1、12.2 12.2 三角形全等的判定三角形全等的判定第十二章第十二章 全等三角形全等三角形感悟新知感悟新知1.基本事实：基本事实：三边三边分别相等的两个三角形全分别相等的两个三角形全等等(可以可以简写简写成成“边边边边边边”或或“SSS”).这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其其形状形状、大小也随之确定、大小也随之确定.这是说明三角形具有稳定性的这是说明三角形具有稳定性的依据依据.知识点知识点基本事实基本事实“边边边边边边”或或“SSS”SSS”1知知1 1讲讲感悟新知感悟新知2.书写格式：如图书写格式：如图12.2-1，在在 ABC 和和
2、 A B C 中，中，AB=AB，BC=BC，AC=AC，ABC ABC(SSS).知知1 1讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒在列举两个在列举两个三角形全三角形全等的条件时，应把等的条件时，应把三个三个条条件件按按顺序顺序排列排列(一般一般是把同一个三角形是把同一个三角形的三的三个条件放个条件放在等号的在等号的同一侧同一侧)，并用大括号将，并用大括号将其括其括起来起来.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知如图如图12.2-2，已知点，已知点A，D，B，F 在一条直线上，在一条直线上，AC=FE，BC DE，AD FB.求证：求证：ABC FDE.例1解题秘方：解题秘方：紧紧扣扣“SSS”找出两找
3、出两个三角形中三边对应相等个三角形中三边对应相等的条的条件件来判定两个三角形全等来判定两个三角形全等.知知1 1练练感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨：运用运用“SSS”证明两个证明两个三角形全等三角形全等,主要就是主要就是找边找边相等，边相等除了题目中已知的相等，边相等除了题目中已知的边相等以外，还有些相等边相等以外，还有些相等的边的边隐含在题设或图隐含在题设或图形中形中.常见的隐含的等边有：常见的隐含的等边有：(1)公共公共边相等；边相等；(2)等边加等边加(或减或减)等边等边，其，其和和(或差或差)仍仍相等；相等；(3)由由中线的定义得出线段相等中线的定义得出线段相等.知知1 1练练感悟新
4、知感悟新知证明：证明：AD=FB，ADDB=FBDB，即即AB=FD.在在 ABC 和和 FDE 中中，ABC FDE(SSS).AC=FE，AB=FD，BC=DE，知知1 1练练感悟新知感悟新知1-1.如图，已知如图，已知AB=CD，若根据，若根据“SSS”证得证得 ABC CDA，需要，需要添加一个添加一个条件是条件是_.BCDA知知1 1练练感悟新知感悟新知1-2.中考中考 云南云南 如图如图，C 是是BD 的中点的中点，AB=ED，AC=EC求证求证：ABC EDC知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知作一个角等于已知角：已知作一个角等于已知角：已知 AOB(如图
5、如图12.2-3)，求作，求作 AO B，使，使 AO B=AOB，并证明，并证明.知识点知识点用尺规作一个角等于已知角用尺规作一个角等于已知角2知知2 2讲讲感悟新知感悟新知作法作法：(1)以以点点O 为圆心为圆心，任意，任意长为半径画弧，长为半径画弧，分别分别交交OA，OB 于点于点C，D；(2)画画一条射线一条射线OA，以点，以点O为圆心，为圆心，OC 长为长为半径画弧半径画弧，交，交OA于点于点C；(3)以以点点C为圆心，为圆心，CD 长为半径画弧，长为半径画弧，与与(2)中中所画所画的弧的弧相交于点相交于点D；知知2 2讲讲感悟新知感悟新知(4)过过点点D画射线画射线OB，则，则 A
6、OB即为所求即为所求作的作的角角(如如图图12.2-3).证明：连接证明：连接CD，CD.由由作法作法(1)(2)可知可知OC=OD=OC；由由作法作法(3)可知可知CD=CD，OC=OD，OD=OD.OCD OCD(S S S).AOB=AOB.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读作一个角等于已知角，是利用作一个角等于已知角，是利用尺规作一个三角形与已知三角形全尺规作一个三角形与已知三角形全等，利用的判定方法是等，利用的判定方法是“SSS”，然，然后利用全等三角形的性质后利用全等三角形的性质对应对应角相等，证明作出的角等于已知角角相等，证明作出的角等于已知角.知知2 2讲讲感悟新知
