1、 山东省 2020 年普通高中学业水平等级考试全真模拟冲刺 数学试题数学试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1.已知集合 2 |2AxxZ， |21 x Bx，则AB （ ） A. 1 B. 1,2 C. 0,1 D. 1,0,1 【答案】A 【分析】计算1,0,1A ，0Bx x，再计算交集得到答案. 【详解】 2 |21,0,1Axx Z， 2 10 x Bxx x，故1AB.故选：A. 【点睛】本题考查了交集运算
2、，属于简单题. 2.已知复数 1 z， 2 z在复平面内对应的点分别为1, 1，0,1，则 1 2 z z 的共轭复数为（ ） A. 1 i B. 1i C. 1i D. 1i 【答案】B 【分析】根据题意 1 1zi ， 2 zi， 1 2 1 z zi z ，再计算共轭复数得到答案. 【详解】复数 1 z， 2 z在复平面内对应点分别为1, 1，0,1，故 1 1zi ， 2 zi， 1 2 2 11 1 iizi zi zii ，故 1zi .故选：B. 【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数对应的点，意在考查学生对于复数知识的综合应用. 3.若aR，则“ 1a ”是“ 3 1a
3、”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】依次判断充分性和必要性，取2a 得到不充分，得到答案. 【详解】当1a 时，取2a ，则 3 81a ，故不充分； 当 3 1a 时，根据幂函数 3 yx的单调性得到1a ，故1a ，必要性成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力. 4.已知向量 , ,a b c ，其中a 与b 是相反向量，且a cb ， 3, 3a c ，则a b （ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 【答案】D 【分析】设,ax y r ，则,bxy ，计算
4、得到1x ，1y ，再计算数量积得到答案. 【详解】设,ax y r ，则,bxy ，a cb+= rrr ，故2 , 2cxy ， 3 ,33, 3acxy ，故1x ， 1y ， 1, 11,12a b . 故选：D. 【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力. 5.已知lnx， 5 log 2y ， 0.5 ze ，则（ ） A. x yz B. x zy C. z yx D. z xy 【答案】B 【分析】计算得到ln1x， 5 1 log 2 2 y ， 0.5 2 1 1 ze，得到答案. 【详解】lnln1xe， 55 1 log 2log5 2 y ，又
5、2ln2ln4ln1e， 所以 1 ln2 2 ， ln20.50 1 2 1ezee ，故x zy .故选：B. 【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的单调性比较函数值大小，意在考查学生的计算能力和应用 能力. 6.已知函数 2 1 21 2 f xxx，1,4x，当xa时， f x取得最大值b，则函数 x b g xa 的大 致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】计算4a，1b， 1 1 1 4,1 4 4,1 x x x x g x x ，对比图像得到答案. 【详解】 2 2 11 2121 22 fxxxx ，故4a，1b. 1 1 1 4,1 4 4,1 x
6、 x bx x x g xa x ，对比图像知C满足条件.故选：C. 【点睛】本题考查了二次函数的最值，指数型函数图像，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中商功有如下问题：“今有委粟平地，下周一 十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为 12丈，高为 1 丈， 问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为 3，一斛粟的体积约为 2700 立 方寸 （单位换算： 1 立方丈 6 10立方寸） ， 一斛粟米卖 270钱， 一两银子 1000钱， 则主人卖后可得银子 （ ） A. 200两
7、 B. 240两 C. 360两 D. 400两 【答案】D 【分析】计算底面半径为 12 2 23 r ， 2 1 3 214 3 V ，换算单位得到答案. 【详解】底面半径 12 2 23 r ， 2 1 3 214 3 V 立方丈 6 4 10立方寸 40000 27 斛， 故 40000 270 1000400 27 两. 故选：D. 【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8.点M为抛物线 2 1 4 yx上任意一点，点N为圆 22 3 20 4 xyy上任意一点，若函数 log221 a f xxa的图象恒过定点P，则MPMN的最小值为（ ） A.
