1、 九年级（上）期末数学试卷九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分，每小题只有一个选项符合题意） 1 （4 分）下列是一元二次方程的是（ ） A2x+10 By 2+x1 Cx 210 D+x 21 2 （4 分）如图所示的组合体，它的主视图是（ ） A B C D 3 （4 分）已知，那么下列式子中一定成立的是（ ） A4m3n B3m4n Cm4n Dmn12 4 （4 分）在正方形网格中，ABC的位置如图所示，则 tanB的值为（ ） A1 B C D 5 （4 分）抛物线y（x2） 21 的顶点坐标是（ ） A （2，1） B （2，1） C
2、 （2，1） D （2，1） 6 （4 分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果随着试验次数的增加， “钉尖 向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ） A0.620 B0.618 C0.610 D1000 7 （4 分）已知点（3，4）在反比例函数y的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上 的是（ ） A （3，4） B （3，4） C （2，6） D （2，6） 8 （4 分）如图，O是ABC的外接圆，BOC120，则BAC的度数是（ ） A120 B80 C60 D30 9 （4 分）在反比例函数y图象上有三个点A（x1，y1） 、
3、B（x2，y2） 、C（x3，y3） ，若x10 x2x3，则下列结论正确的是（ ） Ay3y2y1 By1y3y2 Cy2y3y1 Dy3y1y2 10 （4 分）如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一 点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（4，4） ， （2，1） ，则位似中心的坐标为 （ ） A （0，3） B （0，2.5） C （0，2） D （0，1.5） 11（4 分） 若关于x的一元二次方程kx 26x+90 有两个不相等的实数根， 则 k的取值范围 （ ） Ak1 且k0 Bk0 Ck1 Dk1 12 （4 分）如图
4、，抛物线ya（x1） 2+k（a0）经过点（1，0） ，顶点为 M，过点P（0，a+4） 作x轴的平行线l，l与抛物线及其对称轴分别交于点A、B、H以下结论：当x3.1 时，y0； 存在点P，使APPH；（BPAP）是定值；当a2 时，y|a（x1） 2+k|的图象与直线 l有四个 交点，其中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分：满分分 24 分） 13 （4 分）小明和小红在阳光下行走，小明身高 1.75 米，他的影长 2.0 米，小红比小明矮 7 厘米， 此刻小红的影长是 米 14 （4 分）某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为
5、 8 万元，若设该校 这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程： 15 （4 分）在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通 过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.25 附近，则估计口袋中白球大约有 个 16 （4 分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为 120，AB长为 25cm， 贴纸部分的宽BD为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 （结果保留 ） 17 （4 分）如图，在 RtABC中，ACB90，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E， BC6，sinA，则DE 18 （4 分）如图，在 Rt
6、ABC中，C90，AC2，BC4，ACx轴，A、B两点在反比例函数 y（x0）的图象上，延长CA交y轴于点D，AD1将ABC绕点B顺时针旋转得到EBP，使点 C落在x轴上的点F处，点A的对应点为E，则点E的坐标是 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分 ） 19 （6 分）计算： （3） 0+ 8sin45 20 （6 分）解方程：x 24x50 21 （6 分）某路口设立了交通路况显示牌（如图） 已知立杆AB高度是 3m，从侧面D点测得显示 牌顶端C点和底端B点的仰角分别是 60和 45，求路况显示牌BC的长度 （结果保留根号） 22 （8 分）如图，BE是O的直径，点A和点D是O上
7、的两点，过点A作O的切线交BE延长线 于点C （1）若ADE25，求C的度数； （2）若AC4，CE2，求O半径的长 23 （8 分）小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯） 、B（客厅） 、C（走廊）三 盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况 （1）若小明任意按下一个开关，则下列说法正确的是 A小明打开的一定是楼梯灯 B小明打开的可能是卧室灯 C小明打开的不可能是客厅灯 D小明打开走廊灯的概率是 （2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率 是多少？请用树状图法或列表法加以说明 24 （10 分）如