7、感悟新知如图如图12.2-4，过点，过点C 作直线作直线DE，使，使DE AB.例2解题秘方解题秘方：通过通过作一对内错角作一对内错角相等来作已知直线的平行线相等来作已知直线的平行线.知知2 2练练感悟新知感悟新知解：作法如下：解：作法如下：(1)过过点点C 作直线作直线MN 与与AB 相交，相交，交点为交点为F；(2)在在直线直线MN 的右侧作的右侧作 FCE，使使 FCE=AFC；(3)反向反向延长延长CE，直线，直线DE 即为所即为所求求(如如图图12.2-4).知知2 2练练感悟新知感悟新知2-1.荣荣德原创题德原创题如图如图，在，在 ABC 中，中，D 是是边边AB 上一点，上一点，
8、按以下按以下步骤作图步骤作图：以点以点A 为圆心，以为圆心，以适当适当长为长为半径半径作作弧，弧，分别交分别交AB，AC 于点于点M，N；以点以点D 为圆心，为圆心，以以AM 长为半径作弧，长为半径作弧，交交DB 于点于点M；知知2 2练练感悟新知感悟新知以点以点M为圆心，为圆心，以以MN 长为半径作弧，长为半径作弧，在在 BAC 内内部交中部交中所画所画的弧于点的弧于点N；过点过点N作射线作射线DN交交BC 于点于点E若若 B=52，C=83，则，则 BDE=_.45知知2 2练练感悟新知感悟新知1.基本事实：基本事实：两边两边和它们的和它们的夹角夹角分别相等的两个三角形全分别相等的两个三角
9、形全等等(可以可以简写成简写成“边角边边角边”或或“SAS”).知识点知识点基本事实基本事实“边角边边角边”或或“SASSAS”3知知3 3讲讲感悟新知感悟新知2.书写格式：如图书写格式：如图12.2-5，在在 ABC 和和 ABC 中，中，ABC ABC(SAS).AB=AB，B=B，BC=BC，知知3 3讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读在在书写两个书写两个三角形全三角形全等的条件等的条件“边角边角边边”时时，要，要按照按照“边边角角边边”的的顺序来顺序来写，即把写，即把夹角相等夹角相等写在中间，以突出写在中间，以突出两边两边及其夹角分别相等及其夹角分别相等.知知3 3讲讲感悟新知感悟新
10、知特别提醒特别提醒两边和其中一边的对角分别相两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等等的两个三角形不一定全等.即即“边边边角边角”(SSA)不能作为判定两个三角不能作为判定两个三角形全等的条件形全等的条件.如图如图12.2-6，在，在 ABC 和和 ABD 中，中，AB=AB，B=B，AC=AD，显然，显然ABC和和ABD不全等不全等.知知3 3讲讲感悟新知感悟新知中考中考 宜宾宜宾 如图如图12.2-7，已知已知OA=OC，OB=OD，AOC=BOD求证求证：AOB COD例3解题秘方解题秘方：根据根据条件找出两个三条件找出两个三角形中的两条边及其角形中的两条边及其夹角对应夹角对应
11、相相等，根据等，根据“SAS”判定两个三角形判定两个三角形全等全等.知知3 3练练感悟新知感悟新知方法点拨方法点拨：运用运用“SAS”判定两个三角形全等时，首先判定两个三角形全等时，首先要要注意注意角一定是两边的夹角，其次要注意边相等和角相角一定是两边的夹角，其次要注意边相等和角相等的等的隐藏方式隐藏方式，边相等的隐藏方式与，边相等的隐藏方式与“SSS”的方式相的方式相同，角相等同，角相等隐藏的隐藏的常见方式有下列几种常见方式有下列几种：(1)公共公共角角；(2)对顶角；对顶角；(3)角平分线；角平分线；(4)角角的和差的和差；(5)平行线平行线的性质的性质；(6)垂直；垂直；(7)余角余角或
12、补角的性质或补角的性质；(8)全等三角形全等三角形的性质的性质.知知3 3练练感悟新知感悟新知证明：证明：AOC=BOD，AOC AOD=BOD AOD，即即 COD=AOB.在在 AOB 和和 COD 中中，AOB COD(SAS).OA=OC，AOB=COD，OB=OD，知知3 3练练感悟新知感悟新知3-1.小兰制作了一小兰制作了一个燕子个燕子风筝，其骨架图风筝，其骨架图如图如图，AB=AE，AC=AD，BAD=EAC，C=50，求，求 D 的度数的度数.知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知1.基本事实：基本事实：两角两角和它们的和它们的夹边夹边分别相等的两个三角形
