1、2024年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD2我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一用科学记数法将数据1290000000表示为（）A1.29108B12.9108C1.29109D1291073“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是1
2、80、最高温度是150，则它能够耐受的温差是（）A180B150C30D3304下列计算正确的是（）Ax6x4x2B5+6=11C（x3）2x5D（x+y）2x2+y25为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（）A9.2B9.4C9.5D9.66在平面直角坐标系中，将点P（3，5）向上平移2个单位长度后得到点P的坐标为（）A（1，5）B（5，5）C（3，3）D（3，7）7对于一次函数y2x1，下列结论正确的是（）A它的图象与y轴交于点（0，1）By随x的增大而减小C当x12时，y0D
3、它的图象经过第一、二、三象限8如图，在ABC中，BAC60，B50，ADBC，则1的度数为（）A50B60C70D809如图，在O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE4，则O的半径长为（）A4B42C5D5210如图，在菱形ABCD中，AB6，B30，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AFDE于点F设DEx，AFy，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（）Ay=9xBy=12xCy=18xDy=36x二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均
4、高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知 种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）12某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 13要使分式6x19有意义，则x需满足的条件是 14半径为4，圆心角为90的扇形的面积为 （结果保留）15如图，在ABC中，点D，E分别是AC，
5、BC的中点，连接DE若DE12，则AB的长为 16为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 三、解答题（本大题
6、共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（6分）计算：（14）1+|3|2cos30（6.8）018（6分）先化简，再求值：2mm（m2）+（m+3）（m3），其中m=5219（6分）如图，在RtABC中，ACB90，AB25，AC2，分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，E，连接CD，AE（1）求CD的长；（2）求ACE的周长20（8分）中国新能源产业异军突起中国车企在政策引导和支持下
7、，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势.2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图类型人数百分比纯电m54%混动na%氢燃料3b%油车5c%请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查活动随机抽取了 人；表中a ，b ；（2）请补全条形统计图：（3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；（4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计
8、喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？21（8分）如图，点C在线段AD上，ABAD，BD，BCDE（1）求证：ABCADE；（2）若BAC60，求ACE的度数22（9分）刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元（1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？（2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能
9、购买A种湘绣作品多少件？23（9分）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，ABC90（1）求证：ACBD；（2）点E在BC边上，满足CEOCOE若AB6，BC8，求CE的长及tanCEO的值24（10分）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形：只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；只有内切圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形：既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形请你根据该约定，解答下列问题：（1）请你判
10、断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“”）平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； 内角不等于90的菱形一定是“内切型单圆”四边形； 若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有R=2r （2）如图1，已知四边形ABCD内接于O，四条边长满足：AB+CDBC+AD该四边形ABCD是“ ”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；若BAD的平分线AE交O于点E，BCD的平分线CF交O于点F，连接EF求证：EF是O的直径（3）已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H如
11、图2，连接EG，FH交于点P求证：EGFH；如图3，连接OA，OB，OC，OD，若OA2，OB6，OC3，求内切圆O的半径r及OD的长25（10分）已知四个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在关于x的函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的图象上（1）当A，B两点的坐标分别为（1，4），（3，4）时，求代数式2024a+1012b+37的值；（2）当A，B两点的坐标满足a2+2（y1+y2）a+4y1y20时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由；（3）当a0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足
12、：2a2+2（y1+y2）a+y12+y22=0，2a22（y3+y4）a+y32+y42=0请问是否存在实数（m1），使得AB，CD，mEF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：mEF表示一条长度等于EF的m倍的线段）2024年湖南省长沙市中考数学试题参考答案一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1B 2C 3D 4A 5B6D 7A 8C 9B 10C二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13、11甲 1215 13x19 144 1524 162009三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（6分）解：（14）1+|3|2cos30（6.8）04+323214+331318（6分）解：2mm（m2）+（m+3）（m3）2mm2+2m+m294m9，当m=52时，原式4529109119（6分）解：（1）由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，点D为AB的中点，CD=12AB=5（2）在RtABC中，由勾股定理得，BC