8、5 2 B. 11 4 C. 3 D. 13 4 【答案】A 【分析】计算1,2P ，则 11 22 MPMNMPMFPD，计算得到答案. 【详解】函数 log221 a f xxa的图象恒过定点1,2，故1,2P . 2 1 4 yx，即 2 4xy，焦点为0,1F，准线为 1y ， 22 3 20 4 xyy，即 2 2 1 1 4 xy. 1115 3 2222 MPMNMPMFPD，当PMD共线时等号成立. 故选：A. 【点睛】本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题
9、5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多分在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.下列结论正确的是（ ） A. 若tan2，则 3 cos2 5 B. 若sin cos1，则 22 1 sincos 2 C. “ 0 xZ， 0 sin x Z”的否定是“x Z，sinxZ” D. 将函数cos2yx 图象向左平移 4 个单位长度，所得图象关于原点对称 【答案】BC 【分析】根据齐次式计算 3 cos2 5 ，A错误， 2 22 111 sincos
10、2 sin 222 ，B正确，特 称命题的否定是全称命题，C正确，平移后得到偶函数，D错误，得到答案. 【详解】tan2，则 222 222 cossin1 tan3 cos2 cossin1 tan5 ，故A错误； sincos1，则 2 2 222 111 sincossin1 sin2 sin 222 ，B正确； 根据特称命题的否定是全称命题：“ 0 xZ， 0 sinxZ”的否定是“xZ ，sinxZ”，故C正确； 将函数cos2yx 的图象向左平移 4 个单位长度，得到cos 2sin2 2 yxx 为偶函数，故D错误. 故选：BC. 【点睛】本题考查了齐次式求值，函数取值范围，命题
11、的否定，函数平移和奇偶性，意在考查学生的综合 应用能力. 10.某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中 2019年的录取人数被遮挡了他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说 法正确的是（ ） A. 全国高考报名人数逐年增加 B. 2018年全国高考录取率最高 C. 2019年高考录取人数约820万 D. 2019年山东高考报名人数在全国的占比最小 【答案】BCD 【分析】根据图表 2016年的人数少于 2015年人数，故A错误，2018年的录取率为81.1%，为最高，B正 确，2019年高考录取人数为820，故C正确，
12、计算占比得到D正确，得到答案. 【详解】2016年的人数少于 2015年人数，故A错误； 2018年的录取率为81.1%，为最高，B正确； 2019年高考录取人数为1031 79.5%820，故C正确； 从 20102019 年山东高考报名人数在全国的占比分别为： 6.9%,6.3%,5.6%,5.5%,5.9%,7.4%,6.4%,6.2%,6.1%,5.4%，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了折线图和散点图，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 2 3b ，3c ，3AC，则下列结论 正确的是（ ） A. 3 cos 3
13、C B. 2 sin 3 B C. 3a D. 2 ABC S 【答案】AD 【分析】根据正弦定理得到 3 cos 3 C ， 2 2 sinsin2 3 BC ，根据余弦定理得到1a ，2 ABC S， 得到答案. 【详解】3AC，故2BC，根据正弦定理： sinsin bc BC ，即2 3sin 3 2sincosCCC ， sin0C ，故 3 cos 3 C ， 6 sin 3 C ， 2 2 sinsin22sincos 3 BCCC . 222 2coscababC，化简得到 2 430aa，解得3a 或 1a ， 若3a ，故 4 AC ，故 2 B ，不满足，故1a . 11
14、6 sin1 2 32 223 ABC SabC . 故选：AD. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和应用能力. 12.如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将 ADE沿AE翻折成SAE，在翻折过 程中，下列说法正确的是（ ） A. 存在点E和某一翻折位置，使得SBSE B. 存在点E和某一翻折位置，使得/ /AE 平面SBC C. 存在点E和某一翻折位置，使得直线SB与平面ABC所成的角为 45 D. 存在点E和某一翻折位置，使得二面角SAB C 的大小为 60 【答案】ACD 【分析】依次判断每个选项：当SECE时，SESB，A正确，/