13、全分别相等的两个三角形全等等(可以可以简写成简写成“角边角角边角”或或“ASA”).知识点知识点基本事实基本事实“角边角角边角”或或“ASAASA”4知知4 4讲讲感悟新知感悟新知2.书写格式：如图书写格式：如图12.2-8，在在 ABC 和和 ABC 中，中，B=B，BC=BC，C=C，ABC ABC(ASA).知知4 4讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读在书写两个三角形全等的条件在书写两个三角形全等的条件“角边角边角角”时时,要按照要按照“角角边边角角”的顺序来写，的顺序来写，即把夹边相等写在中间，以突出两角及其即把夹边相等写在中间，以突出两角及其夹边分别相等夹边分别相等.知知4 4讲讲
14、感悟新知感悟新知中考中考乐山乐山 如图如图12.2-9，B 是线段是线段AC 的中点，的中点，AD BE，BD CE.求证求证：ABD BCE例4解题秘方解题秘方：解题的关键是由两解题的关键是由两组组平行线平行线得出两组角对应相等，得出两组角对应相等，构造两角及其夹边对应相等构造两角及其夹边对应相等.知知4 4练练感悟新知感悟新知证明：证明：B 为线段为线段AC 的中点，的中点，AB=BC.AD BE，BD CE，A=EBC，C=DBA.在在 ABD 和和 BCE 中，中，ABD BCE(ASA).A=EBC，AB=BC，DBA=C，知知4 4练练感悟新知感悟新知4-1.情境情境题题 生活生活
15、应用应用如如图，某同学把一块图，某同学把一块三角形三角形的玻璃的玻璃打碎成打碎成了了3 块，现在要去玻璃块，现在要去玻璃店配店配一块完全一样的一块完全一样的玻玻璃璃，其中最省事的，其中最省事的办法是办法是()A.带去带去B.带去带去C.带去带去D.带和去带和去C知知4 4练练感悟新知感悟新知1.定理：定理：两角两角分别相等且其中一组等角的分别相等且其中一组等角的对边对边相等的两个相等的两个三角形三角形全全等等(可以可以简写成简写成“角角边角角边”或或“AAS”).知识点知识点“角角边角角边”或或“AASAAS”5知知5 5讲讲感悟新知感悟新知2.书写格式：如图书写格式：如图12.2-10，在在
16、 ABC 和和 ABC 中，中，A=A，B=B，BC=BC，ABC ABC(AAS).知知5 5讲讲感悟新知感悟新知3.“A SA”和和“A A S”的区别与联系的区别与联系“S”的意义的意义书写格式书写格式联系联系ASA“S”是两是两角的夹边角的夹边把夹边相等写把夹边相等写在两角相等的在两角相等的中间中间由三角形内由三角形内角和定理可角和定理可知，知，“AAS”可由可由“ASA”推导得出推导得出AAS“S”是其中是其中一角的对边一角的对边把两角相等写把两角相等写在一起，边相在一起，边相等放在最后等放在最后知知5 5讲讲感悟新知感悟新知特别特别解读解读1.判定两个三角形全判定两个三角形全等的等
17、的三个条件中，三个条件中，“边边”是是必不可少的必不可少的.2.在两个三角形的六在两个三角形的六个元素个元素(三三条边和三条边和三个角个角)中，由已知的中，由已知的三三 个 元 素个 元 素 可 判 定 两 个可 判 定 两 个 三 角 形三 角 形 全 等 的 组 合 有全 等 的 组 合 有 4 个个：“SSS”“SAS”“ASA”和和“AAS”，不能判定，不能判定两个两个三角形全等三角形全等的的组合是组合是“AAA”和和“SSA“”(ASS”).知知5 5讲讲感悟新知感悟新知如图如图12.2-11，AB=AE，1=2，C=D求证：求证：ABC AED例5知知5 5练练感悟新知感悟新知思路
18、引导：思路引导：知知5 5练练感悟新知感悟新知技巧点拨技巧点拨：判定判定两个三角形全等，可采用执果两个三角形全等，可采用执果索因的方法索因的方法，即，即根据结论反推需要的条件根据结论反推需要的条件.如本如本题还缺少题还缺少 BAC=EAD，需，需利用已知条件利用已知条件 1=2 进行推导进行推导.知知5 5练练感悟新知感悟新知证明：证明：1=2，1 EAC=2 EAC，即即 BAC=EAD.在在 ABC 和和 AED 中，中，C=D，BAC=EAD，AB=AE，ABC AED(AAS).知知5 5练练感悟新知感悟新知5-1.中考中考 淮安淮安 已知已知：如图，点：如图，点D 为为线段线段BC
19、上一点，上一点，BD=AC，E=ABC，DE AC求证：求证：DE=BC.知知5 5练练感悟新知感悟新知知知5 5练练感悟新知感悟新知1.定理：定理：斜边斜边和一条和一条直角边直角边分别相等的两个直角三角形全分别相等的两个直角三角形全等等(可以可以简写成简写成“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”).知识点知识点“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HLHL”6知知6 6讲讲感悟新知感悟新知2.书写格式：如图书写格式：如图12.2-12，在在Rt ABC 和和Rt ABC 中，中，AB=AB，BC=BC，Rt ABC Rt ABC(HL).知知6 6讲讲感悟新知感悟新知3.判定两个三角形全等常用
