1、 理科数学参考答案 理科数学试题答案第1页 （共3页） 一、 选择题 1. B2. A3. C4. A5. A6. A7. B8. A9. C10. A11. B12. D 二、 填空题 13. 314.2 + 2 15. 416. 1 三、 解答题 （一） 必考题 17. 解：（1） 当m = 1时，A = x|x - 1 1 = x|0 x 2 .2分 B = x|x2+ 5x - 6 0 = x|-6 x 1.4分 则A B =x|-6 x 2.6分 （2）A = x|x - m 1 = x|m - 1 x m + 1， 由已知易得A B,8分 则有m - 1 -6, m + 1 1,
2、所以m的取值范围是-5 m 0.12分 18. 解：（1）(2a - b)cosC = ccosB， (2sinA - sinB)cosC = sinCcosB，2分 2sinAcosC = sinBcosC + sinCcosB = sin(B + C) = sinA，4分 0 A 0， cosC = 1 2 ,0 C ， C = 3 .6分 （2） 设ABC的外接圆半径为R， acosB + bcosA = 2， 2R(sinAcosB + sinBcosA) = 2R sin(A + B) = 2R sinC = c = 2，8分 a + b = sinA c sinC + sinB c
3、 sinC = 4 3 (sinA + sin( 2 3 - A) = 4 3 (sinA + 3 2 cosA + 1 2 sinA) = 4 3 ( 3 2 sinA + 3 2 cosA) = 4sin(A + 6 ).10分 0 A 2 3 , 6 A + 6 0时，0 x 2， 当f(x) 2或x 0， 理科数学试题答案第2页 （共3页） f (x)在 -3,0 ，2,3上是减函数， 在0,2 上是增函数. 4分 f (-3) = 27e3, f (0) = 0, f (2) = 12 e2 , f (3) = 27 e3 ， f (x)在 -3,3上的最大值为27e3， 最小值为0
4、.6分 （2）f (x) = -3x2+ (6 - a)x + a ex 令g(x) = -3x 2 + (6 - a)x + a， 由g(x) = 0解得x1= 6 - a -a2+ 36 6 ，x2= 6 - a +a2+ 36 6 7分 当x x1时，g(x) 0， 即f(x) 0， 故f (x)为减函数； 当x1 x 0， 即f(x) 0， 故f (x)为增函数； 当x x2时，g(x) 0， 即f(x) 0， 故f (x)为减函数；10分 由f (x)在)3, + 上为减函数， 知x2= 6 - a +a2+ 36 6 3,解得a - 9 2 , 故a的取值范围为 - 9 2 , +
5、 12分 20. 解：（1） 甲、 乙两人同时命中1次的概率p1= C1 3 1 2 ( ) 1 2 2 C1 3 p(1 - p) 2 = 9 8 p(1 - p)2；1分 甲、 乙两人同时命中2次的概率p2= C2 3( ) 1 2 2 1 2 C2 3 p 2(1 - p)1 = 9 8 p2(1 - p)；2分 甲、 乙两人同时命中3次的概率p3= C3 3( ) 1 2 3 ( ) 1 2 0 C3 3 p 3 (1 - p)0= 1 8 p3.3分 所以p1+ p2+ p3= 9 8 p(1 - p)2+ 9 8 p2(1 - p) + 1 8 p3= 1 8 ( p3- 9p2+
6、 9p)(0 p 1) 令G( p) = 1 8 ( p3- 9p2+ 9p)(0 p 1)， 所以G( p) = 1 8 (3p2- 18p + 9) = 3 8 ( p2- 6p + 3)， 令G( )p = 0， 得p = 3 +6（舍） 或p = 3 -6 分析知G( p)max= G()3 -6， 此时p = 3 -66分 （2） 据题意可知， 变量服从二项分布B( ) 12, 1 8 ( p3- 9p2+ 9p)，8分 所以E() = 12 1 8 ()p3- 9p2+ 9p = 3 2 ()p3- 9p2+ 9p， 据题意， 得 3 2 ()p3- 9p2+ 9p 55p 6 (
7、)0 p 1，10分 所以 1 3 p 0， 所以g( )x在()0, + 单调递增.3分 （ii） 若a 0， 当x ()0,a时，g( )x 0.所以g( )x在()0,a单调递减， 在()a, + 单调递 增.5分 （2）f( )x存在两个极值点,a 2.f( )x = - x2- ax + 1 x2 ,f( )x的两个极值点x1,x2满足x2- ax + 1 = 0， 所以x1x2= 1， 不妨设x1 1.7分 则 f( )x1- f( )x2 x1- x2 = - 1 x1x2 - 1 + a lnx1- lnx2 x1- x2 = -2 + a lnx1- lnx2 x1- x2
8、= -2 + a -2lnx2 1 x2 - x2 ， 所以 f( )x1- f( )x2 x1- x2 a - 2等价于 1 x2 - x2+ 2lnx2 0.9分 设h( )x = 1 x - x + 2lnx， 则h( )x = - (x - 1)2 x2 0， 知h( )x在()0, + 单调递减， 又h( )1 = 0， 当x ()1, + 时，h( )x 0.故 1 x2 - x2+ 2lnx2 0， 即 f( )x1- f( )x2 x1- x2 a - 2.12分 （二） 选考题 22. 解：（1） 由x = 2cos, y = 2sin ()0 2， 得曲线C的普通方程为x2
9、+ y2= 4.1分 设P()x1,y1，T()x,y， 则x = x1+ 2 2 ，y = y1 2 ，2分 即x1= 2x - 2，y1= 2y， 代入x2+ y2= 4， 得()2x - 2 2 +()2y 2 = 4，()x - 1 2 + y2= 1，4分 曲线C1的极坐标方程为=2cos.5分 （2） 将x = 3x, y = 2y, 代入C2得x2+ y2= 1， 所以C3的方程为x2+ y2= 1，6分 C1的极坐标方程为 = 2cos，C3的极坐标方程为 = 1，7分 直线y= 3 3 x在第一象限的极坐标方程为= 6 （0） ， 所以|ON = 1.8分 又|OM = 2c
10、os 6 =3，9分 所以|MN =|OM -|ON =3 - 1.10分 23. 解：（1） 由已知， 不等式f( )x 5即为|x + 2 +|x - 1 5，1分 则x -2, -()x + 2 -()x - 1 5, 或-2 1, x + 2 +()x - 1 5, 3分 解得-3 x -2或-2 x 1或1 x 2， 故不等式的解集为-3,2.5分 （2） 对任意m R， 关于x的不等式f( )x m2- 2m + 5总有解 f( )x min ()m2- 2m + 5 min， 6分 而y = m2- 2m + 5 = (m - 1)2+ 4 4， 当且仅当m = 1时取最小值4.7分 又f( )x |()x - a -()x - 1=|a - 1，（当且仅当()x - a()x - 1 0时取等号）8分 故只需|a - 1 4， 解得-3 a 5， 即实数a的取值范围为()-3,5.10分