15、 /AE平面SBC，则/AE CB，这与 已知矛盾，故B错误，取二面角DAEB的平面角为，取4AD，计算得到 2 cos 3 ，C正确， 取二面角DAEB的平面角为60，计算得到 5 tan 5 ，故D正确，得到答案. 【详解】当SECE时，SEAB，SESA，故SE 平面SAB，故SESB，A正确； 若/ /AE平面SBC，因AE 平面ABC，平面ABC平面SBCBC，则/AE CB， 这与已知矛盾，故B错误； 如图所示：DFAE交BC于F，交AE于G，S在平面ABCE的投影O在GF上， 连接BO，故SBO为直线SB与平面ABC所成的角， 取二面角DAEB的平面角为，取4AD，3DE ，故5
16、AEDF， 1CEBF， 12 5 DG ， 12 cos 5 OG，故只需满足 12 sin 5 SOOB， 在OFB中，根据余弦定理： 22 2 1213121312 sin1cos2coscos 55555 OFB ，解得 2 cos 3 ，故C正确； 过O作OMAB交AB于M，则SMO为二面角SAB C的平面角， 取二面角DAEB的平面角为60，故只需满足22DGGOOM， 设OAGOAM， 84 ，则2 2 DAG ， tan tan2 2 DGOG AG ，化简得到2tan tan21，解得 5 tan 5 ，验证满足，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题考查了线线垂直，线面平
17、行，线面夹角，二面角，意在考查学生计算能力，推断能力和空 间想象能力. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三 人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_. 【答案】 1 9 【分析】根据三人均等可能的前往三个城市之一，可得共有 3 327种选择情况，他们选择同一城市有3种 情况，即可求得答案. 【详解】三人均等可能的前往三个城市之一 共有 3 327种选择情况， 他们选择同一城市有3种情况，概率为 31 279 .
18、故答案为： 1 9 . 【点睛】本题主要考查了求事件概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力， 属于基础题. 14.若 2 1 3 n x x 展开式中的各项系数的和为 1024，则常数项为_ 【答案】405 【分析】根据系数和得到5n，再根据二项式定理计算得到答案. 【详解】 2 1 3 n x x 展开式中的各项系数的和为41024 n ，故5n， 故 5 2 1 3 x x 的展开式的通项为： 5 5 5 5 22 155 2 1 33 r r r rrr r TCxCx x ， 取1r 得到常数项为 14 5 3405C .故答案为：405. 【点睛】本题考查了二
19、项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15.已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线方程为2yx，左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点A 在双曲线上，且 212 AFFF，则该双曲线的离心率为_， 12 sinAFF_ 【答案】 (1). 3 (2). 1 2 【分析】 根据渐近线得到3ca，得到离心率，不妨取 2 , b A c a ，计算得到答案. 【详解】一条渐近线方程为2yx，故 2ba ，3ca，故 3e . 212 AFFF，不妨取 2 , b A c a ，故 2 2 12 2 1 21 sin 42 2 b AFa a AFF bAFa a a
20、 故答案为：3； 1 2 . 【点睛】本题考查了双曲线渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 16.已知函数 32 2 32,0 ,0 x xxx f x x ex ，若方程 0f xa有两个不相等的实根，则实数a取值范围 是_ 【答案】 | 62aa ，或 2 4ae 【分析】分段求导得到函数单调区间，画出函数图像， 0f xa，即 f xa，根据图像得到答案. 【详解】当0 x时， 32 32f xxx，故 2 3632fxxxx x，故函数在0,2上单调 递增，在2,上单调递减， 02f， 26f； 当0 x时， 2x f xx e ，故 2 x fxxex，故函数在, 2
21、上单调递减，在2,0上单调 递增， 2 24fe，画出函数图像，如图所示： 0f xa，即 f xa，根据图像知：26a 或 2 4ae ， 解得62a 或 2 4ae. 故答案为： | 62aa ，或 2 4ae. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，求出单调区间得到函数图像是解题的关键. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.记 n S为数列 n a的前n项和，已知0 n a ， 2 234 nnn aaS （1）求数列 n a的通项公式； （2）若1 n n a b ，求满足