8、图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩 形菜园ABCD，其中ADMN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏 （1）若a20，所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值 25 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系xOy中，已知ABC，ABC90，顶点A在第一象限，B， C在x轴的正半轴上（C在B的右侧） ，BC2，AB2，ADC与ABC关于AC所在的直线对称 （1）当OB2 时，求点D的坐标； （2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长； （3）如图 2，将（2）中的
9、四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例 函数y（k0）的图象与BA的延长线交于点P问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点 P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说 明理由 26 （12 分）如图，在正方形ABCD中，边长为 4，MDN90，将MDN绕点D旋转，其中DM边 分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P （1）如图 1，点E在线段AB上时，求证：AECF；求证：DP垂直平分EF； （2）当AE1 时，求PQ的长 27 （12 分）
10、如图，已知抛物线yx 2+bx+c 经过ABC的三个顶点，其中点A（0，1） ，点B（ 9，10） ，ACx轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时， 求点P的坐标； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与 ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由 九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分，每小题只有一个选项符合题意） 1 （4 分）下列是一元二次方
11、程的是（ ） A2x+10 By 2+x1 Cx 210 D+x 21 【分析】 根据只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程进行解答 即可 【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误； B、不是一元二次方程，故此选项错误； C、是一元二次方程，故此选项正确； D、不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：C 【点评】 此题主要考查了一元二次方程定义， 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住 5 个方 面： “化简后” ； “一个未知数” ； “未知数的最高次数是 2” ； “二次项的系数不等于 0” ； “整式方程” 2 （4 分）如图所示的组合体，它的主
12、视图是（ ） A B C D 【分析】找到从正面看所得到的图形即可 【解答】解：这个组合体的主视图是 故选：C 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图 3 （4 分）已知，那么下列式子中一定成立的是（ ） A4m3n B3m4n Cm4n Dmn12 【分析】根据比例的性质：分子分母交叉相乘，可得答案 【解答】解：由，得 4m3n A、4m3n，故A正确； B、4m3n，故B错误； C、m，故C错误； D、4m3n，故D错误； 故选：A 【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质：分子分母交叉相乘是解题关键 4 （4 分）在正方形网格中，ABC的位置如图所示，则 t
13、anB的值为（ ） A1 B C D 【分析】根据图形，可以得到 tanB的值，本题得以解决 【解答】解：由图可知， tanB1， 故选：A 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解答本题的关键是明确正切值的定义 5 （4 分）抛物线y（x2） 21 的顶点坐标是（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1） 【分析】二次函数表达式中的顶点式是：ya（xh） 2+k（a0，且 a，h，k是常数） ，它的对称 轴是xh，顶点坐标是（h，k） 【解答】解：抛物线y（x2） 21 的顶点坐标是（2，1） 故选：D 【点评】本题考查了二次函数的性质，要求掌握顶点式中的对称轴及顶点
14、坐标 6 （4 分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果随着试验次数的增加， “钉尖 向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（ ） A0.620 B0.618 C0.610 D1000 【分析】结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概 率附近，解答即可 【解答】解：由图象可知随着实验次数的增加， “钉尖向上”的频率总在 0.618 附近摆动，显示出 一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618 故选：B 【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率大量反复试验下频率稳定值即概率用到的知识 点为：概
