运算移到低采样率一侧以减少计算量。但不能直接将 移到滤波器后面。得出相应的高效结构。为此，先将FIR滤波网络部分进行转置，得到图8.6.4所示的FIR转置型结构，再用其代替图8.6.3中的FIR滤波网络，得到图8.6.5所示的内插系统直接实现。I 先将FIR滤波网络部分进行转置，得到图8.6.4所示的FIR转置型结构，再用其代替图8.6.3中的FIR滤波网络，得到图8.6.5所示的内插系统直接实现。图8.6.5中，先零值内插后分支相乘与先分支相乘后零值内插等效。因此，可将图8.6.5中的 分别移到FIR网络的
32、各支路的乘法器之后，可得到图8.6.6所示的内插系统直接实现高效结构。由于延时链上所加的仍然是内插后的信号，所以等效变换后的高效结构仍是先内插后滤波。35图8.6.4 图8.6.5I图图8.6.6 当满足线性相位条件时，可用线性相位结构实，将乘法次数再减少一半。取N=9，画出内插器的线性相位FIR直接高效实现如图8.6.7所示。36)1()(2222TnNhTnh图图8.6.7 为了叙述方便，先由图为了叙述方便，先由图8.4.2画出按有理数因子画出按有理数因子I/D采样率转换系采样率转换系统的直接型统的直接型FIR结构，如图结构，如图8.6.8所示。所示。37图图8.6.8指导思想指导思想 基
33、于内插系统的高效基于内插系统的高效FIR滤波器结滤波器结构与抽取系统的高效构与抽取系统的高效FIR滤波器结构进滤波器结构进行设计。行设计。（1）当当I D时，时，Fy Fx，将图，将图8.6.8中的直接型中的直接型FIR结构与前面的结构与前面的用图用图8.6.6所示的整数因子所示的整数因子I内插器的高效内插器的高效FIR滤波器结构代替即可。滤波器结构代替即可。I（2）当当I D时，时，Fy Fx，将图，将图8.6.8中的直接型中的直接型FIR结构与后面的结构与后面的用图用图8.6.1（b）所示的整数因子）所示的整数因子D抽取器的高效抽取器的高效FIR滤波器结构代替即可。滤波器结构代替即可。D
34、1、内插系统的多相结构：、内插系统的多相结构：可以证明，图可以证明，图8.6.6所示的按整数因子所示的按整数因子I内插系统的高效内插系统的高效FIR滤波器结滤波器结构可以用一组较短的构可以用一组较短的多相滤波器组多相滤波器组实现。实现。如果如果FIR滤波器总长度为滤波器总长度为M=NI，则多相滤波器组由则多相滤波器组由I个长度为个长度为N=M/I的短滤波器构成，且的短滤波器构成，且I个短滤波器轮流分时工作。个短滤波器轮流分时工作。证明：证明：观察图观察图8.6.3给出的整数因子给出的整数因子I内插系内插系统的直接型统的直接型FIR滤波器结构。为了下面滤波器结构。为了下面描述简单，定义一下符号：
35、描述简单，定义一下符号：38用用x(n)表示表示x(n1T1)用用v(m)表示表示v(n2T2）用用y(m)表示表示y(n2T2)10()()()Mny mh n v mn39(),0,2,3,()0,x m ImIIIv m其他所以，所以，m=jI时刻：时刻：输出序列为输出序列为因为因为1100()()()()()(0)()()(1)(2)(2)()(1)MNnny mh n v mnh nI x jnhx jh I x jhI x jh NI x jNm=jI+1时刻，时刻，式中式中()v jIn右移右移1位，位，N个个x(n)的非零值与的非零值与h(n)的对应的对应关系也右移关系也右移1
36、位，所以，位，所以，1100()()()(1)()(1)()(1)(1)(12)(2)(1)(1)MNiny mh i v mihnI x jnhx jhI x jhI x jhNI x jN 依此类推，依此类推，当当m=jI+I=(j+1)I时刻，时刻，N个个x(n)的值与的值与h(n)的对应关的对应关系，只是系，只是x(n)又移进又移进1位，所以，位，所以，401100()()()()(1)(0)(1)()()(2)(1)()(1(1)MNiny mh i v mih nI x jnhx jh I x jhI x jh NI x jN 综上所述，当综上所述，当,0,1,2,1;0,1,2,
37、mjIkkI j时，有时，有1100()()()()()MNiny mh i v mih knI x jn()h knI()kpn把上式中的把上式中的看作长度看作长度N=M/I的子滤波器的单位脉冲响应，的子滤波器的单位脉冲响应，表示：表示：并用并用()()0,1,2,1 0,1,2,1kpnh knIkInN；10()()()()()Nkkny mpn x jnpnx n这样，从这样，从m=0开始，整数因子开始，整数因子I内插系统的输出序列内插系统的输出序列()y m计算如下：计算如下：式中，式中，显然，当显然，当 从从0开始增大时，开始增大时，k从从0开始以开始以I为周期循环取值；为周期循环