22、1 22 31 1 7 nn bbb bb b 的正整数n的最大值 【答案】 （1）21 n an ； （2）8 【分析】 （1）根据公式 1nnn aSS 得到 1 2 nn aa 得到通项公式. （2） 1 21 n b n ，故 1 22 31 1 11 2 323 nn bbb bb b n ，解得答案. 【详解】 （1）当1n ， 2 111 234aaa， 2 11 230aa，又0 n a ， 1 3a 当2n时， 2 234 nnn aaS， 2 111 234 nnn aaS ， 整理得， 1 2 nn aa ，3 21 n an ，21 n an （2）因为1 n n a
23、b ，所以 1 21 n b n ， 所以 1 1111 21 232 2123 nn b b nnnn ， 故 1 22 31 1 1111111 11 2 355721232 323 nn bbb bb b nnn ， 令 1 111 2 3237n ，解得9n，所以n的最大值为 8 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 18.已知函数 sin0,0 2 f xxm 满足下列 4个条件中的 3 个，4个条件依次是： 3 2 ，周期T，过点0,0， 3 32 f （1）写出所满足的 3个条件的序号（不需要说明理由） ，并求 f x的解析式； （
24、2）求函数 f x的图象与直线1y 相邻两个交点间的最短距离 【答案】 （1）； 1 sin 2 62 f xx ； （2） 3 【分析】 （1） 所满足的三个条件是： ， 计算得到2，sin0m， 23 sin 32 m ， 解得 6 ， 1 2 m ，得到解析式. （2）根据题意 1 sin 2 62 x ，故 6 xk ，或 2 xk ，kZ，得到答案. 【详解】 （1）所满足的三个条件是：， f x的周期T，2， sin 2f xxm， 又过点0,0，且 3 32 f ，sin0m， 23 sin 32 m ， 23 sinsin 32 ， 313 cossinsin 222 ， 13
25、3 3cossin 222 ， 3 sin 62 ，又0 2 ， 6 ， 又sin0m， 1 0 2 m， 1 2 m， 1 sin 2 62 f xx （2）由 1 sin 21 62 f xx ，得 1 sin 2 62 x ， 22 66 xk ，或 5 22 66 xk ，kZ， 6 xk ，或 2 xk ，kZ， 所以函数 f x的图象与直线1y 相邻两个交点间的最短距离为 263 【点睛】本题考查了三角函数解析式，图像中的最短距离，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.如图， 斜三棱柱 111 ABCABC中，ABC是边长为 2 的正三角形，O为BC的中点， 1 AO 平面AB
26、C， 点M在AO上，2AMMO，N为 1 OC与 1 BC的交点，且 1 BB与平面ABC所成的角为 4 （1）求证：/MN平面 11 ACC A； （2）求二面角 11 AOCB的正弦值 【答案】 （1）详见解析； （2） 14 4 【分析】 （1）连结 1 AC，证明相似得到 1 /MN AC，得到证明. （2）以OC，OA， 1 OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面 11 AOC的法 向量为 1 3,1,0n ，平面 1 BOC的法向量为 2= 0,1,1 n，计算夹角得到答案. 【详解】 （1）连结 1 AC， O为BC的中点， 11 /OC BC， 111
27、 1 2 ONOC NCBC ， 又2AMMO， 1 1 2 OMON AMNC ， 1 /MN AC 又MN 平面 11 ACC A， 1 AC 平面 11 ACC A，所以/MN平面 11 ACC A （2）因为ABC是边长为 2的正三角形，O为BC的中点， 1 AO 平面ABC， 所以，AO，BC， 1 AO两两垂直，以OC，OA， 1 OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间 直角坐标系 1 BB与平面ABC所成的角为 4 ，又 1 AA 1 BB， 1 AA与平面ABC所成的角为 4 ， 又 1 AO 平面ABC， 1 AA与平面ABC所成的角为 1 A AO，即 1 4 A
28、 AO 又ABC是边长为 2的正三角形，O为BC的中点， 1 3AOAO， 由题意知， 1 0,03A，1,0,0B ， 1 1,3, 3C， 所以， 1 0,0, 3OA ，1,0,0OB ， 1 1,3, 3OC ， 设平面 11 AOC的法向量为 1111 ,nx y z， 所以， 11 11 0 0 n OA n OC ，即 1 111 30 330 z xyz ，取 1 3,1,0n ， 设平面 1 BOC的法向量为 2222 ,nxy z， 由 2 21 0 0 nOB nOC ，得 2 222 0 330 x xyz ，取 2= 0,1,1 n， 所以 12 12 12 12 c