15、率所求情况数与总情况数之比 7 （4 分）已知点（3，4）在反比例函数y的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上 的是（ ） A （3，4） B （3，4） C （2，6） D （2，6） 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断 【解答】解：点（3，4）在反比例函数y的图象上， k3（4）12， 而 343（4）2612，2612， 点（2，6）在该反比例函数图象上 故选：C 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k0）的图 象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xyk 8 （4 分）如图，O是ABC的外接圆，BOC120，则B
16、AC的度数是（ ） A120 B80 C60 D30 【分析】由O是ABC的外接圆，BOC120，根据圆周角定理可求得BAC的度数 【解答】解：O是ABC的外接圆，BOC120， BACBOC12060 故选：C 【点评】此题考查了圆周角定理与三角形外接圆的知识此题比较简单，注意掌握数形结合思想的 应用 9 （4 分）在反比例函数y图象上有三个点A（x1，y1） 、B（x2，y2） 、C（x3，y3） ，若x10 x2x3，则下列结论正确的是（ ） Ay3y2y1 By1y3y2 Cy2y3y1 Dy3y1y2 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答 【解答】解：A（x1，y1）在反比例
17、函数y图象上，x10， y10， 对于反比例函数y，在第二象限，y随x的增大而增大， 0 x2x3， y2y30， y2y3y1 故选：C 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增 减性是解题的关键 10 （4 分）如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一 点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（4，4） ， （2，1） ，则位似中心的坐标为 （ ） A （0，3） B （0，2.5） C （0，2） D （0，1.5） 【分析】连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，根据相似三角形的性质求出G
18、P，求出点P的坐标 【解答】解：如图，连接BF交y轴于P， 四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（4，4） ， （2，1） ， 点C的坐标为（0，4） ，点G的坐标为（0，1） ， CG3， BCGF， ， GP1，PC2， 点P的坐标为（0，2） ， 故选：C 【点评】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而 且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似 中心是解题的关键 11（4 分） 若关于x的一元二次方程kx 26x+90 有两个不相等的实数根， 则 k的取值范围 （ ） Ak1
19、且k0 Bk0 Ck1 Dk1 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义，令0 且二次项系数不为 0 即可 【解答】解：关于x的一元二次方程kx 26x+90 有两个不相等的实数根， 0， 即（6） 249k0， 解得，k1， 为一元二次方程， k0， k1 且k0 故选：A 【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，要知道： （1）0方程有两个不相等 的实数根； （2）0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 12 （4 分）如图，抛物线ya（x1） 2+k（a0）经过点（1，0） ，顶点为 M，过点P（0，a+4） 作x轴的平行线l，l与抛物线及其对称轴分别交于点A、B
20、、H以下结论：当x3.1 时，y0； 存在点P，使APPH；（BPAP）是定值；当a2 时，y|a（x1） 2+k|的图象与直线 l有四个 交点，其中正确的是（ ） A B C D 【分析】根据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（3，0） ，且抛物线开口 向上，可对作判断；根据图形中与x轴交点坐标（1，0）和对称轴与x轴交点（1，0）可对作判 断； 根据对称性得：AHBH，根据线段的和与差可对作判断； 根据二次函数图象的性质可对作判断 【解答】解：由题意得：a0，开口向上， 抛物线对称轴是x1，且经过点（1，0） ， 抛物线过x轴另一个点为（3，0） ， 当x3.1 时，y0
21、； 故正确； 当P在O点时，APPH， a0， P不可能与O重合， 故不正确； BPAP（BH+PH）APAH+PHAP2PH2， 故正确； 当a2 时，a+46，P（0，6） ，如图所示， 故正确 所以正确的有：， 故选：C 【点评】本题考查了二次函数的性质、与x轴的交点、关于x轴对称的点的特点，利用数形结合的 思想解决问题是关键，并熟练掌握二次函数的性质 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分：满分分 24 分） 13 （4 分）小明和小红在阳光下行走，小明身高 1.75 米，他的影长 2.0 米，小红比小明矮 7 厘米， 此刻小红的影长是 1.92 米 【分析】在同一时刻物高和影长成正
22、比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光 线三者构成的两个直角三角形相似 【解答】解：根据题意知，小红的身高为 1757168（厘米） ， 设小红的影长为x厘米 则， 解得：x192， 小红的影长为 1.92 米， 故答案为：1.92 【点评】此题主要考查了平行投影，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比， 列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想 14 （4 分）某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元，若设该校 这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程： 2（1+x）+2（1+x） 28 【分析】关键描述语是：