38、取值；j表示循环周期数。所以，实现上式表示循环周期数。所以，实现上式y(m)的多相滤波器结构如下图的多相滤波器结构如下图41；0,1,2,1;0,1,2,mjIkkIj mjIk所示所示。图图9.5.6特点特点：（1）I个子滤波器均运行于个子滤波器均运行于低采样率低采样率Fx下下（2）系数少，计算量小。）系数少，计算量小。所以多相滤波器结构是所以多相滤波器结构是一种高效结构。一种高效结构。工作过程：输入端的x(n)每移入一个样值，I个子滤波器分别计算出y(m)的I个样值，选择电子开关以高采样率Fy=IFx，依次逆时针循环选取I个子滤波器的输出，形成输出序列 。实现了整数因子I内插功能。42()
39、y m“多相滤波器多相滤波器”的解释：的解释：()kpn/I()kpn对低通滤波器对低通滤波器h(n)按整数因子按整数因子I抽取得到子滤波器抽取得到子滤波器h(n)是截止频率为是截止频率为的的理想理想低通滤波器，所以低通滤波器，所以的截止频率的截止频率必然是必然是 ，即，即I个子滤波器都是全通滤波器，幅度特性相同，它们的个子滤波器都是全通滤波器，幅度特性相同，它们的唯一区别是相位特性不同，故称为唯一区别是相位特性不同，故称为“多相滤波器多相滤波器”结构。结构。形成多相特性的机理：形成多相特性的机理：由由h(n)的的I个个不同的起始点不同的起始点抽取得到抽取得到I个子滤波器。个子滤波器。抽取系统
40、的多相结构：抽取系统的多相结构：43 思想：思想：整数因子整数因子I内插器的实现结构与整数因子内插器的实现结构与整数因子D=I抽取器的实现抽取器的实现结构互为转置关系，将图结构互为转置关系，将图9.5.6 给出的整数因子给出的整数因子I内插系统的多相滤波器内插系统的多相滤波器结构进行转置，则得到图结构进行转置，则得到图9.5.7所示的整数因子所示的整数因子D抽取系统的多相滤波器抽取系统的多相滤波器结构。结构。图图9.5.7多相滤波器的单位脉冲响应：多相滤波器的单位脉冲响应：()()0,1,2,1;0,1,2,1kpnh knDkDnN式中，式中，N为为()kpn抗混叠抗混叠FIR滤波器的总长度
41、滤波器的总长度 M=DN，N=M/D 的长度。一般选择的长度。一般选择抽取系统多相结构正确性的验证：抽取系统多相结构正确性的验证：44以以N=D=2，M=DN=4为例，验证图为例，验证图9.5.7所示的抽取系统多相结构的正所示的抽取系统多相结构的正确性。首先根据图确性。首先根据图9.5.2（a）计算出抽取器的正确输出）计算出抽取器的正确输出y(m):30()()()()()()()(2)v nh nx nhx ny mv Dmvm假设假设x(n)为因果信号，则为因果信号，则(0)(0)(0)(0)(1)(2)(0)(2)(1)(1)(2)(0)(2)(4)(0)(4)(1)(3)(2)(2)(
42、3)(1)yvhxyvhxhxhxyvhxhxhxhx根据图9.5.7计算多相实现结构的输出y(m):开始 k=0,n=0，只有x(0)进入p0(n)，p1(n)中无信号，所以总输出y(0)=p0(0)x(0)=h(0)x(0)。逆时针旋转开始下一周期:k=D-1=1时，电子开关转到p1(n),x(1)进入p1(n)，p1(n)的输出为p1(0)x(1)=h(1)x(1)；k=0时，电子开关又转到p0(n)，此时，x(2)进入p0(n)第一节，上一周期中进入p0(n)的x(0)移位到p0(n)的第二节，所以p0(n)的输出为 45p0(0)x(2)+p0(1)x(0)=h(0)x(2)+h(2
43、)x(0)总的输出总的输出y(1)为为p0(n)与与p1(n)输出之和，即输出之和，即(1)(0)(2)(2)(0)(1)(1)yhxhxhx同样道理，可求出下一旋转周期得到的输出同样道理，可求出下一旋转周期得到的输出所求所求y(0),y(1)和和y(2)与式（与式（9.5.10）相同，所以，图）相同，所以，图9.5.7所给结构是正所给结构是正确的。确的。461100(2)(0)(3)(1)(1)(0)(4)(1)(2)=(1)(3)(3)(1)(0)(4)(2)(2)ypxpxpxpxhxhxhxhx例例9.5.1 设计一个按因子设计一个按因子I=5的内插器，要求镜像滤波器通带最大衰减的内插