20、的思路方法判定两个三角形全等常用的思路方法已知对应相已知对应相等的元素等的元素可选择的可选择的判定方法判定方法需寻找的条件需寻找的条件锐角锐角三角三角形或形或钝角钝角三角三角形形两边两边(SS)SSS 或或SAS可证第三边对应相等或可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等证两边的夹角对应相等一边及其邻一边及其邻角角(SA)SAS 或或ASA或或AAS可证已知角的另一边对可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等知边的对角对应相等知知6 6讲讲感悟新知感悟新知已知对应相已知对应相等的元素等的元素可选择的可选择的判定方法判
21、定方法需寻找的条件需寻找的条件锐角三锐角三角形或角形或钝角三钝角三角形角形一边及其对一边及其对角角(SA)AAS可证另一角对应相等可证另一角对应相等两角两角(AA)ASA 或或AAS可证两角的夹边对应相等可证两角的夹边对应相等或证一相等角的对边对应或证一相等角的对边对应相等相等知知6 6讲讲感悟新知感悟新知已知对应相已知对应相等的元素等的元素可选择的判可选择的判定方法定方法需寻找的条件需寻找的条件直直角角三三角角形形一锐角一锐角(A)ASA 或或AAS可证直角与已知锐角的夹边可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角对应相等或证已知锐角(或直或直角角)的对边对应相等的对边对应相等斜边斜边(H
22、)HL 或或AAS可证一条直角边对应相等或可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等证一锐角对应相等一直角边一直角边(L)HL 或或ASA 或或AAS 或或SAS可证斜边对应相等或证与已可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等等或证另一直角边对应相等知知6 6讲讲感悟新知感悟新知特别特别提醒提醒1.应用应用“HL”判定两个判定两个直角三角形直角三角形全等，在全等，在书写时书写时两个三角形符号两个三角形符号前一定前一定要加上要加上“Rt”.2.判定两个判定两个直角三角形全直角三角形全等的特殊方法
23、等的特殊方法“HL”，只只适用于适用于直角三角形全直角三角形全等的判定等的判定，对于对于一般一般三角形不适用三角形不适用.知知6 6讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒3.判定一般三角形全等的所有方法对判定两判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用个直角三角形全等同样适用.4.在用一般方法判定在用一般方法判定两个两个直角三角形全等时直角三角形全等时，因为因为两个两个直角三角形中直角三角形中已具备一对直角已具备一对直角相相等等的条件，故只需找的条件，故只需找另外另外两个条件即可两个条件即可知知6 6讲讲感悟新知感悟新知母母题题 教材教材P43练习练习T2已知已知：如图：如图1
24、2.2-13，点，点E，F 在线段在线段BD 上，上，AF BD，CE BD，AD=CB，DE=BF.求证：求证：AF=CE例6解题秘方解题秘方：利用利用“HL”证明两证明两个直角三角形个直角三角形全等全等，为证明两，为证明两条线段相等创造条件条线段相等创造条件.知知6 6练练感悟新知感悟新知证明：证明：DE=BF，DEEF=BFEF，即即DF=BE.在在Rt ADF 和和Rt CBE 中，中，AD=CB，DF=BE，Rt ADF Rt CBE(HL).AF=CE.知知6 6练练感悟新知感悟新知6-1.如图，在如图，在 ABC 中中，AC=BC，直线，直线l 经过点经过点C，过，过A，B 两点两点分别作分别作l 的垂线的垂线AE，BF，垂足垂足分别为分别为E，F，AE=CF.求证求证：ACB=90知知6 6练练感悟新知感悟新知知知6 6练练课堂小结课堂小结三角形全等的判定三角形全等的判定三角三角形全形全等的等的判定判定方法方法三边三边(SSS)直角直角三角三角形全形全等的等的判定判定方法方法两边及夹角两边及夹角(SAS)两角两角一边一边(ASA 或或AAS)斜边、直角边斜边、直角边(HL)