23、“预计今明两年的投资总额为 8 万元” ，等量关系为：今年的投资的总额+ 明年的投资总额8，把相关数值代入即可 【解答】 解： 去年对实验器材的投资为 2 万元， 该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x， 今年的投资总额为 2（1+x） ；明年的投资总额为 2（1+x） 2； 预计今明两年的投资总额为 8 万元， 2（1+x）+2（1+x） 28 【点评】 解决本题的关键是找到相关量的等量关系， 注意预计明年的投资总额是在今年的投资总额 的基础上增加的 15 （4 分）在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通 过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在
24、 0.25 附近，则估计口袋中白球大约有 15 个 【分析】由摸到红球的频率稳定在 0.25 附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即 可 【解答】解：设白球个数为：x个， 摸到红色球的频率稳定在 0.25 左右， 口袋中得到红色球的概率为 0.25， ， 解得：x15， 即白球的个数为 15 个， 故答案为：15 【点评】 此题主要考查了利用频率估计概率， 根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关 键 16 （4 分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为 120，AB长为 25cm， 贴纸部分的宽BD为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 350cm
25、 2 （结果保留 ） 【分析】求出AD，先分别求出两个扇形的面积，再求出答案即可 【解答】解：AB长为 25cm，贴纸部分的宽BD为 15cm， AD10cm， 贴纸的面积为S2（S扇形ABCS扇形ADE）350（cm 2） ， 故答案为：350cm 2 【点评】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键 17 （4 分）如图，在 RtABC中，ACB90，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E， BC6，sinA，则DE 【分析】在 RtABC中，先求出AB，AC继而得出AD，再由ADEACB，利用对应边成比例可求 出DE 【解答】解：BC6，sinA， AB10，
26、 AC8， D是AB的中点， ADAB5， ADEACB， ，即， 解得：DE 故答案为： 【点评】 本题考查了解直角三角形的知识， 解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾股定理 的表达式 18 （4 分）如图，在 RtABC中，C90，AC2，BC4，ACx轴，A、B两点在反比例函数 y（x0）的图象上，延长CA交y轴于点D，AD1将ABC绕点B顺时针旋转得到EBP，使点 C落在x轴上的点F处，点A的对应点为E，则点E的坐标是 （4+2，） 【分析】作BMx轴于M，ENx轴于N，如图，根据旋转的性质得BFBC4，EFAC2，BFE BCA90，CBF等于旋转角，再计算出BMCMBC2，则
27、在 RtBMF中，利用三角函数可求出 MBF60，MFBM2，于是得到旋转角为 120，然后证明 RtBMFRtFNE，利用相似比 求出FN和EN，从而可得到E点坐标 【解答】解：作BMx轴于M，ENx轴于N，如图， ABC绕点B顺时针旋转得到EBF， BFBC4，EFAC2，BFEBCA90，CBF等于旋转角， BCx轴，A（1，6） ， BMCMBC642， 在 RtBMF中，cosMBF， MBF60，MFBM2， CBF180MBF120， 旋转角为 120； BFM+MBF90，BFM+EFN90， MBFEFN， RtBMFRtFNE， ，即， FN1，EN， ONOM+MF+FN
28、3+2+14+2， E点坐标为（4+2，） ， 故答案为： （4+2，） 【点评】考查了旋转的性质解决本题的关键是作BMx轴于M，ENx轴于N，构建 RtBMFRt FNE 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分 ） 19 （6 分）计算： （3） 0+ 8sin45 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式1+28 1+24 12 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20 （6 分）解方程：x 24x50 【分析】因式分解法求解可得 【解答】解： （x+1） （x5）0， 则x+10 或x50， x1 或x5 【点评】
29、本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开 平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 21 （6 分）某路口设立了交通路况显示牌（如图） 已知立杆AB高度是 3m，从侧面D点测得显示 牌顶端C点和底端B点的仰角分别是 60和 45，求路况显示牌BC的长度 （结果保留根号） 【分析】在 RtABD中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在 RtABC 中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长；进而由BCACAB得解 【解答】解：在 RtADB中，BDA45，AB3m， DA3m， 在 Rt
