1、2.7 2.7 角角的和与差的和与差第二章第二章 几何图形几何图形的初步的初步认识认识知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知识点知识点角的和、差角的和、差11.角的和与角的和与差差(数数)两个角的度数的和与差叫作这两个角两个角的度数的和与差叫作这两个角的的和和与差与差.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.两个角的和或差，两个角的和或差，仍然仍然是一个角，角的和是一个角，角的和或或差差的度数，就是它们的度数，就是它们度数度数的和或差的和或差.2.在计算两个角的和在计算两个角的和或差或差时要将度与度、分时要将度与度、分与与分分、秒与秒分别、秒与秒分别相加或相加或相减，分、秒相减，分、秒相加
2、时相加时逢逢 60 要进位，要进位，相减时相减时要借要借1当当60.感悟新知感悟新知2.角的和与角的和与差差(形形)知知1 1讲讲文字描述文字描述 数学语言数学语言 图示图示角的角的和和 AOC 是是 AOB与与 BOC 的和的和 AOC=AOB+BOC角的角的差差 AOB 是是 AOC 与与 COB 的差的差 AOB=AOC COB知知1 1练练感悟新知感悟新知母母题题 教材教材 P87 例题例题 计算计算：(1)27 26 53 48；(2)9079 18 6；(3)18 13 5；(4)49 28 52 4.例1解题秘方解题秘方：利用有理数的运算法则结合角的单位利用有理数的运算法则结合角
3、的单位的的换算和换算和进制进行计算进制进行计算.知知1 1练练感悟新知感悟新知解解：27 26+53 48=80 74=81 14.(1)27 26 53 48；(2)9079 18 6；(3)18 13 5；(4)49 28 52 4.9079 18 6=89 59 60 79 18 6=10 41 54.18 13 5=90 65=91 5.49 28 52 4=48 88 52 4=12 22 13.知知1 1练练感悟新知感悟新知1-1.若若 1+2=90，1=58 25，则，则 2的的度数度数是是()A.31 75 B.31 35C.41 75 D.41 25B知知1 1练练感悟新知感
4、悟新知1-2.计算：计算：(1)47 53 43 53 47 42；(2)92 56 3 46 57 54.解解：475343534742100100851014125.9256346575491115634657544558945589.知知1 1练练感悟新知感悟新知如图如图 2.7-1，回答下列问题：，回答下列问题：(1)AOC 是哪两个角的和？是哪两个角的和？(2)AOB 是哪两个角的差？是哪两个角的差？(3)如果如果 AOB=COD，那么，那么 AOC 与与 DOB 相等吗？相等吗？例2 知知1 1练练感悟新知感悟新知解解：AOC=AOB+BOC.解题秘方解题秘方：根据图中角的位置关系
5、得到角的和差根据图中角的位置关系得到角的和差关系关系.AOB=AOD BOD=AOC BOC.(1)AOC 是哪两个角的和是哪两个角的和？(2)AOB 是哪两个角的差是哪两个角的差？知知1 1练练感悟新知感悟新知解解：AOC=DOB.因为因为 AOB=COD，所以所以 AOB+BOC=COD+BOC，即即 AOC=DOB.(3)如果如果 AOB=COD，那么，那么 AOC 与与 DOB 相等吗？相等吗？在等式的两边分别加上相在等式的两边分别加上相等的量，所得结果仍是等式等的量，所得结果仍是等式.知知1 1练练感悟新知感悟新知2-1.在所给的：在所给的：15，65，75，135，145 角度中角
6、度中，可以用一副三角尺画出来的是可以用一副三角尺画出来的是()A.B.C.D.D感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点角平分线角平分线21.定义定义 如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成分成的两个角相等，那么这条射线叫作这个角的角平分线的两个角相等，那么这条射线叫作这个角的角平分线.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲感悟新知感悟新知知知2 2讲讲2.角的角的 n 等分线等分线(拓展拓展)类似类似角的平分线，从角的顶点角的平分线，从角的顶点引出的引出的射线，将角分成相等的射线，将角分成相等的 n 个角，叫作角的个角，叫作角的 n 等分线，等分线，例
