1、12.3 12.3 角的平分线的性质角的平分线的性质感悟新知感悟新知1.角的平分线的作法角的平分线的作法(1)折叠折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分的平分线所在的直线线所在的直线.(2)度量度量法：用量角器度量已知角的度数，并除以法：用量角器度量已知角的度数，并除以2，再用，再用量量角器角器画出这个角的平分线画出这个角的平分线.(3)尺规作图法尺规作图法：保留作图痕迹保留作图痕迹，并指出结论，并指出结论.知识点知识点作已知角的平分线作已知角的平分线1知知1 1讲讲感悟新知感悟新知2.尺规作图步骤与图示尺规作图步骤与图示已知：已知：
2、AOB.求作：求作：AOB 的平分线的平分线.作法：作法：(1)以以点点O 为圆心，适当长为半径画弧，交为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点于点M，交，交OB 于点于点N.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知知1 1讲讲感悟新知感悟新知(3)画画射线射线OC.射线射线OC 即为所即为所求求(如如图图12.3-1).2.“画射线画射线OC”不能不能叙述叙述为为“连接连接OC”，因为角平因为角平分线分线是射线是射线而而不是不是线段线段.3.用尺规作一个角的用尺规作一个角的平分平分线，线，实质上是实质上是运用运用“SSS”构构造造全等三角形全等三角形，根据，根据全全等三角形的等三角形的对应角相等，对应角
3、相等，找出找出平分平分一个角的射线一个角的射线.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知证明：根据前两步作法可知证明：根据前两步作法可知OM=ON，CM=CN.在在 OMC 和和 ONC 中，中，OM=ON，CM=CN，OC=OC，OMC ONC(S S S).AOC=BOC.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知例1解题解题秘方秘方：利用利用尺规作图作两尺规作图作两次角平分线即可次角平分线即可.知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知1-1.已知：已知：AOB，如图如图所示，求作：所示，求作：AOB的的邻补角的邻补角的平分平分线线(保留保留作图痕迹，不写作作图痕迹，不写作法法)知知1 1练
4、练感悟新知感悟新知解：如图，射线解：如图，射线OP即为所求即为所求(答案答案不不唯一唯一)知知1 1练练感悟新知感悟新知1.性质性质定理：角的平分线上的点到角的两边的定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等距离相等.角角的平分线的性质的两个必要条件的平分线的性质的两个必要条件(1)点点在角平分线上；在角平分线上；(2)这个这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度的长度.两两者缺一不可者缺一不可.知识点知识点角的平分线的性质角的平分线的性质2知知2 2讲讲感悟新知感悟新知2.几何语言：如图几何语言：如图12.3-3，OP 平分平分 AOB，PE OA
5、于点于点E，PF OB 于点于点F，PE=PF.只要符合基本模型，只要符合基本模型，直接直接得出结论不需得出结论不需要证全等要证全等知知2 2讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读1.角的平分线的性质是由两个条件角的平分线的性质是由两个条件(角平分线，角平分线，垂线垂线)得到一个结论得到一个结论(线段相等线段相等).2.利用角的平分线的利用角的平分线的性质性质证明线段相等时证明线段相等时，证，证明明的线段是的线段是“垂直垂直于角两于角两边边的线段的线段”，如图如图12.3-4 所示，而所示，而不是不是“垂直于角平分线垂直于角平分线的线的线段段”，如图，如图12.3-4 所所示示.知知2 2讲讲感
6、悟新知感悟新知如图如图12.3-5，OD 平分平分 EOF，在，在OE，OF 上分别取上分别取点点A，B，使，使OA=OB，P 为为OD 上一点，上一点，PM BD，PN AD，垂足垂足分别为分别为M，N.求证：求证：PM=PN.例2解题秘方解题秘方：在在图中找出符合角的平图中找出符合角的平分线的分线的性质性质的模型，利用角的平分的模型，利用角的平分线的性质证明线段相等线的性质证明线段相等.知知2 2练练感悟新知感悟新知证明：证明：OD 平分平分 EOF，BOD=AOD.在在 BOD 和和 AOD 中，中，BOD AOD(SAS).BDO=ADO，即，即DO 平分平分 BDA.又又 P 为为D