30、ADC中，CDA60， tan60， CAm BCCABA（33）米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与 已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另 当问题以一个实际问题的形式给出时， 要善于读懂题意， 把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题 加以解决 22 （8 分）如图，BE是O的直径，点A和点D是O上的两点，过点A作O的切线交BE延长线 于点C （1）若ADE25，求C的度数； （2）若AC4，CE2，求O半径的长 【分析】 （1）连接OA，根据圆周角定理求出AOC，根据切线的性质求出OA
31、C，根据三角形内角 和定理求出即可； （2）设OAOEr，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可 【解答】解： （1）连接OA， ADE25， 由圆周角定理得：AOC2ADE50， AC切O于A， OAC90， C180AOCOAC180509040； （2）设OAOEr， 在 RtOAC中，由勾股定理得：OA 2+AC2OC2， 即r 2+42（r+2）2， 解得：r3， 答：O半径的长是 3 【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质和勾股定理等知识点，能求出OAC和AOC的度数 是解此题的关键 23 （8 分）小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯） 、B（客厅） 、C（走廊
32、）三 盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况 （1）若小明任意按下一个开关，则下列说法正确的是 D A小明打开的一定是楼梯灯 B小明打开的可能是卧室灯 C小明打开的不可能是客厅灯 D小明打开走廊灯的概率是 （2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率 是多少？请用树状图法或列表法加以说明 【分析】 （1）由小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯） 、B（客厅） 、C（走廊） 三盏电灯，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯
33、同时 亮的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯） 、B（客厅） 、C（走 廊）三盏电灯， 小明任意按下一个开关，打开走廊灯的概率是， 故选：D （2）画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有 2 种情况， 正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情 况数之比熟记求随机事件的概率公式是解题的关键 24 （10 分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩 形菜园ABCD，其中ADMN，已知
34、矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏 （1）若a20，所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米，求所利用旧墙AD的长； （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值 【分析】 （1）设ABxm，则BC（1002x）m，利用矩形的面积公式得到x（1002x）450， 解方程得x15，x245，然后计算 1002x后与 20 进行大小比较即可得到AD的长； （2）设ADxm，利用矩形面积得到Sx（100 x） ，配方得到S（x50） 2+1250，讨论： 当a50 时，根据二次函数的性质得S的最大值为 1250m 2；当 0a50 时，则当 0 xa 时，根据二 次函数的性质得S的最大值为
35、50aa 2 【解答】解： （1）设ABxm，则BC（1002x）m， 根据题意得x（1002x）450，解得x15，x245， 当x5 时，1002x9020，不合题意舍去； 当x45 时，1002x10， 答：AD的长为 10m； （2）设ADxm， Sx（100 x）（x50） 2+1250， 当a50 时，则x50 时，S的最大值为 1250； 当 0a50 时，则当 0 xa时，S随x的增大而增大，当xa时，S的最大值为 50aa 2， 综上所述，当a50 时，S的最大值为 1250m 2；当 0a50 时，S 的最大值为（50aa 2）m2 【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类
36、题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式， 然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一 定要注意自变量x的取值范围 25 （10 分）如图 1，在平面直角坐标系xOy中，已知ABC，ABC90，顶点A在第一象限，B， C在x轴的正半轴上（C在B的右侧） ，BC2，AB2，ADC与ABC关于AC所在的直线对称 （1）当OB2 时，求点D的坐标； （2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长； （3）如图 2，将（2）中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例 函数y（k0）的图象与BA的延长线交
37、于点P问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点 P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说 明理由 【分析】 （1）如图 1 中，作DEx轴于E，解直角三角形清楚DE，CE即可解决问题； （2）设OBa，则点A的坐标（a，2） ，由题意CE1DE，可得D（3+a，） ，点A、D 在同一反比例函数图象上，可得 2a（3+a） ，清楚a即可； （3）分两种情形：如图 2 中，当点A1在线段CD的延长线上，且PA1AD时，PA1D90 如图 3 中，当PDA190时分别求解； 【解答】解： （1）如图 1 中，作DEx轴于E ABC90， ta