29、os, 42 2 n n n n n n ， 设二面角 11 AOCB的大小为， 2 2 12 214 sin1 cos,1 44 n n 所以二面角 11 AOCB的正弦值为 14 4 【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20.动点P在椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 上，过点P作x轴的垂线，垂足为A，点B满足 3ABAP ， 已知点B的轨迹是过点0,3Q的圆 （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与椭圆C交于M，N两点（M，N在x轴的同侧） ， 1 F， 2 F为椭圆的左、右焦点，若 12 / /FMF N，求四边形 12 FF NM面积
30、的最大值 【答案】 （1） 2 2 1 9 x y； （2）3 【分析】 （1）设点,B x y， 00 ,P x y，得到 0 0 3 xx y y ，点B的轨迹是过0,3Q的圆，故 2 2 9 1 a b ，得到椭圆方 程. （2） 如图， 延长 1 MF交C于点 M ， 由对称性可知： 12 FMNF ， 设 11 ,M x y， 22 ,Mx y， 直线 1 MF 的方程为2 2xmy， 联立方程得到 12 2 4 2 9 m yy m ， 12 2 1 9 y y m ， 计算 2 2 12 2 8 1 1 S m m ， 利用均值不等式得到答案. 【详解】 （1）设点,B x y，
31、 00 ,P x y，则点 0,0 A x， 0, ABxxy， 0 0,APy， 3ABAP ， 0 0 0 3 xx yy ， 0 0 3 xx y y ， 点 00 ,P x y在椭圆C上， 22 22 1 9 xy ab ，即为点B的轨迹方程 又点B的轨迹是过0,3Q的圆， 22 2 9 9 1 9 ab b ，解得 2 2 9 1 a b ， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 9 x y （2）如图，延长 1 MF交C于点 M ，由对称性可知： 12 FMNF ， 由（1）可知 1 2 2,0F ， 2 2 2,0F， 设 11 ,M x y， 22 ,Mx y，直线 1 MF的方程为
32、 2 2xmy， 由 2 2 2 2 1 9 xmy x y 可得 22 94 210mymy ， 22 32490mm ， 12 2 4 2 9 m yy m ， 12 2 1 9 y y m ， 22 2 1212122 22 2 32461 4 99 9 mm yyyyy y mm m ， 设 1 FM与 2 F N的距离为d，则四边形 12 FF NM面积 12 1 2 SFMF N d 2 11 11 22 MF M FMFMdMM dS ， 而 22121 1212 1 2 MF MF MFF M F SSSFFyy ， 22 22 2 2 16112 2112 212 2 4 2
33、3 8 2994 2 1 1 mm S mm m m ， 当且仅当 2 2 8 1 1 m m ，即7m 时，取等号 故四边形 12 FF NM面积的最大值为 3 【点睛】本题考查了椭圆方程，四边形面积的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力. 21.2020年新冠肺炎疫情暴发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措，坚决遏制疫情 蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情做岀了贡献为普及防治新冠肺炎的相 关知识，某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从大批参与者中随机抽取 200名幸运者， 他们的得分（满分 100分）数据统计结果如图：
34、（1）若此次知识竞答得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这 200名幸运者得 分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替） ，求，的值（，的值四舍五入取整数） ， 并计算3779PX； （2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案： 得分低于的获得 1次抽奖机会，得分不低于的获得 2 次抽奖机会假定每次抽奖中，抽到 18元红包的 概率为 2 3 ，抽到 36 元红包的概率为 1 3 已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记Y为该同学在抽奖中获 得红包的总金额，求Y的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额