7、如例如角角的三等分线、四等分线等的三等分线、四等分线等.3.角的平分线的作法角的平分线的作法(1)用量角器来画用量角器来画；(2)通过折叠，使通过折叠，使角的角的两边重合，沿折痕画射线，这条射线即为这个角的两边重合，沿折痕画射线，这条射线即为这个角的角角平分线平分线.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒1.角平分线的角平分线的“三要素三要素”：(1)是从角的顶点是从角的顶点引出的引出的射线；射线；(2)在角的内部；在角的内部；(3)将已知角平分将已知角平分.2.角的平分线只有一条角的平分线只有一条.感悟新知感悟新知知知2 2练练期末期末石家庄裕华区石家庄裕华区如图如图 2.7-3，A
8、OC=90，OC 平分平分 DOB，DOC=25 35，求，求 BOA 的度数的度数例3知知2 2练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：先利用角平分线的定义求出先利用角平分线的定义求出 BOC 的的度数，度数，再求再求 BOA 的度数的度数解解：因为：因为OC平分平分 DOB，所以所以 BOC=DOC=25 35又因为又因为 AOC=90，所以所以 BOA=AOC BOC=90 25 35=64 25知知2 2练练感悟新知感悟新知3-1.期末期末 廊坊廊坊如图如图，OC 是是 AOD 的的 平分平分线，线，OE是是 BOD的的平分平分线，线，AOB=130.(1)若若 BOE=45，求求 AO
9、C 的度数的度数；知知2 2练练感悟新知感悟新知(2)求求 COE 的度数的度数.感悟新知感悟新知知知2 2练练母母题题 教材教材 P89 习题习题 T6 如图如图 2.7-4，O 为直线为直线 AB 上上 一点，一点，AOC=50，OD 平分平分 AOC，EOD=90.(1)求求 BOD 的度数；的度数；(2)小明发现小明发现 OE 平分平分 BOC，请你通过计算请你通过计算说明理由说明理由.例4 知知2 2练练感悟新知感悟新知(1)求求 BOD 的度数；的度数；解题秘方解题秘方：利用利用 BOD=BOC+DOC 求解即可求解即可；知知2 2练练感悟新知感悟新知(2)小明发现小明发现 OE
10、平分平分 BOC，请你通过计算说明理由，请你通过计算说明理由.解解：因为因为 DOE=90，DOC=25，所以所以 COE=DOE DOC=90 25=65.又因为又因为 BOE=BOD DOE=155 90=65，所以所以 COE=BOE，即，即 OE 平分平分 BOC.解题秘方解题秘方：分别求出分别求出 COE 和和 BOE 的度数即可的度数即可.知知2 2练练感悟新知感悟新知4-1.如图，点如图，点 A，O，B在同一条直线上，在同一条直线上，BOC=78，DOE=77，OD 是是 BOC 的的一一条靠近条靠近 OC 边的三边的三等分线等分线(1)求求 COE 的度数的度数知知2 2练练感
11、悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知(2)OE 是是 AOC 的的平分线平分线吗？说明你的理由吗？说明你的理由.解：解：OE是是AOC的平分线的平分线理由：因为理由：因为COE51，BOC78，所以所以AOE180COEBOC180517851.所以所以AOECOE，所以所以OE是是AOC的平分线的平分线感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点余角和补角余角和补角31.余角余角 如果如果 +=90 ，那么我们就称那么我们就称 与与 互为互为余角，简称互余余角，简称互余.其中，其中，()叫作叫作()的的余角余角.数学语言数学语言：如图如图 2.7-5，如果如果 1+2=90 ，就，就
12、说说 1 是是 2 的余角，或的余角，或 1 与与 2 互为余角互为余角.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲2.补角补角 如果如果+=180，那么我们就称，那么我们就称 与与 互互为补角为补角，简称互补，简称互补.其中，其中，()叫作叫作()的补的补角角.数学语言数学语言：如图如图 2.7-6，如，如 果果 3+4=180 ，就，就 说说 3 是是 4 的补角，或的补角，或 3 与与 4 互为补角互为补角.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲3.邻补角邻补角 两个角有一条公共边两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延它们的另一边互为反向延长线长线，具有这种关系的两个角称为邻补角，具有这种关系的两个角称