7、O 上一点，且上一点，且PM BD，PN AD，PM=PN.OB=OA，BOD=AOD，OD=OD，知知2 2练练感悟新知感悟新知2-1.如图，已知如图，已知AC 平分平分 BAD，CE AB，CD AD，点点E，D 分别分别为垂足，为垂足，CF=CB求证求证：BE=FD知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知如图如图12.3-6，在，在 ABC 中，中，C=90，AD 平分平分CAB，BD=2CD，点，点D 到到AB 的距离的距离为为5.6 cm，求求BC 的长的长.例3解题秘方解题秘方：依据角平分线的性质得出依据角平分线的性质得出CD的的长，进长，进而得出而得出BD 的
8、长，依据的长，依据BC=CDBD即即可得出结论可得出结论.知知2 2练练感悟新知感悟新知解：如图解：如图12.3-6，过点，过点D 作作DE AB 于点于点E.C=90，AD 平分平分 CAB，点点D 到到AB 的距离为的距离为5.6 cm，CD=DE=5.6cm.又又 BD=2CD，BD=25.6=11.2(cm).BC=CDBD=5.611.2=16.8(cm).知知2 2练练感悟新知感悟新知C知知2 2练练感悟新知感悟新知如图如图12.3-7，在，在 ABC 中，中，AD 是是 BAC 的平分线，的平分线，DE AB 于点于点E，DFAC 于点于点F，ABC 的面积是的面积是225 cm
9、2，AB=28 c m，AC=17 c m，求求DE 的长的长例4解题秘方解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解紧扣总面积等于各部分面积的和求解.知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知4-1.中考中考湖州湖州如图如图，已知，已知在四边形在四边形ABCD中中，BCD=90，BD 平分平分 ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则，则四边形四边形ABCD的面积的面积是是()A.24 B.30 C.36 D.42B知知2 2练练感悟新知感悟新知如图如图12.3-8，在，在 ABC 中中，C=90，AC=BC，AD 平分平分 CAB，交，交BC于于点点D，DE AB，垂足为，
10、垂足为E.若若AB=8 cm，求，求 DEB 的周长的周长.例5知知2 2练练感悟新知感悟新知思路引导：思路引导：知知2 2练练感悟新知感悟新知解：在解：在 ABC 中，中，C=90，DC AC.又又 DE AB，AD 平分平分 CAB，DC=DE.在在Rt ACD 和和Rt AED 中，中，Rt ACD Rt AED(HL).AC=AE.AC=BC，AE=BC.DEB 的的周长周长=DEDBEB=DCDBEB=BCEB=AEEB=AB=8 cm.AD=AD，DC=DE，知知2 2练练感悟新知感悟新知5-1.如图，已知如图，已知 ABC中中，C=90，AD 平分平分 BAC 交交BC 于于D，
11、DE AB 于于E，点点F在在AC 上，且上，且BD=FD.求求证证：AEBE=AF知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知1.证明一个几何命题的一般步骤证明一个几何命题的一般步骤(1)明确明确命题中的已知和求证；命题中的已知和求证；(2)根据根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证证明过程明过程.已知：命题中的题设部分；已知：命题中的题设部分；求证：命题中的结论部分求证：命题中的结论部分知识点知识点证
12、明几何命题的一般步骤证明几何命题的一般步骤3知知3 3讲讲感悟新知感悟新知2.推理证明中常见的分析方法推理证明中常见的分析方法(1)综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全全等的判定方法等，逐步推出要证的结论等的判定方法等，逐步推出要证的结论.(2)分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定定义、定理、全理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样这样一步步一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻
13、合件吻合.知知3 3讲讲感悟新知感悟新知(3)“两头凑两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时合时，问题，问题可得证可得证.知知3 3讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒1.证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的情况而定，但是总体必须是完整的，并且证明的的情况而定，但是总体必须是完整的，并且证明的过程必须过程必须“步步有据步步有据”.2.证明几何命题所证明几何命题所画图形画图形应符合题意，并应符合题意