44、器，要求镜像滤波器通带最大衰减为为0.1 dB，阻带最小衰减为，阻带最小衰减为30 dB，过渡带宽度不大于，过渡带宽度不大于/20。设计。设计FIR滤波器系数滤波器系数h(n)，并求出多相滤波器实现结构中的，并求出多相滤波器实现结构中的5个多相滤波器系数。个多相滤波器系数。解解:由式（由式（9.3.5）知道）知道FIR滤波器滤波器h(n)的阻带截止频率为的阻带截止频率为/5，根据题意，根据题意可知滤波器其他指标参数可知滤波器其他指标参数:通带截止频率为通带截止频率为/5-/20=3/20，通带最大，通带最大衰减为衰减为0.1 dB，阻带最小衰减为，阻带最小衰减为30 dB。调用。调用remez
45、ord函数求得函数求得h(n)长度长度M=47，为了满足，为了满足5的整数倍，取的整数倍，取M=50。调用。调用remez函数求得函数求得h(n)如下如下h(0)=6.684246e-002=h(49)h(13)=-1.800562e-003=h(36)h(1)=-3.073256e-002=h(48)h(14)=-7.220485e-002=h(35)h(2)=-4.303671e-002=h(47)h(15)=-1.370181e-001=h(34)h(3)=-5.803096e-002=h(46)h(16)=-1.740193e-001=h(33)h(4)=-6.759203e-002=
46、h(45)h(17)=-1.631924e-001=h(32)h(5)=-6.493009e-002=h(44)h(18)=-9.215300e-002=h(31)h(6)=-4.657608e-002=h(43)h(19)=4.004513e-002=h(30)h(7)=-1.386252e-002=h(42)h(20)=2.202029e-001=h(29)h(8)=2.674276e-002=h(41)h(21)=4.239994e-001=h(28)h(9)=6.463158e-002=h(40)h(22)=6.191918e-001=h(27)h(10)=8.776083e-002=
47、h(39)h(23)=7.725483e-001=h(26)h(11)=8.607506e-002=h(38)h(24)=8.568808e-001=h(25)h(12)=5.500303e-002=h(37)47根据式（根据式（9.5.7）确定多相滤波器实现结构中的）确定多相滤波器实现结构中的5个多相滤波器系数如下个多相滤波器系数如下 48012()()(0),(5),(10),(15),(20),(25),(30),(35),(40),(45)()(1)(1),(6),(11),(16),(21),(26),(31),(36),(41),(46)()(2)(2),(7),(12),(17)
48、,(22),(27),(32),(37),p nh nIhhhhhhhhhhp nhnIhhhhhhhhhhp nhnIhhhhhhhh34(42),(47)()(3)(3),(8),(13),(18),(23),(28),(33),(38),(43),(48)()(4)(4),(9),(14),(19),(24),(29),(34),(39),(44),(49)hhp nhnIhhhhhhhhhhp nhnIhhhhhhhhhhMATLAB信号处理工具箱提供的采样率转换函数:upfirdn,interp,decimate,resample功能:Y=upfirdn(X,H,I,D)先对输入信号
49、向量X进行I倍零值内插，再用H提供的FIRDF对内插结果滤波，其中H为FIR数字滤波器的单位脉冲向量，FIR数字滤波器采用高效的多相实现结构。最后按因子D抽取得到输出信号向量Y。Y=interp(X,I)采用低通滤波插值法实现对序列向量X的I倍插值，其中的插值滤波器让原序列无失真通过，并在X的两个相邻样值之间按照最小均方误差准则插入I-1个序列值。得到的输出信号向量Y的长度为X长度的I倍。49Y=decimate(X,D,N)先对序列X抗混叠滤波，再按整数因子D对序列X抽取。输出序列Y的长度是X长度的1/D。抗混叠滤波用N阶切比雪夫型低通滤波器，阻带截止频率为0.8Fs/(2D)，如果省略N，
50、则默认用8阶切比雪夫型低通滤波；Y=decimate(X,D,N,FIR)用长度为N的FIR滤波器，FIR滤波器是抽取函数decimate自动调用fir1(N,1/D)设计的。省略N，则默认用30点FIR数字滤波器。其中，1/D为归一化-6dB截止频率，（存在问题？会有较大混跌，可能有修正，但函数介绍中为明示。50Y=resample(X,I,D)采用多相滤波器结构实现按有理数因子I/D的采样率转换。如果原序列向量X的采样频率为Fx，长度为Lx，则序列Y的采样频率为Fy=(I/D)Fx，长度为(I/D)Lx（当(I/D)Lx不是整数时，Y的长度取不小于(I/D)Lx的最小整数）。该函数具有默认