13、为邻补角.如图如图 2.7-7，AOB 与与 BOC 互为邻补角互为邻补角.知知3 3讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读1.互余、互补是指互余、互补是指两个两个角之间角之间的数量关系的数量关系，它们是它们是成对成对出现出现的的.2.若两个角互余，则两若两个角互余，则两个角个角都是锐角；若两都是锐角；若两个角个角互补，互补，则两个角则两个角可能都是可能都是直角，也可能一直角，也可能一个角个角是锐角，是锐角，另另 一一个角个角是钝角是钝角.3.互余、互补只互余、互补只与数量与数量有关有关，与位置无关，与位置无关，若，若将直角将直角分分成两个角，则成两个角，则这两这两个角互余，若将个角互余，若将平
14、角分成平角分成两个角，两个角，则这两则这两个角个角互补互补.知知3 3练练感悟新知感悟新知一一个角的补角为个角的补角为 138，则这个角，则这个角的余角为的余角为()A.38 B.42 C.48 D.132例5知知3 3练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：紧扣余角和补角的定义进行角的和差紧扣余角和补角的定义进行角的和差的的计算即计算即可可解解：这个角是：这个角是 180 138=42，所以这个角的余角是所以这个角的余角是 90 42=48 答案：答案：C知知3 3练练感悟新知感悟新知5-1.期期 末末 邯邯 郸郸如果一个角与它的余角的如果一个角与它的余角的度数之比度数之比为为1 2，则这个则
15、这个角是角是 _度度，这个角的补角与这个角的补角与它的余角它的余角的差等于的差等于 _度度3090知知3 3练练感悟新知感悟新知如图如图 2.7-8，点，点 O 为直线为直线 AB 上一点，上一点，AOC=DOE=90.(1)图图中互余的角有几对？各是哪些？中互余的角有几对？各是哪些？(2)图中互补的角有几对？各是哪些？图中互补的角有几对？各是哪些？例6 解题秘方解题秘方：紧扣余角、补角的定义解答紧扣余角、补角的定义解答.知知3 3练练感悟新知感悟新知(1)图中互余的角有几对？各是哪些？图中互余的角有几对？各是哪些？解解：因为点：因为点 O 为直线为直线 AB 上一点，上一点，所以所以 BOC
16、+AOC=180(平角平角的的定义定义).因为因为 AOC=90，所以，所以 BOC=180 AOC=90，又，又因为因为 DOE=90，所所 以以 1+2=90 ，2+3=90 ，3+4=90 ，1+4=90，所以图中互余的角有所以图中互余的角有 4 对，对，分别是分别是 1 和和 2，2 和和 3，3 和和 4，1 和和 4.知知3 3练练感悟新知感悟新知(2)图中互补的角有几对？各是哪些？图中互补的角有几对？各是哪些？解解：由题意得：由题意得 1+BOD=180，4+AOE=180，由，由(1)易知易知 1=3，2=4，所以所以 3+BOD=180，2+AOE=180.又因为又因为 AO
17、C+BOC=180，AOC+DOE=180，DOE+BOC=180，所以图中互补的角有所以图中互补的角有 7 对，分别是对，分别是 1 和和 BOD，4 和和 AOE，3 和和 BOD，2 和和 AOE，AOC 和和 BOC，AOC 和和 DOE，DOE 和和 BOC.知知3 3练练感悟新知感悟新知6-1.如图如图，直线直线 AB，CD相交于点相交于点O，AOE=COF=90，则，则 图中图中 与与 BOC 互补互补的角有的角有()A.1个个 B.2个个C.3 个个 D.4个个C知知3 3练练感悟新知感悟新知6-2.如图如图，点，点 O 为为 直线直线 BE 上一点，上一点，AOE=COD=9
18、0，则图中与则图中与 BOC 互余的角有互余的角有()A.1个个 B.2个个C.3 个个 D.4个个B感悟新知感悟新知知知4 4讲讲知识点知识点余角、补角的性质余角、补角的性质41.余角的性质余角的性质(1)同角的余角相等同角的余角相等.如果如果 1+2=90，1+3=90，那么，那么 2=3.(2)等角的余角相等等角的余角相等.如果如果 1+2=90，3+4=90，且，且 1=3，那么那么 2=4.同一个角同一个角.度数相等的角度数相等的角.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲2.补角的性质补角的性质(1)同角的补角同角的补角相等相等.如果如果 1+2=180，1+3=180，那么，那么 2=3.