14、，并具有一般性具有一般性和代表性和代表性.在画图在画图时，要考虑是否时，要考虑是否存在存在不同的情形，不同的情形，若若存在存在，则要分别画出，则要分别画出图形图形，再分别证明，再分别证明.知知3 3讲讲感悟新知感悟新知求证：两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角求证：两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等形全等.解题秘方解题秘方：为了为了便于分清命题中的已知和求证，可以便于分清命题中的已知和求证，可以将命题将命题改写改写成成“如果如果那么那么”或或“若若则则”的形式的形式.根据根据命题的命题的题设结合图形写出已知，根据命题题设结合图形写出已知，根据命题的结论结合图形写出求证的结论结合
15、图形写出求证.例6知知3 3练练感悟新知感悟新知解：已知：如图解：已知：如图12.3-9，在，在 ABC 和和 ABC中，中，AD，AD分别为分别为 BAC，BAC的平分线，且的平分线，且 B=B，BAC=BAC，AD=AD.知知3 3练练感悟新知感悟新知求证：求证：ABC ABC B=B，1=2，AD=AD，知知3 3练练感悟新知感悟新知在在 ABC 和和 ABC中，中，ABC ABC(ASA).B=B，AB=AB，BAC=BAC，知知3 3练练感悟新知感悟新知6-1.命题：命题：全等三角形的全等三角形的对应边上的高相等对应边上的高相等.(1)写写成成“如果如果 ，那么，那么 ”的形式的形式
16、：_；如果两条线段如果两条线段是是一对一对全等三角形对应边上的高，那么这两条线段相等全等三角形对应边上的高，那么这两条线段相等知知3 3练练感悟新知感悟新知(2)根据根据所给图形所给图形写出已知写出已知、求证和证明过程、求证和证明过程.解：解：已知：如题图，已知：如题图，ABCABC，ADBC，ADBC.求证求证：ADAD.证明：证明：ABCABC，ABAB，BB.ADBC，ADBC，ADBADB90.知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知6-2.求证：三角形求证：三角形一边的一边的两端到这条边的两端到这条边的中线所在中线所在直线的距直线的距离相等离相等.解：已知：如图，
17、解：已知：如图，AD为为ABC的的BC边上的中线，且边上的中线，且CFAD于点于点F，BEAD交交AD的延长线于点的延长线于点E.知知3 3练练感悟新知感悟新知求证：求证：BECF.证明：证明：AD为为ABC的的BC边上的中线，边上的中线，BDCD.CFAD，BEAD，ECFD90.知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知1.判定定理：判定定理：角的内部角的内部到角的两边的到角的两边的距离相等距离相等的点在角的的点在角的平分平分线上线上.知识点知识点角的平分线的判定角的平分线的判定4知知4 4讲讲感悟新知感悟新知2.几何语言：如图几何语言：如图12.3-10，点点P 为为
18、AOB 内一点，内一点，PD OA，PE OB，垂足分别为，垂足分别为D，E，且，且PD=PE，点点P 在在 AOB 的平分线的平分线OC 上上.知知4 4讲讲感悟新知感悟新知应用角的平分线的判定所具备的条件应用角的平分线的判定所具备的条件(1)位置位置关系：点在角的内部；关系：点在角的内部；(2)数量数量关系：该点到角两边的距离相等关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上定理的作用：判断点是否在角平分线上.知知4 4讲讲感悟新知感悟新知3.角的平分线的判定定理与性质定理的关系角的平分线的判定定理与性质定理的关系(1)如如图图12.3-10，都与距离有关，即条件，都与距
19、离有关，即条件PD OA，PE OB 都具备；都具备；(2)点点在角的平分线在角的平分线上上 (角角的内部的内部的的)点点到角两边的到角两边的距离距离相等相等.知知4 4讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部内部.2.角的平分线的判定是由两个条件角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线垂线，线段相等段相等)得到一个结论得到一个结论(角平分线角平分线).3.角的平分线的判定角的平分线的判定定理定理是证明两角相等是证明两角相等的重的重要要依据，它比利用依据，它比利用三角形三角形全等证两角全等证两角相等相等更更方便快捷方