38、nACB， ACB60， 根据对称性可知：DCBC2，ACDACB60， DCE60， CDE906030， CE1，DE， OEOB+BC+CE5， 点D坐标为（5，） （2）设OBa，则点A的坐标（a，2） ， 由题意CE1DE，可得D（3+a，） ， 点A、D在同一反比例函数图象上， 2a（3+a） ， a3， OB3 （3）存在理由如下： 如图 2 中，当点A1在线段CD的延长线上，且PA1AD时，PA1D90 在 RtADA1中，DAA130，AD2， AA14， 在 RtAPA1中，APA160， PA， PB， 由（2）可知P（3，） ， k10 如图 3 中，当PDA190时作
39、DMAB于M，A1NMD交MD的延长线于N PAKKDA190，AKPDKA1， AKPDKA1， ，AKDPKA1， KADKPA1， KPA1KAD30 PDA1D， 四边形AMNA1是矩形， AN1AM， PDMDA1N， PMDN，设DNm，则PMm， P（3，+m） ，D1（9+m，） ， P，D1在同一反比例函数图象上， 3（+m）（9+m） ， 解得m3， P（3，4） ， k12 【点评】本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三角形、 待定系数法等知识， 解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题， 学会了可以参数构建方程解决问题， 属于中考压轴题
40、 26 （12 分）如图，在正方形ABCD中，边长为 4，MDN90，将MDN绕点D旋转，其中DM边 分别与射线BA、直线AC交于E、Q两点，DN边与射线BC交于点F；连接EF，且EF与直线AC交于点P （1）如图 1，点E在线段AB上时，求证：AECF；求证：DP垂直平分EF； （2）当AE1 时，求PQ的长 【分析】 （1）只要证明ADECDE（ASA）即可解决问题； 利用相似三角形的性质证明PDQ45即可解决问题； （2）当点E在线段AB上时，作QHAD于H，QGAB于G由AQDEQP，可知AQPQDQ EQ，想办法求出AQ，EQ，DQ即可解决问题；当点E在BA的延长线上时，作QHAD于
41、H，QGAB于 G，方法类似 【解答】 （1）证明：四边形ABCD是正方形， DADC，ADCDAEDCF90， ADCMDN90， ADECDF， ADECDE（ASA） ， AECF ADECDE（ASA） ， DEDF，MDN90， DEF45， DAC45， DAQPEQ，AQDEQP， AQDEQP， ， ，AQEPQD， AQEDQP， QDPQAE45， DPE90， DPEF，DEDF， PEPF， DP垂直平分线段EF （2）解：当点E在线段AB上时，作QHAD于H，QGAB于G 在 RtADE中，DE， QAHQAG45， HOQEAHEQ，设QHx， 4x+1x14， x
42、， AQ，DQ，EQ， AQDEQP， AQPQDQEQ， PQ 当点E在BA的延长线上时，作QHAD于H，QGAB于G 在 RtADE中，DE， QAHQAG45， HOQEAHEQ，设QHx， 4x1x14， x， AQ，DQ，EQ， AQDEQP， AQPQDQEQ， PQ 综上所述，PQ的长为或 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理 等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考常考题型 27 （12 分）如图，已知抛物线yx 2+bx+c 经过ABC的三个顶点，其中点A（0，1） ，点B（ 9，10） ，ACx轴
43、，点P是直线AC下方抛物线上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时， 求点P的坐标； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与 ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点P（m，m 2+2m+1） ，表示出 PEm 23m，再用 S四边形AECPSAEC+SAPCACPE，建 立函数关系式，求出极值即可； （3）先判断出PFCF，再得到PCAEAC，以C、P、Q为顶点的三角形与AB
44、C相似，分两种 情况计算即可 【解答】解： （1）点A（0，1） B（9，10）在抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为yx 2+2x+1， （2）ACx轴，A（0，1） x 2+2x+11， x16，x20， 点C的坐标（6，1） ， 点A（0，1） B（9，10） ， 直线AB的解析式为yx+1， 设点P（m，m 2+2m+1） E（m，m+1） PEm+1（m 2+2m+1） m 23m， ACEP，AC6， S四边形AECP SAEC+SAPC ACEF+ACPF AC（EF+PF） ACPE 6（m 23m） m 29m （m+） 2+ ， 6m0 当m时，四边形AECP的面积的最大值是， 此时点P（，） ； （3）yx 2+2x+1 （x+3） 22， P（3，2） ， PFyFyP3，CFxFxC3， PFCF， PCF45 同理可得：EAF45， PCFEAF， 在直线AC上存在满足条件的Q， 设Q（t，1）且AB9，AC6，CP3 以C、P、Q为顶点的三角形与ABC相似， 当CPQABC时， ， ， t4 或t8（不符合题意，舍） Q（4，1） 当CQPABC时， ， ， t3 或t15（不符合题意，舍） Q（3，1） 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求 法（用割补法） ，解本题的关键是求函数解析式