19、(2)等角的补角等角的补角相等相等.如果如果 1+2=180，3+4=180，且，且 1=3，那么那么 2=4.知知4 4讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒如果互补的两个角如果互补的两个角相等相等，那么这两个角，那么这两个角都是都是直角直角.余角、补角的性质是余角、补角的性质是说明说明两个角相等的两个角相等的重要重要依据依据.感悟新知感悟新知知知4 4练练如图如图 2.7-9，已知，已知 O 是直线是直线 AB 上的一点，上的一点，OC 是是一一条射线条射线，OD 平分平分 AOC，DOE=90，则，则 OE 平分平分 BOC 吗吗？为什么？为什么？例7知知4 4练练感悟新知感悟新知解题秘方
20、解题秘方：紧扣角平分线的定义，利用余角的性紧扣角平分线的定义，利用余角的性质说明质说明两个两个角相等角相等.知知4 4练练感悟新知感悟新知解解：OE 平分平分 BOC.理由如下：理由如下：因为因为 DOE=90，所以，所以 DOC+COE=90.又因为又因为 AOB=180，所以，所以 AOD+BOE=90.因为因为 OD 平分平分 AOC，所以，所以 AOD=DOC.所以所以 COE=BOE.所以所以 OE 平分平分 BOC.知知4 4练练感悟新知感悟新知7-1.期末期末 台州台州如图如图，点，点 O 在直线在直线 AE 上上，AOB=COD=90，则，则图中除了直角外，图中除了直角外，一一
21、定定相等的角有相等的角有()A.3对对 B.2对对C.1 对对 D.0对对B感悟新知感悟新知知知4 4练练如图如图 2.7-10，直线，直线 AB 与与 COD 的的两边两边OC，OD 分别分别相交于点相交于点 E，F，1+2=180.找出图中与找出图中与 2 相等的角，并说明理由相等的角，并说明理由.例8 解题秘方解题秘方：利用补角的性质找出与利用补角的性质找出与 2 相等的相等的角角.知知4 4练练感悟新知感悟新知解解：因为：因为 1+3=180，1+2=180，所以所以 3=2.因为因为 1+4=180，1+2=180，所以，所以 4=2.因为因为 2+5=180，6+5=180，所以，
22、所以 2=6.所以图中与所以图中与 2 相等的角有相等的角有 3，4，6.同角的补角相等同角的补角相等知知4 4练练感悟新知感悟新知8-1.如图，点如图，点 O 在在直线直线AB上，上，BOC=90，BOD和和 COD互补互补.(1)请请说明说明 AOD=COD；知知4 4练练感悟新知感悟新知解解：因为：因为BOD和和COD互补，互补，所以所以BODCOD180.因为点因为点O在直线在直线AB上，所以上，所以AOB180.所以所以BODAOD180.所以所以AODCOD.(同角的补角相等同角的补角相等)知知4 4练练感悟新知感悟新知(2)求求 AOD 的度数的度数课堂小结课堂小结角的和与差角的和与差角的和与差角的和与差余角和补角余角和补角两个角两个角性质性质角平分线角平分线