20、便快捷.知知4 4讲讲感悟新知感悟新知4.有相等，无垂直，不能有相等，无垂直，不能证证明明角平分线，如图角平分线，如图12.3-11，QM=QN，但但QM 和和QN 不不是点是点Q 到到OA，OB 的垂线的垂线段，不能段，不能得出得出OQ 是是 AOB 的的平分平分线线.知知4 4讲讲感悟新知感悟新知如图如图12.3-12，BE=CF，BF AC 于点于点F，CE AB 于于点点E，BF 和和CE 交于点交于点D.求证求证：AD 平分平分 BAC.例7知知4 4练练感悟新知感悟新知思路引导思路引导：知知4 4练练感悟新知感悟新知证明：证明：BF AC，CE AB，DEB=DFC=90.在在 B
21、DE 和和 CDF 中中，BDE CDF(AAS).DE=DF.又又 BF AC，CE AB，AD 平分平分 BAC.BDE=CDF，DEB=DFC，BE=CF，知知4 4练练感悟新知感悟新知7-1.已知已知：如图，：如图，DE AB 于于E，DF AC 于于F，若，若BD=CD，BE=CF.求证求证：AD 平分平分 BAC.知知4 4练练感悟新知感悟新知知知4 4练练感悟新知感悟新知已知：如图已知：如图12.3-13，BP，CP分别分别是是 ABC 的外角平的外角平分线，分线，PM AB 于点于点M，PN AC 于点于点N求证：求证：AP 平分平分 MAN例8知知4 4练练感悟新知感悟新知思
22、路引导思路引导：知知4 4练练感悟新知感悟新知证明：如图证明：如图12.3-13，作，作PD BC 于点于点D，BP 是是 MBC 的平分线的平分线，PM AB，PD BC，PM=PD，同理可得同理可得PN=PD，PM=PN.又又PM AB，PN AC，AP 平分平分 MAN知知4 4练练感悟新知感悟新知8-1.已知：如图，已知：如图，ABC的的角平分线角平分线BE，CF 相交相交于点于点P求证：点求证：点P在在 A 的平分线上的平分线上.知知4 4练练感悟新知感悟新知证明：如图，过点证明：如图，过点P作作PDAB，PMBCPNAC，垂足分别为点，垂足分别为点D，M，N.BE平分平分ABC，点
23、，点P在在BE上，上，PDPM.同理可得同理可得PMPN，PDPN.点点P在在A的平分线上的平分线上知知4 4练练感悟新知感悟新知1.性质定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一性质定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点点到三到三条边的距离相等条边的距离相等.这一点叫三角形的这一点叫三角形的内心内心.知识点知识点三角形的角平分线的性质三角形的角平分线的性质(拓展点拓展点)5知知5 5讲讲感悟新知感悟新知2.几何语言：如图几何语言：如图12.3-14，在，在 ABC 中，中，AD，BM，CN 分别分别是是 BAC，ABC，ACB 的平分线的平分线，AD，BM，CN 交于一点交于一点O
24、，且点，且点O 到到三边三边BC，AB，AC 的的距离距离(OE，OG，OF 的长的长)相等相等，即，即OE=OG=OF.知知5 5讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒三角形的三条角平分线相交于三角形内一三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点条角平分线的交点.知知5 5讲讲感悟新知感悟新知如图如图12.3-15，在在 ABC 中中，点，点O 是是 ABC，ACB 的平分线的交点的平分线的交点，ABBCAC=20.过过O 作作OD
25、 BC 于点于点D，且，且OD=3，求，求 ABC 的面积的面积.例9解题秘方解题秘方：紧扣三角形内角平分紧扣三角形内角平分线的性质，解题的关键线的性质，解题的关键是得是得到点到点O 到三边的距离相等到三边的距离相等.知知5 5练练感悟新知感悟新知知知5 5练练感悟新知感悟新知9-1.如图，有一块如图，有一块三角形三角形的空地的空地ABC，其三，其三边长边长AB，AC，BC 分别分别为为30 m，40 m，5 0 m.现现要把它分成面积比要把它分成面积比为为3 4 5 的三部分的三部分种植三种植三种不同的花，请你种不同的花，请你设计设计一种一种方案，并简要方案，并简要说明说明理由理由.知知5
26、5练练感悟新知感悟新知解：方案如图所示解：方案如图所示知知5 5练练感悟新知感悟新知分别分别作作ABC和和ACB的平分线，两线交于点的平分线，两线交于点P，连接，连接AP，则，则ABP，ACP，BCP即为所求的三块地即为所求的三块地理由：易得理由：易得P为为ABC的三个内角平分线的交点的三个内角平分线的交点，点点P到到AB，AC，BC的距离均相等的距离均相等ABP，ACP，BCP的面积比即为的面积比即为AB，AC，BC的长度的比，即的长度的比，即345.(答案不唯一答案不唯一)知知5 5练练课堂小结课堂小结角角的平分的平分线线角角的的平平分分线线性质性质判定判定几何命题几何命题的证明的证明作已知角作已知角的平分线的平分线尺尺规规全全等等
