1、：线性空间的定义线性空间的定义 定义 1.1设V 是一个非空集合，F 是一个数域。在V上定义了一种代数运算，称为加法加法，记为“+”；定义了F 与V 到V 的一种代数运算，称为数量乘法数量乘法（简称数乘），记为“”。如果加法与数量乘法满足如下规则：;0),(0)3(都有一元素中任对于称为零元素中有一个元素在VV;),(0,)4(记为的负元素称为使得中的元素都有中每一个元素对于VV;1)5(;)()()6(kmmk；)1();()()2(;)()7(mkmk,)()8(kkk10niiixa )1(,21rrrkkk,2102211rrkkkr,21r,21r,21,21rr,2110niiix
2、a10niiixa：5413)F(Vnn1iiix)F(Vn :：3120A22111A11013A37342A41,.,n21nnn21n21C).().(,.,21n,.,n21Xn),.,(21nnnnC),.,(),.,(2121Yn),.,(21 123,.,21n00120110130030002137 。m1iiiiFkk、：)F(VWWWWWWn212121：dim（W1W2）=dimW1dimW2 dim（W1 W2）=0 W1 W2=0：定义定义16：dim（W1 W2）=0，则和为直和，则和为直和 W=W 1W2=W1 W2，：P12 例例 18 设在设在Rnn中，子空间
3、中，子空间 W 1=A AT=A ，W2=B BT=B，证明证明Rnn=W1 W2。子空间子空间W的的“直和补子空间直和补子空间”;),(),()1();,(),(),()2();,(),()3(kk,0),0,0),()4(时（当且仅当 );,(),(),()1();,(),()2(kk.0),0()0,()3(nRnC10dx)x(g)x(f。是一个单位向量。则如果,0;00,0)1(时当且仅当;|,)2(kkFk有对任意),()(2|,)3(2222有对任意V|,)4(有对任意V),(2),(),(),(),(.为非负实数，且，或kkk),(),(),(),(),(2ttttt),(),
4、(),(),(),(),(),(22），（），（），（），（），（），（），（上式|),(,)5(有对任意V 不等式(*)有十分重要的应用。例如它在欧氏空间 中的形式为211221121)()(|njjniiniiiyxyxCauchy不等式不等式1iy.)(1221niiniixnxnR).,(),(),()3(ddd;0),(,0),()1(条件是的充分必要并且dd);,(),()2(dd是由并称),(d ),(d.222,),(arccos,0 n,21V,11nnxxnnyy11jijninjijnjjiniiyxyx),(),(),(1111njiajiji,1,),(,212222
5、111211nnnnnnaaaaaaaaaA,21nxxxxnyyyy21),2,1,(njiaajiijn,21 21222112112122212122121111,)(),(),(),(),(),(xxyyyyxyyxAxyH),(,2211xx2211yy;)()1(THAA;)()2(HHHBABAn,21THAA)(nmCAA;)()3(HHAkkA;)()4(HHHABAB;)()5(AAHH.)()(,)6(11HHAAA则可逆如果 nnCAAAHAAH w ji0ji1F n(i)集合的集合的U的正交集：的正交集：w U=VnF：U，=0(ii)U是是VnF 的子空间的子空间 U 是是VnF 子空间子空间(iii)VnF=U U 。U的正交补子空间的正交补子空间从一般性的角度给出的定义从一般性的角度给出的定义 （i）m1im1iiiii)(TkkTdxdD 32x3x2x210)x(p 两组基：两组基：1，2，,n，1，2，,n，（1 2 n）=（1 2 n）C T（1 2 n）=（1 2 n）A T（1 2 n）=（1 2 n）B B=C1AC123 3 21AAk21AAA矩阵矩阵Ai 的阶数的阶数=dim UicossinsincosA 1，2，,n 1，2，,是空间是空间 1，2，,n 1，2，,nmFA,)F(Vnnn2121,)(2121mmmFV