14、=AB2AC2=(25)222=4直线MN为线段AB的垂直平分线，EAEBACE的周长为AC+CE+EAAC+CE+EBAC+BC2+4620（8分）解：（1）本次调查活动随机抽取了2754%50（人），n50273515，a%=1550100%30%，b%=350100%6%，a30，b6；故答案为：50，30，6；（2）补全条形统计图如图所示：（3）36030%108，答：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为108；（4）4000（54%+30%+6%）3600（人），答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人21（8分）（1）证明：在ABC和ADE中，BC=DE
15、B=DAB=AD，ABCADE（SAS）（2）解：由（1）得ABCADE，ACAE，BACDAE60，AECACE，AEC+ACE2ACE180DAE120，ACE60，ACE的度数是6022（9分）解：（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据题意得：x+2y=7002x+3y=1200，解得：x=300y=200答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元；（2）设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品（200m）件，根据题意得：300m+200（200m）50000，解得：m100，m的最大值为100答：最多能购买100件A种湘绣作品23（9分）
16、（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABC90，四边形ABCD是矩形，ACBD（2）作OHBC于点H，则OHEOHC90，ABC90，AB6，BC8，AC=AB2+BC2=62+82=10，OCOA=12AC5，CEOCOE，CEOC5，OCOA=12AC，OBOD=12BD，且ACBD，OCOB，HCHB=12BC4，EHCEHC541，OHHC=ABBC=tanACB，OH=ABBCHC=6843，tanCEO=OHEH=31=3，CE的长为5，tanCEO的值为324（10分）解：（1）平行四边形对角不互补，平行四边形无外接圆，平行四边形对边之和也不相等，平行四边形无内切圆平行四边形
17、是“平凡型无圆”四边形，故错误；内角不等于90的菱形对角不互补，但是对边之和相等，菱形是“内切型单圆”四边形，故正确；由题可知外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图，此时OMr，ONR，OMN是等腰直角三角形，ON=2OM，R=2r，故正确故答案为：（）；（），（）（2）该四边形ABCD是“外接型单圆”四边形；理由：AB+CDBC+AD，四边形ABCD无内切圆四边形ABCD是“外接型单圆”四边形；证法1：如图1，AE平分BAD，CF平分BCD，BE=DE，BF=DF，BE+BF=DE+DF，即EBF=EDF，EBF与EDF均为半圆，EF是O的直径证法2：如图1，连接AF
18、四边形ABCD内接于O，BAD+BCD180，AE平分BAD，CF平分BCD，1=12BAD，2=12BCD，1+290，由同弧所对的圆周角相等可得23，1+390，即EAF90EF是O的直径证法3：如图2，连接FD，ED四边形ABCD内接于O，BAD+BCD180， 由题意，得1=12BAD，2=12BCD，由同弧所对的圆周角相等可得：EFD1，FED2，EFD+FED=12(BAD+BCD)=90，FDE90EF是O的直径（3）证明：如图3，连接OE，OF，OG，OH，HGO是四边形ABCD的内切圆，OEAB，OFBC，OGCD，OHADOEAOHA90在四边形EAHO中，A+EOH360
19、9090180同理可证FOG+C180，四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，四边形ABCD有外接圆，A+C180，EOHCFOG+EOH180又FHG=12FOG，EGH=12EOH，FHG+EGH90HPG90，即EGFH方法1：如图4，连接OE，OF，OG，OH四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，OAH+OAE+OCG+OCF180O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H，OAHOAE，OCGOCFOAH+OCG90COG+OCG90，OAHCOGAHOOGC90，AOHOCGAOOC=OHCG，即23=rCG，解得CG=32r，在RtOGC中，有OG2+CG2OC2，即r
20、2+(32r)2=32，解得r=61313，在RtOBE中，BE=OB2r2=623613=121339同理可证BEOOHD，所以BEOH=OBOD，即123961313=6OD，解得OD=3 方法2：如图4，由AOHOCG，得AOOC=OHCG，即23=r32r2，解得r=61313，由BEOOHD，得BEOH=OBOD，即36361361313=6OD，解得OD=325（10分）解：（1）将A（1，4），B（3，4）代入yax2+bx+c得ab+c=4，9a+3b+c=4，得8a+4b8，即2a+b22024a+1012b+37=1012(2a+b)+37=202437（2）此函数图象与x
21、轴的公共点个数为两个方法1：由a2+2（y1+y2）a+4y1y20，得（a+2y1）（a+2y2）0，y1=a2，y2=a2，当a0时，a20，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点；当a0时，a20，此抛物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点方法2：由a2+2（y1+y2）a+4y1y20，得（a+2y1）（a+2y2）0，y1=a2，y2=a2，抛物线上存在纵坐标为a2的点，即一元二次方程ax2+bx+c=a2有解该方程根的判别式=b24a(c
22、+a2)0，即b24ac2a2a0，所以b24ac0原函数图象与x轴必有两个公共点方法3：由a2+2（y1+y2）a+4y1y20，可得y1=a2或y2=a2当y1=a2时，有ax12+bx1+c=a2，即ax12+bx1+a2=c，=b24ac=b2+4a(ax12+bx1+a2)=2a2+(2ax1+b)20此时该函数图象与x轴有两个公共点当y2=a2时，同理可得0，此时该函数图象与x轴也有两个公共点综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点（3）因为a0，所以该函数图象开口向上2a2+2(y1+y2)a+y12+y22=0，(a+y1)2+(a+y2)2=0，y1y2a2a22(y3+y4
23、)a+y32+y42=0，(ay3)2+(ay4)2=0，y3y4a，直线AB，CD均与x轴平行由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设E（x5，0），F（x6，0）由图象可知a4acb24a，即b24ac4a2，ax2+bx+ca的两根为x1、x2，AB=|x1x2|=b24a(c+a)|a|，同理ax2+bx+ca的两根为x3、x4，可得CD=|x3x4|=b24a(ca)|a|，同理ax2+bx+c0的两根为x5、x6，可得mEF=m|x5x6|=mb24ac|a|，由于m1，结合图象与计算可得ABEFmEF，ABCD若存在实数m（m1），使得AB，CD，mEF这三条线段组成一个三
24、角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为 30、60 的直角三角形，线段AB不可能是该直角三角形的斜边当以线段CD为斜边，且两锐角分别为30，60时，mEFAB，必须同时满足：AB2+（mEF）2CD2，mEF=3AB将上述各式代入化简可得m2=8a2b24ac8a24a2=2，且m2=3(b24ac4a2)b24ac，联立解之得b24ac=20a23，m2=8a2b24ac=652，解得m=3051，符合要求m=305，此时该函数的最小值为4acb24a=20a234a=5a3当以线段mEF为斜边时，必有AB2+CD2（mEF）2，同理代入化简可得2（b24ac）m2（b24ac），解得m=2，以线段2EF为斜边，且有一个内角为60，而CDAB，CDABtan60，即b24a(ca)=3b24a(c+a)，化简得b24ac8a24a2符合要求m=2，此时该函数的最小值为4acb24a=8a24a=2a综上所述，存在两个m的值符合题意；当m=305时，此时该函数的最小值为5a3，当m=2时，此时该函数的最小值为2a15 / 15