35、参考数据：0.6827PX；220.9545PX； 330.9973PX 【答案】 （1）65，14；37790.8186PX； （2）分布列详见解析，数学期望为 36；总金 额为 7200 元 【分析】 （1）计算65，14，故X服从正态分布 2 65,14N，计算得到答案. （2）Y的取值为 18，36，54，72，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】 （1）2035 0.545 3 55 465 5 75 4.5 85 2 95 1 1300E X ， 65E X即 65 2222 35650.02545650.1555650.265650.25D X 222 7565
36、0.22585650.195650.05210 由 2 196225，则1415，而 2 14.5210.25210，故14， 则X服从正态分布 2 65,14N， 22 37792 2 PXPX PXPX 0.95450.6827 0.8186 2 （2）Y的取值为 18，36，54，72 由题意知， 1 2 P XP X， 121 18 233 P Y ， 111227 36 2323318 P Y ， 1211122 54 2332339 P Y ， 1111 72 23318 P Y ， 所以Y的分布列为 Y 18 36 54 72 P 1 3 7 18 2 9 1 18 1721 1
37、836547236 318918 E Y ， 估算所需要抽奖红包的总金额为：200 367200（元） 【点睛】本题考查了正态分布，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22.已知函数( ) lnf xax， 2 1 ( ) 2 g xxbxb，, a bR. （1）设 ( ) ( )F xx f x ，求 F x在,2aa上的最大值； （2）设 G xf xg x，若 G x的极大值恒小于 0，求证： 4 2 e ab . 【答案】 （1）最大值 2 2 1 ln0 4 ( ) 1 2ln2 4 aaa M a aaa （2）证明见解析 【分析】 1对函数求导得( )(1 l
38、n )F xax ，得到 F x的单调区间，分类讨论即可得 F x最大值 2 2(0) xbxa Gxx x ， G x的极大值恒小于 0可得 3 ln 2 a baa， 从而得到a b的最大值， 构造函数即可证明 4 2 e ab 【详解】 1由已知0a，( )(1 ln )F xax ， 当 1 0 x e 时， F0 x ，当 1 x e 时， 0Fx ， 从而 F x的单调递增区间是 1 , e ，单调递减区间是 1 0, e ， 从而， ( )2, max F xmax FaF a， 于是 222 (2 )( )(ln4ln )ln4FaF aaaaaa 当 1 4 a 时， 2Fa
39、F a，所以 2 max ( )(2 )2ln2F xFaaa 当 1 0 4 a时， 2FaF a，所以 2 max ( )( )lnF xF aaa； 综上所得 2 2 1 ln0 4 ( ) 1 2ln2 4 aaa M a aaa 2依题意 2 1 2 G xalnxxbxb，则 2 (0) axbxa Gxxbx xx ， 因为 G x存在极大值，则关于 x 的方程 2 0 xbxa有两个不等的正根1 2 ,x x， 不妨 12 xx ，则 12 x xa，则 0a，且 1 0 xa， 设 2 p xxbxa列设表如下： x 1 0,x 1 x 12 ,x x 2 x 2, x p
40、x 0 - - 0 Gx 0 - - 0 G x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 从而， 2 1111 1 ( )ln1 2 G xG xaxxb x 极大 ， 又 2 11 bxxa ， 从而 2 111 1 ( )ln0 2 G xG xaxxab 极大 对 1 0 xa恒成立， 设 2 1 ( )ln 2 K xaxxab，0,xa， 则 2 0 ax Kx x ， 所以 K x在0,a上递增，从而 3 ( )()ln0 2 a K xKaaab ， 所以 3 ln 2 a baa， 55 lnln 222 aaa abaaa ， 设(0) 2 a tt，则 25m ttln tt， 又 42m tln t， 若 4 0, 2 e t ， 0;m t 若 4 , 2 e t ， 0;m t 从而 44 22 ee m tm ， 即 4 2 e ab 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，利用导数研究存在或恒成立问题，利用导数 证明不等式，属于难题
